Übung zu Mechanik 4 Seite 28

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1 Übung zu Mechanik 4 Seite 28 Aufgabe 47 Auf ein Fundament (Masse m), dessen elastische Bettung durch zwei Ersatzfedern dargestellt wird, wirkt die periodische Kraft F(t) = F 0 cos (Ω t). Die seitliche Führung ist reibungsfrei. a) Wie groß ist die Amplitude der ungedämpften Schwingung? b) Welche maximale Kraft R wird auf den Untergrund ausgeübt? c) Wie groß muß das Dämpfungsmaß D gewählt werden, wenn die Amplitude des ungedämpften Schwingers durch geschwindigkeitsproportionale Dämpfung auf die Hälfte verringert werden soll? d) Wie groß ist die maximale Kraft R beim gedämpften Schwinger? Ungedämpftes System Ω = 0,75 ω 0 Gedämpftes System

2 Übung zu Mechanik 4 Seite 29 Aufgabe 48 Das dargestellte Grenzamplituden-Kontrollgerät besteht aus einem pendelnd aufgehängten schlanken Stab der Masse m und der Länge l, dessen Ende frei auf einem Stößel aufliegt. Der Stößel schwingt harmonisch mit der Frequenz f in horizontaler Richtung. Wie groß muß der Abstand a 0 zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Mittellage des Stößels sein, damit das Pendel bei einer Amplitude a 1 gerade nicht abhebt? l = 180 mm a 1 = 1 mm f = 5 Hz m Aufgabe 49 Gegeben ist der skizzierte homogene, starre Stab (Masse m), der im Punkt A frei drehbar gelagert ist. Der Fußpunkt B der Schraubenfeder wird nach der Funktion u(t) = u 0 sin (Ω t) periodisch bewegt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems auf und ermitteln Sie die Amplitude für die Dämpfungskonstante d = 0 und die Erregerfrequenz Ω = 6 s -1! Bei welcher Frequenz Ω* tritt der größte Ausschlag auf, wenn die Dämpfungskonstante d* = 200 Ns/m ist? Wie groß ist der Ausschlag? m = 30 kg c F = 1 kn/m u 0 = 10 cm

3 Übung zu Mechanik 4 Seite 30 Aufgabe 50 Gegeben ist ein homogener Kreiszylinder (Masse m, Radius r), der sich um seine Achse reibungsfrei drehen und dabei Rollbewegungen in einer horizontalen Ebene ausführen kann. Die Achse des Zylinders ist durch eine Feder (Federkonstante c F ) befestigt. Weiterhin ist an der Achse wie skizziert ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) angebracht. Das gegebene System wird durch eine harmonische Verschiebung u(t) = u 0 sin (Ω t) des freien Dämpferendpunktes erregt. a) Wie groß ist die Amplitude der Zylinderachsenbewegung? b) Wie groß ist die Amplitude der Federkraft? m = 2 kg r = 20 cm c F = 27 N/m d = 6 Ns/m u 0 = 10 cm Ω = 2 s -1

4 Übung zu Mechanik 4 Seite 31 Aufgabe 51 Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen des skizzierten schwingenden Systems! c M = 96 c F Aufgabe 52 Bestimmen Sie für das dargestellte, aus starren Stäben zusammengesetzte System die Eigenkreisfrequenzen für kleine Auslenkungen! m 1 = m 2 = 120 kg c F = 2400 N/m l = 1,0 m

5 Übung zu Mechanik 4 Seite 32 Aufgabe 53 Eine vertikal schwingende Masse m ist gestützt auf zwei masselose Stäbe, deren Fußpunkte durch Federn gehalten werden (oberes Bild). a) Bestimmen Sie die Amplitude X 0 der stationären Schwingung unter der periodisch einwirkenden Kraft F(t) = F 0 cos (Ω t). Wie groß ist die maximale Federkraft? b) Zur Herabsetzung der Amplitude werden zwei Dämpfungselemente eingebaut (unteres Bild). Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, damit die Amplitude gegenüber dem ungedämpften System auf die Hälfte verringert wird? l = 4 m m = 1000 kg c F = N/m F 0 = 8 kn Ω 2 = 600 s -2 g = 10 m/s 2 alle Stäbe EA = und masselos

