Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 4. Dez. Kreisel + Reibung Alle Informationen zur orlesung unter :

2 Statisches und dynamisches Ungleichgewicht Feste Drehachse außerhalb des Schwerpunktes Freie Drehachse Konstanter Drehimpuls, aber es wirken (Zentrifugal)-Kräfte auf die Achse:statisches Ungleichgewicht

3 Symmetrieachsen und freie Achsen Das System übt Drehmoment auf Lager aus: Drehimpulsvektor rotiert =>dynamisches Ungleichgewicht Die symmetrische Anordnung ist dynamisch ausbalanciert. L steht parallel zu ω.

4 Kreiselbewegungen Rotation um freie Achsen Drehimpuls eines Massenelements Δm i : v i = ω r i L i = Δm i r i v i ( ) ( ) = Δm i r i ( ω r ) i mit : A ( B C) = ( A C) B - ( A B ) C L i = Δm i r i 2 ω (( ) ( r i ω) r ) i L = (( r 2 ω) ( r ω) r) dm Bei freier Rotation ist L i. a. nicht ll zu ω

5 Kreiselbewegungen Rotation um freie Achsen in Einstein-Summenkonvention: 3 L i = r 2 δ ij - r i r j ω j = I i j ω j j=1 ( ) dm 3 j=1 mit I ij = ( r 2 δ ij - r i r ) j dm in Komponenten: L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z L z = I zx ω x +I zy ω y +I zz ω z ( ) dm I xx = r 2 - x 2 = y 2 + z 2 ( ) dm ( ) dm I yy = r 2 - y 2 = x 2 + z 2 ( ) dm ( ) dm I zz = r 2 - z 2 = x 2 + y 2 ( ) dm I xy = I yx = - I yz = I zy = - I xz = I yz = - x y dm y z dm x z dm in Tensorschreibweise: L = ~ I ω (I verknüpft L mit ω durch Drehstreckung) L L L x y z = I I I xx yx zx I I I xy yy zy I I I xz yz zz Trägheitstensor ωx ωy ωz

6 L = I * ω L x = I xx ω x + I xy ω y + I yz ω z (r 2 x 2 )dm Eigenschaften des I Tensors: Im Allgemeinen Symmetrisch I xy = I yx etc. Diagonalisierbar, d.h. man kann KS Finden, so daß I = " $ $ # I a I b I c % ' ' & Dreht sich ein Körper um eine Hauptträgheitsachse, so ändert sich Betrag und Richtung von Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls nicht, solange kein äußeres Drehmoment wirkt.

7 Man kann für jeden Körper drei Orthogonale Achsen finden, um die der Körper frei rotiert. L ω Hauptachsen a,b,c + Hauptträgheitsmomente I a I b I c I a I b Ι c asymmetrische Kreisel (z.b. H 2 O) I a = I b I c symmetrischer Kreisel ( O C O ) Etc. I a = I b = I c spärischer Kreisel ( Kubus) Rotiert ein Körper um eine seiner freien Achsen, sind Drehachse und Drehimpuls parallel zueinander. Jeder starre Körper besitzt (mindestens) drei freie Achsen, und diese stehen senkrecht aufeinander.

8 Asymmetrische Kreisel: I a I b I c Sphärischer Kreisel I a = I b = I c Bsp: Kugel, Würfel

9 Symmetrische Kreisel: oblat: I a = I b < I c prolat: I a < I b = I c

10 Freie Achsen stabile Rotation um Achse mit größtem Trägheitsmoment instabile Rotation um Achse mit mittlerem Trägheitsmoment und Ausweichbewegung

11 Freie Achsen rotierende Kette maximiert ihr Trägheitsmoment Diskus rotiert stabil um Achse mit größtem Trägheitsmoment

12 Rotationsenergie: 1 2 Δm v 2 i i ( ) = 1 2 Δm ( ω r ) ( i i ω r ) i = 1 2 Δm i ω2 r 2 i ( ω r ) 2 i mit: ( A B) ( A B) = A 2 B 2 ( A B) 2 => E rot = ω2 2 = ω 2 x +ω 2 2 y +ω z 2 r 2 dm ( ω r) 2 dm ( x 2 + y 2 + z 2 ) dm ( ω x x +ω y y +ω z z) 2 dm = 1 ( 2 ω 2 x I xx +ω 2 y I yy +ω 2 z I ) zz +ω x ω y I xy +ω y ω z I yz +ω x ω z I xz

13 tensoriell: E rot = 1 ( 2 ω x ω y ω ) z # I xx I xy I xz & % ( I yx I yy I yz % $ I zx I zy I ( zz ' # % % $ ω x ω y ω z & ( ( ' E rot = 1 2 ωt I ~ ω = i,j=1 ω i I i j ω j Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei

14 Kräftefreier symmetrischer Kreisel Momentane Drehachse ω L Drehmomentachse - Raumfest C Figurenachse - Körperfest Drehimpulserhaltung L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 = const. Kugeloberfläche im Raumfesten Koordinatensystem Energieerhaltung L a2 /I a + L b2 /I b + L c2 /I c = const Ellipsoid im Körperfesten Koordinatensystem

15 Kreisel im Schwerefeld : Präzession von oben: ΔL ΔΦ L d L dt = M d L = L dφ Das Rad läuft um die Aufhängung mit Präzessionsfrequenz ω P = dφ dt = M L = r mg L Höhere Drehimpulse stabilisieren die Drehachse

16 Präzession des Kreisels d L dt = M = sinα r mg d L = Lsinα dφ ω P = = r mg L r mg sinα L sinα = r mg Iω Die Präzessionsfrequenz ist unabhängig vom Neigungswinkel der Kreiselachse

17 Präzession des symmetrischen Kreisels I 1 = I 2 Ι 3 + ausseres Drehmoment Rotation um Figurenachse keine Nutation D L ω c D = dl/dt L const r mg dφ C dl L,ω D = r x m*g D r L = const D = L * dϕ/dt D = L * ω p ω D L = = p D ω I Bsp: Präzession der Erde durch Asymmetrie + WW Mond/Sonne Drehmoment T D 26000A Platonisches Jahr

18 Tribologie: Die Lehre von der Reibung

19 Gleitreibung F R = µ* F N Coulombsches Reibungsgesetz

20 Trockene Reibung Reibungskräfte wirken entgegen der angelegten Kraft und der Geschwindigkeit. F ext F R = µ* F N F N =m*g Trockene Reibungskraft unabhängig von Geschwindigkeit und Auflagefäche! Typen der Reibung: - Haftreibung µ H - Gleitreibung µ G - Rollreibung µ R µ H µ G Stahl/Stahl 0,78 0,42 Stahl/Stahl (Öl) 0,05 0,03 Gummi-Asphalt 0,8-1,1 0,7-0,9

21 Gleitreibung auf atomarer Skala - der Kleben-Rutschen Prozess (stick-slip)

22 Drei Gleichgewichtsarten Stabiles GGW: Jede errückung x erhöht die Lage des Schwerpunktes d 2 E dx pot 2 > 0 Kleine Auslenkung x => Rückstellkräfte F rück ~ - x Labiles GGW: Jede errückung erniedrigt die Lage des Schwerpunktes Indifferentes GGW: Jede errückung läßt die Lage des Schwerpunkts unverändert