M6a Kreisel mit drei Achsen

Transkript

1 Fakultät für hysik und Geowissenschaften hysikalisches Grundraktikum M6a Kreisel mit drei Achsen Aufgaben 1. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Kreiselscheibe aus der Winkelbeschleunigung bei bekanntem Drehmoment sowie aus einer Drehzahlmessung. 2. Messen Sie die räzessionsfrequenz in Abhängigkeit von der Rotationsfrequenz der Kreiselscheibe für zwei unterschiedliche Drehmomente. iteratur Gerthsen hysik, D. Meschede, 24. Auflage, 2.4.5, 2.4.6, 2.5 W. Demtröder, Exerimentalhysik 1, 7. Auflage, 5.7 ubehör Kreisel der Firma B Scientific, Drehzahlmesser, Stouhr Schwerunkte zur Vorbereitung - Drehimuls, Drehmoment, Rotationsgeschwindigkeit - Trägheitsmoment, Trägheitstensor - Rotation um feste und freie Achsen - Kreisel, räzession, Nutation - Eulersche Gleichungen 1

2 Hinweise zur Versuchsdurchführung Warnhinweis. Das Drehzahlmessgerät arbeitet mit einem roten aser ( nm) der aserklasse 2 (maximale Ausgangsleistung < 1 mw). Die aseraustrittsöffnung ist mit einem dreieckigen aserwarnzeichen gekennzeichnet. Sehen Sie nicht in den aserstrahl, richten Sie diesen nicht auf ersonen und siegelnde Flächen. aserstrahlung der Klasse 2 kann zu Augenverletzungen führen. ur Anassung an den otimalen Messbereich des Drehzahlmessgeräts (RM = rotations er minute) ist die Kreiselscheibe mit 8 reflektierenden Streifen markiert - beachten Sie dies bei der Auswertung! Um zuverlässige Messwerte zu erhalten, sollte der Abstand des Geräts zur Scheibe < 5 cm sein. Warnhinweis. Achten Sie beim Aufziehen des Kreisels auf die umstehenden ersonen; beachten Sie, dass der Aufziehfaden sich manchmal wie eine eitsche verhält. Für alle Aufgaben sind die Messunsicherheiten zu berechnen. Aufgabe 1 Die Kreiselachse wird horizontal ausgerichtet und arretiert. Der Faden wird auf die Fadentrommel aufgewickelt, in die Fadenschlaufe wird ein Gewicht eingehängt. Messen Sie die eit, die das Gewicht benötigt, um aus der Ruheosition den Boden zu erreichen; messen Sie sofort danach die Drehzahl der Kreiselscheibe. Führen Sie das Exeriment insgesamt zehnmal durch, berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung. Überlegen Sie sich während der raktikumsvorbereitung, wie Sie aus den Messdaten das Trägheitsmoment berechnen. eiten Sie die entsrechenden Gleichungen her. Vergleichen Sie den gemessenen Wert des Trägheitsmoments mit dem aus Masse und Abmessungen berechneten. Es handelt sich um die Komonente I des Trägheitsmomenttensors. Aufgabe 2 Die Arretierung wird entfernt und die Kreiselachse mit Hilfe des Gegengewichts ins Gleichgewicht gebracht. rüfen Sie, dass die Kreiselachse bei beliebiger Neigung stabil ist. Der freie Kreisel wird bei horizontaler Kreiselachse aufgezogen. Dann wird am der Kreiselscheibe gegenüberliegenden Ende der horizontalen Stange ein zusätzliches Gewicht eingehängt und der Kreisel freigegeben. Stoen Sie die eit für einen halben räzessionsumlauf; messen Sie zu Beginn und zum Ende des halben räzessionsumlaufs die Drehzahl der Kreiselscheibe. Verwenden Sie den Mittelwert der Drehzahlen als Rotationsfrequenz. Führen Sie die Messungen für zehn unterschiedliche Rotationsfrequenzen im Bereich von 200 bis 600 U/min und für Gewichte von 47 g und 94 g durch. Stellen Sie die räzessionsfrequenz in geeigneter Weise als Funktion der Rotationsfrequenz dar und vergleichen Sie mit der Theorie. Theoretische Grundlagen Einen starren Körer, der frei rotiert oder an einem einzigen unkt unterstützt wird, nennt man Kreisel. Oftmals sind bei Kreiseln die Richtungen des Drehimulses und der Drehgeschwindigkeit nicht arallel; gerade dies macht den Reiz ihrer Bewegungen aus. Die Dreheigenschaften des 2

