Physik 1 für Ingenieure

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1 Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: Übungsblätter und Lösungen: November 2001 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Drehimpuls Der Drehimpuls eines rotierenden Körpers ist L = Iω (1) Drehimpulserhaltung Wenn das resultierende äussere Drehmoment null ist, dann bleibt der Gesamtdrehimpuls eines Systems konstant. Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Drehimpuls und Drehmoment Das Drehmoment bezüglich des Schwerpunktes und die Änderung des Drehimpulses sind über M S = dl (2) dt miteinander verknüpft. Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Rollen Rollen eines Rades ohne zu gleiten Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Kugel auf schiefer Ebene Kugel mit dem Radius R, die eine schiefe Ebene hinunterrollt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Haftreibungswinkel Körper Trägheitsmoment Beschleunigung Gleitende Masse - a S = g sin Θ Kugel I K,S = 2 5 mr2 a S = 5 7 g sin Θ Zylinder I Z,S = 1 2 mr2 a S = 2 3 g sin Θ Dünner Hohlzylinder I HZ,S = mr 2 a S = 1 2 g sin Θ Tabelle 1: Beschleunigung auf einer schiefen Ebene mit dem Winkel Θ. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Böschungswinkel Material Böschungswinkel Haftreibungskoeffizient Getreide trockener Sand Kohle Gips Tabelle 2: Böschungswinkel und Haftreibungskoeffizient unter der Annahme, dass die Teilchen kugelförming sind tan Θ 5µ h Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Vektorcharakter der Drehung Wenn man einen rotierenden Körper betrachtet, dann soll der Daumen der rechten Hand parallel zur Drehachse sein. Die die Finger der rechten Hand zeigen in die Drehrichtung. Dann legt der Daumen die Richtung des Vektors ω fest. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Vektorprodukt M = r F (3) Das Vektorprodukt oder das Kreuzprodukt ist durch A B = (AB sin φ) n gegeben, wobei n der Normalenvektor auf der von A und B aufgespannten Ebene ist. Einige Eigenschaften: A A = 0 A B = B A (Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!) A B + C = A B + A C Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Vektorprodukt II d dt A B werden). = A d B dt + d A dt B (Achtung: Die Reihenfolge darf nicht verändert e x e y = e z, e y e z = e x und e z e x = e y für die Einheitsvektoren des kartesischen koordinatensystems. e i e i = 0 für i = x, y, z Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Das Kreuzprodukt in Komponentenschreibweise A B = (A x e x + A y e y + A z e z ) (B x e x + B y e y + B z e z ) = A x B x e x e x + A x B y e x e y + A x B z e x e z A y B x e y e x + A y B y e y e y + A y B z e y e z + A z B x e z e x + A z B y e z e y + A z B z e z e z + = 0 + A x B y e z + A x B z ( e y ) + A y B x ( e z ) A y A z e x + A z B x e y + A z B y ( e x ) + 0 = (A y B z A z B y ) e x + (A z B x A x B z ) e y + (A x B y A y B x ) e z (4) Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Vektorprodukt IV Das Ergebnis kann formal mit der Determinante A B = e x e y e z A x A y A z B x B y B z = A x B x e x A y B y e y A z B z e z (5) Wenn A und B in der xy-ebene liegen, ist das Resultat des Kreuzproduktes parallel zur z-achse. A B = (A x B y A y B x ) e z r 1 ( r 2 r 3 ) = ( r 1 r 3 ) r 2 ( r 1 r 2 ) r 3 Übungsaufgabe Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Auswuchten von Reifen 1. Statisches Ungleichgewicht oder statische Unwucht liegt vor, wenn die Drehachse des Rades nicht seiner Symmetrieachse entspricht. Dann wird eine Zentripetalkraft benötigt, um das Rad auf seiner Position zu halten. Diese Unwucht kann kompensiert werden, indem man versucht, das rad in eine indifferente Gleichgewichtslage zu bringen. 2. Dynamisches Ungleichgewicht oder dynamische Unwucht. Der Drehimpulsvektor ist nur bei freien Drehachsen parallel zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Wenn der Drehimpulsvektor parallel zur Drehachse gemacht wird, spricht man von dynamischem Auswuchten. Das dynamische Ungleichgewicht äussert sich in einem Taumeln der Räder. Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Trägheitstensor v = ω r (6) Für jedes Volumenelement dm gilt d L = ( r v) dm. Also ist auch L = Z ( r v) dm = So gilt für die x-komponente Z L x = ω x ( r 2 r 2 x Z = ω x Z r 2 y + r2 z ( r ( ω r)) dm = ω dm ω y Z dm ω y Z Z ( r) 2 dm Z r ( r ω) dm (7) Z r x r y dm ω z r x r z dm Z r x r y dm ω z r x r z dm (8) und zyklisch permutiert für die anderen Koordinaten x y z x. