Vorlesung 18: Roter Faden:

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1 Vorlesung 18: Roter Faden: Heute: Kreisel Präzession Nutation Versuche: Kreisel, Gyroscoop 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1

2 Kreisel Bisher Rotation um feste Achsen, d.h. ω. Kreisel: Rotation um freie Achsen, d.h. Rotationsachsen ändern sich mit der Zeit. kann man schreiben als: =r x p = mr x v = mr x (ω x r) = m[ω r 2 r(r. ω )] (Beachte: ax(bxc)=(a.c)b-(a.b)c) Bisher: bekommen durch Integration über alle Massenelemente mit r ω und =J ω mit J= r 2 dm = r ρdv und r. ω=0 Im Allgemeinen: nicht parallel ω und Körperträgheit nicht beschrieben durch eine Zahl J aber durch Trägheitstensor. 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2

3 Trägheitstensor Für starren Körper wieder integrieren über alle Massenelemente um Gesamtdrehimpuls zu bekommen: =r x p = [r x v] dm = [r x (ω x r)] dm = [ω r 2 r(r. ω )] dm x = [ω x r 2 x(x ω x +y ω y +z ω z )] dm= ω x (r 2 x 2 )dm - ω y xy dm - ω z xz dm = Jxx ω x + Jxy ω y + Jxz ω z y = z = Jyy ω y + Jyx ω x + Jyz ω z Jzz ω z + Jxz ω x + Jzy ω y In Matrixnotation: J J J = J J J x xx xy xz ωx y yx yy yz ω y z JzxJzyJzz ω z 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3

4 Trägheitstensor eines Quaders J xx = (r 2 x 2 )dm= ρ (y 2 +z 2 )dxdydz= ρ y 2 dxdydz+ρ z 2 dxdydz= M/V (1/12 acb 3 + 1/12 abc 3 ) =M/12 (b 2 +c 2 ) Jxy= xydm= ρ (xydxdydz= ρbc x 2 /2] +a/2 -a/2 y 2 /2] +b/2 -b/2 =0 2 2 b + c Koordinaten gerade so gewählt, dass a Trägheitstensor diagonal ist: c a b 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4 + Man sagt: die gewählten Achsen sind Hauptträgheitsachsen x c z b a y

5 c z b a Hauptträgheitsaxen y x Im Hauptachsensystem gilt: x =J x ω x y =J y ω y, z =J z ω z, d.h bei Drehung um einer Hauptachse sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit parallel zueinander. Haupträgheitsachsen sind die Symmetrieaxen oder Figurenachsen der Körper Unsymmetrischer Kreisel: Jx Jy Jz Symmetrischer Kreisel: Jx = Jy Jz Kugelkreisel: Jx = Jy = Jz Für a > b > c gilt: Jzz > Jyy > Jxx Stabile Rotation NUR möglich um des größten bzw. kleinsten Trägheitsmoment. 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5

6 Rotationsenergie in Tensorschreibweise Drehimpuls = r x p = J ω oder J J J = J J J x xx xy xz ωx y yx yy yz ω y z JzxJzyJzz ω z Rotationsenergie E R =½Jω 2 wird für starren Körper: E E R = ½ ω T Jω oder 1 xx xy xz ωx ( ) = 2 ω ω ω JyxJyyJyz ω y JzxJzyJzz ω z R x y z J J J Oder E R = ½ ω. oder Projektion von ω auf konstant, wenn E erhalten, d.h. ω liegt auf Kegel um die -Achse. 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6

7 Drehimpuls auf Schnittkurve der Ellipsoiden b c a Für Hauptachsen: E a ωa ( ) = 2 ω ω ω Jb ωb Jc ωc R 1 a b c 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7 J E R =½ (J a ω a2 + J b ω b 2 + J c ω c 2 ) = ½ ( a2 /J a + b2 /J b + c2 /J c ) Dies ist die Gleichung eines Ellipsoids mit Hauptachsen a,b,c Drehimpuls 2 = a2 + b2 + c2 ist ebenfalls Ellipsoid (Kugel in diesem Fall: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ) Bei Energie- und Drehimpulserhaltung muss auf Schnittkurve dieser Ellipsoiden liegen!

8 Kräftefreier, symmetrischer Kreisel S und ω parallel zur Figurenachse c J a =J b J b c c a Rotation um Figurenachse: ω, d.h. c =J c ω c Bei Kraftstoß senkrecht zur Figurenachse c: d a = Mdt und da a = J a ω a ergibt dies dω a = d a /J a. D.h. nicht mehr parallel ω! Aber fest und Rotationsachse ω dreht auf Kegel um! Diese Bewegung nennt man Nutation (lat.: Nicken, Wanken) 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8

9 Berechnung Nutationswinkel d = Mdt = J ω d α c = J c ω c C=Figurenachse a b c tan α =J ω /J c ω c ; Winkel klein für großes c Kreiselkompass Figurenachse c rotiert um auf Nutationskegel mit Öffnungswinkel 2 α ω = ω a2 + ω b2 = Mdt /J a ω β tan β = ω / ω c ω c C=Figurenachse Drehachse rotiert um auf Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2 β 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9

10 Präzessionsversuch Beobachtung: drehendes Rad fällt nicht, sondern dreht sich in horizontaler Ebene. Erklärung: Drehimpuls hat Tendenz sich Drehmoment M parallel zu richten (wie Impuls p parallel F). D Gewichtskraft übt Drehmoment in horizontaler Richtung aus und M=mgD=d/dt schiebt 0 =J 0 ω 0 in die horizontale Richtung! Diese Bewegung nennt man Präzession. Präzessionsfrequenz aus M=d/dt= 0 d ϕ/dt= 0 ω p oder d = 0 d ϕ ω p =M/ 0 = M/J 0 ω 0 ϕ 0 = J 0 ω 0 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10

11 Überlagerung von Präzession und Nutation 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11

12 Praktische Anwendungen Sich aufrichtender Spielkreisel Freihändig Radfahren 0 d r F R Reibung verursacht beschleunigtes Vorrücken wodurch ein Drehimpuls in Richtung der vertikalen Achse entsteht. Neigt Fahrer nach linker Seite, dann erfährt er Kippung um die Fahrtrichtung als Achse. Dies erzeugt Präzession um vertikale enkerachse, die Fahrrad nach rechts steuert 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12

13 Präzession der Erde Wülst durch Abplattung der Erde Sonne F 1 M S Für Schwerpunkt: F=m E ω 2 r - Gm E M S /r 2 = 0 Für kleinere r: F < 0 Für größere r: F > 0 Daher Drehmoment senkrecht zur Rotationsachse -> Präzession der Rotationsachse mit T=26000 J. In Jahre wird Wega Polarstern sein! Der ganze Sternenhimmel unterschiedlich. Wichtig für Astrologie? F 2 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13

14 Zum Mitnehmen Nutation: (M=0) Figurenachse und Drehachse bewegen sich auf Kegeln um feste Drehimpulsachse Präzession: (M senkrecht ) Drehimpuls ändert Richtung mit Winkelfrequenz ω P = M/ Drehimpulserhaltung ohne externes Drehmoment hat wichtige Anwendungen: Kreiselkompass, freihändig Fahrradfahren, Frisbee spielen, Kinderkreisel, Artilleriegeschosse mit Drall,.. 11 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14