3 starren Körers werden durch den Trägheitstensor I beschrieben. Drehimuls und Drehgeschwindigkeit sind dann durch I (1) verknüft. Im Hautachsensystem des starren Körers, welches i.d.r. durch einfache Symmetriebetrachtungen erkennbar ist, hat der Trägheitstensor Diagonalform I I I I. (2) Hier werden lediglich symmetrische Kreisel mit I1 I2 betrachtet. Die Bewegungen des Kreisels lassen sich im aborsystem, welches ein Inertialsystem sein soll, durch die fundamentale Gleichung für Rotationsbewegungen beschreiben: d M, () wobei M das wirkende Drehmoment bezeichnet. Es ist günstig, ein zweites Koordinatensystem zu betrachten, nämlich das Hautachsensystem, welches mit dem starren Körer fest verbunden ist und sich gegenüber dem aborsystem mit der momentanen Rotationsgeschwindigkeit dreht. In diesem System sei der Drehimuls durch den Vektor gegeben. Wie aus der Betrachtung rotierender Bezugssysteme bekannt, sind die Drehimulsvektoren in den beiden Koordinatensystemen über die Gleichung d d (4) verknüft. Ausgedrückt in den Komonenten des Hautachsensystems liefert die letzte Gleichung das folgende Gleichungssystem welches als Eulersche Gleichungen bekannt ist. d1 M1 I1 ( I I2) 2 d2 M 2 I2 ( I1 I) 1, (5) d M I ( I2 I1) Beschleunigung einer Scheibe durch eine fallende Masse Wir betrachten eine Scheibe mit Masse m und Radius R, die sich um eine feste Achse dreht, die durch den Schwerunkt geht und senkrecht zur großen Scheibenfläche steht. Das Trägheitsmoment ist dann 1 2 I mr. (6) 2

4 An der Scheibe sei eine masselose Fadentrommel mit Radius r befestigt. Um diese werde ein masseloser Faden gewickelt und in diesen werde ein Gewicht der Masse m eingehängt. Das Gewicht fällt unter Einfluss der Schwerkraft, aus der Ruhe startend, und treibt dabei die Scheibe an. Es gilt mit der durch den Faden transmittierten Kraft F: I M rf m a m g F. (7) Dabei bezeichnet die Winkelbeschleunigung der Scheibe, a die Beschleunigung der usatzmasse. Da der Faden von der Fadentrommel abrollt, gilt a r. kann aus Fallhöhe h und Fallzeit t bestimmt werden. Alternativ lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz m gh I mv I mr (8) mittels Messung der Drehzahl ebenfalls das Trägheitsmoment bestimmen. 2. räzession Wir betrachten einen symmetrischen Kreisel bestehend aus Kreiselscheibe, Achse und Gegengewicht, der im Schwerunkt unterstützt wird. Rotiert die Kreiselscheibe um die Figurenachse, so sind Drehgeschwindigkeit und Drehimuls arallel. Da kein Drehmoment wirkt, ist der Drehimuls eine Erhaltungsgröße und der Kreisel zeigt mit der Figurenachse entlang der Drehimulsachse, die im betrachteten Fall eine horizontale Ausrichtung hat. Wird die Achse nun außerhalb des Schwerunkts mit einem kleinen Gewicht m belastet, so wirkt ein Drehmoment senkrecht zum Drehimuls. Dabei ist M r G (9) G m g die Schwerkraft und r ein Vektor, der ausgehend vom Schwerunkt auf die usatzmasse deutet. Das Drehmoment ändert nun die Richtung des Drehimulses, jedoch nicht seinen Betrag, so dass sich der Drehimuls mit der Drehgeschwindigkeit um die Vertikale dreht. Im eitintervall dreht sich der Drehimuls um den Winkel d mit so dass die Kreisfrequenz der räzession durch d d, (10) d d / M (11) gegeben ist. In vektorieller Form lässt sich dies als M (12) 4