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Trägheitstensor II Würde ω entlang der x-achse liegen, also nur die x-komponente von null verschieden sein, dann ist das erste Integral die schon bekannte Definition des Trägheitsmomentes. Die beiden anderen Momente, auch Deviationsmomente genannt, sind nur dann von Null verschieden, wenn ω nicht parallel zur x-achse liegt. Analoges gilt auch für die y- und die z-achse. Gleichung Gleichung (7) kann in Matrixschreibweise als L = 0 1 L x L y A = L z I xx I xy I xz I yx I yy I yz A I zx I zy I zz ω x ω y Rot sind die Deviationsmomente, blau die Hauptträgheitsmomente. 1 A = I ω (9) ω z Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Trägheitsmomente III I xx = I xy = Z r 2 y + r2 z dm Z ( r x r y ) dm (10) und zyklisch vertauscht ist. Es ist I ij = I ji. Jeder Tensor, also auch I, kann durch die Rotation des Koordinatensystems so transformiert werden, dass nur die Komponenten auf der Hauptdiagonalen von null verschieden sind. Wenn wir die drei Komponenten als I 1 I 2 I 3 (Hauptachsen) schreiben, kann die Stabilität von Drehungen betrachtet werden. Wir nehmen an, dass eine Drehachse sich in der Nähe einer der Hauptachsen befinde. Dann sind Drehungen um die 1-Achse und um die 3-Achse stabil und um die 2-Achse labil. Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Trägheitsellipsoid Trägheitsellipsoid: Ersatzkörper, der sich bezüglich Rotationen gleich wie der entsprechede allgemein geformte Ursprungskörper verhält. u = 0 u x u y u z A = e p = I( e) 0 B@ ex I ey I ez I 1 CA (11) Die Länge der einzelnen Halbachsen ist 1/ I. Kreisel Hauptträgheitsmomente Trägheitsellipsoid Kugel, Würfel, Tetraeder I 1 = I 2 = I 3 Kugel axialsymmetrisch, tellerförmilerförmig I 1 > I 2 = I 3 Rotationsellipsoid, tel- axialsymmetrisch, spindelförmidelförmig I 1 = I 2 > I 3 Rotationsellipsoid, spin- niedrigsymmetrisch I 1 > I 2 > I 3 allgemeines Ellipsoid Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Kreisel mit Präzession Kreisel mit Präzession Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Statische Gleichgewichte von starren Körpern Starre Körper sind im Gleichgewicht, wenn Fextern = 0 (12) und wenn Mextern = 0 (13) Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Schwerpunkt und Massenmittelpunkt In einem homogenen Kraftfeld ist der Schwerpunkt (über das Drehmoment definiert) identisch mit dem Massenmittelpunkt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Kräfte an einem Arm Kräfte an einem Arm Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Leiter Kräfte bei einer Leiter Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Kräftepaare Eine an einem beliebigen Ort angreifende Kraft kann durch die Addition der Kraft 0 am Schwerpunkt in eine dort angreifende Kraft und ein reines Drehmoment übergeführt werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Kräftepaare Das Kräftepaar entspricht einem reinen Drehmoment! Die Grösse des Drehmomentes ist für jeden Raumpunkt r 0 gleich. Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 Keplersche Gesetze Die Keplerschen Gesetze lauten 1. Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, wobei die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse steht. 2. Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und den Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz seiner mittleren Entfernung zur Sonne. Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 2. Keplersches Gesetz 2. Keplersches Gesetz Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Form der Gravitationskraft Parameter bei einer Ellipse. Die Ellipse ist definiert, dass die Summe der Abstände von jedem Punkt ihrer Berandung zu den beiden Brennpunkten konstant und gleich dem grossen Durchmesser 2a ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Gravitationskraft F 1,2 = G m 1m 2 r 2 1,2 Gravitationskonstante 11 m3 G = 6.673(10) 10 kgs 2 r 1,2 r 1,2 (14) Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

29 Gravitationsfeld Das Gravitationsfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 28

30 Gravitationswaage Abbildung der Gravitationswaage aus der Vorlesungssammlung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 29

31 Kombiniertes Gravitations- und Zentrifugalpotential Kombiniertes Gravitations-und Zentrifugalpotential Universität Ulm, Experimentelle Physik 30