5 schreiben. Diese Bewegung des Drehimulses nennt man räzession; sie erfolgt mit der räzessionsgeschwindigkeit und wird durch ein Drehmoment getrieben. Wird die usatzmasse mit einem Abstand z von der vertikalen Drehachse aufgehängt, und ist der Kreisel horizontal justiert, so ist das Drehmoment durch M m gz (1) gegeben. Den Drehimuls erhält man aus I I I, (14) 1 wobei die Komonente der Winkelgeschwindigkeit entlang der Figurenachse bezeichnet. Da wird der erste Term auf der rechten Seite von (14) vernachlässigt.. Nutation Nun betrachten wir einen kräftefrei gelagerten symmetrischen Kreisel, auf den kein Drehmoment wirkt. Dann ist der Drehimuls wiederum eine Erhaltungsgröße und zeigt im aborsystem in eine feste Richtung. Falls die Drehgeschwindigkeit arallel zur Figurenachse ist, so sind Figurenachse und die Achsen der Drehgeschwindigkeit und des Drehimulses allesamt arallel und der Kreisel rotiert um die ortsfeste Drehimulsrichtung. Im interessanten Fall sind jedoch Drehgeschwindigkeit und Drehimuls nicht arallel, nachdem z.b. die Drehachse durch einen temorären Kraftstoß ausgelenkt wurde. In diesem Fall lauten die Eulerschen Gleichungen: d1 I1 ( I I1) 2 0 d2 I1 ( I I1) 1 0. (15) d I 0 Mit I I 1 (16) I1 folgt so dass d1 2 0 d2 1 0 const, (17) 5

6 cos( t) sin( t) I1 cos( t) I1 sin( t) I, (18) d.h. die Drehachse läuft auf einem Kegel um die Figurenachse um. Diesen Kegel nennt man Gangolkegel. Der Betrag der Drehgeschwindigkeit ist durch Umlaufkreisfrequenz jedoch durch. 2 2 gegeben, der Betrag der Andererseits kann man die rojektion der Drehgeschwindigkeit auf die Richtung des Drehimulses berechnen: ( 1 2 ) I1 I I1 I. (19) Diese ist konstant, d.h. der Winkel zwischen Drehgeschwindigkeit und Drehimuls ist konstant. Da die Drehgeschwindigkeit sich jedoch in ihrer Richtung zeitlich ändert, muss sie auf einem Kegel um die Drehimulsrichtung umlaufen; den entsrechenden Kegel nennt man Rastolkegel. Im Endeffekt bewegt sich die Figurenachse ebenfalls um die Drehimulsrichtung, d.h. der Gangolkegel rollt auf dem Rastolkegel ab und bildet dadurch den Nutationskegel. Die gemeinsame Bewegung von Figurenachse und momentaner Drehachse wird als Nutation bezeichnet. Die halben Öffnungswinkel von Gangolkegel und Nutationskegel lassen sich aus den Neigungen der Drehachse bzw. des Drehimulses bezüglich der Figurenachse berechnen. Der halbe Öffnungswinkel des Nutationskegels ist daher durch I1 tan (20) I gegeben, der halbe Öffnungswinkel des Gangolkegels durch tan. (21) Im Fall eines rolaten Kreisels ist I 1 > I, so dass der Öffnungswinkel des Nutationskegels größer ist als derjenige des Gangolkegels. Dieser Fall ist in der Abbildung dargestellt. 6

7 arameter Durchmesser Kreisscheibe: Masse Scheibe: Abstand Kreisscheibe-vertikale Drehachse: Masse Gegengewichte: Massestücke für usatzgewicht: Abstand usatzgewicht-vertikale Drehachse: Durchmesser Fadentrommel: 2R = 250 mm m = 1500 g z S = 165 mm m G1 = 1400 g, m G2 = 50 g jeweils m = 47 g z = 275 mm 2r = 65 mm 7