6 Übung zu Mechanik 4 Seite 33 Aufgabe 54 Ein Maschinenfundament vom Gewicht G A steht auf einem elastischen Boden. Die Grundfläche A und die Bettungsziffer λ sind gegeben. Zur Begrenzung von Resonanzschwingungen, die beim Betrieb der Maschine entstehen, ist die Maschine auf einem schweren Rahmen gelagert. Die Federkonstante c F der elastischen Lagerung des Rahmens auf dem Fundament und das Gesamtgewicht G B des Rahmens mit der Maschine sind bekannt. Man bestimme die Eigenfrequenz des Systems bei vertikaler Translationsschwingung. G A = 1000 kn G B = 4,9 kn A = 1,7 m 2 c F = kn/m λ = kn/m 3 λ: auf die Flächeneinheit bezogene Federsteifigkeit (c F = λ A)

7 Übung zu Mechanik 4 Seite 34 Aufgabe 55 Gegeben ist das dargestellte System. Die Stäbe sind starr und homogen und haben konstante Querschnittswerte. Gesucht sind die Eigenfrequenzen des Systems. m A : m B = 9 : 6 c F, a Aufgabe 56 Ein masseloser Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EJ trägt in seinem rechten Drittelpunkt eine als starr anzusehende dünne Kreisscheibe (Durchmesser d, Masse m). a) Man bestimme die Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen der freien Schwingung. b) Für die durch eine Kraft F(t) = F 0 sin (Ω t) erzwungene Schwingung bestimme man die Auslenkungen und die größte Biegebeanspruchung im Träger. m = 785 kg EJ = 400 knm 2 F 0 = 0,9 kn Ω = 30 s -1

8 Übung zu Mechanik 4 Seite 35 Aufgabe 57 Mit dem dargestellten homogenen, starren Stab (Länge l, Masse m A ), der an seinem linken Ende frei drehbar gelagert und an seinem rechten Ende elastisch gestützt ist, ist über eine Feder eine Masse m B verbunden. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen ω 1 und ω 2 des Systems mit zwei Freiheitsgraden bei kleinen Auslenkungen! m A = m B = m c F, l Aufgabe 58 Dargestellt ist die statische Gleichgewichtslage eines schwingfähigen Systems aus homogenen, starren Stäben und linearen Federn. Für kleine Auslenkungen gebe man die Differentialgleichungen der Bewegung und die Eigenkreisfrequenzen an. m A : m B = 6 : 1 c F, h, l

9 Übung zu Mechanik 4 Seite 36 Aufgabe 59 Gegeben ist das dargestellte System. Die Stäbe sind starr und homogen. Gesucht sind die Eigenkreisfrequenzen des Systems! m A : m B = 1 : 2 g c F = m A l

10 Übung zu Mechanik 4 Seite 37 Aufgabe 60 Der skizzierte masselose Stab (Biegesteifigkeit EJ) ist im Auflager A gelenkig gelagert. An seinem rechten Ende trägt der Stab eine Einzelmasse m. Am linken Ende des Stabes ist eine Normalkraftfeder (Federkonstante c F ) befestigt, deren freies Ende periodisch nach der Funktion u(t) = u 0 cos (Ω t) bewegt wird. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedämpften Systems! Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, wenn im stationären Zustand der Schwingung die Amplitude der Einzelmasse bei beliebigen Erregerfrequenzen Ω das 1,35-fache der statischen Auslenkung nicht überschreiten soll? EJ c F = 3 3 l

11 Übung zu Mechanik 4 Seite 38 Aufgabe 61 Ein homogenes Rad (Masse m A, Radius r A ) rotiert um die Achse eines Meßgerätes. Diese Achse ist wie skizziert vertikal unverschieblich und wird in der Horizontalen von einer Normalkraftfeder (Federkonstante c F ) und einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungselement (Dämpfungskonstante d) gehalten. An dem Rad ist auf dem Umfang eine Unwuchtmasse m B angebracht. Bei der Winkelgeschwindigkeit Ω wird im stationären Zustand der horizontalen Schwingung die maximale Amplitude von 7,5 mm gemessen. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante d und das Lehrsche Dämpfungsmaß D des Meßgerätes. Wie groß wird die Amplitude der stationären Schwingung, wenn die Masse m B halbiert wird? m A = 10 kg m B = 0,1 kg r A = 30,3 cm Ω = 100 s -1 c F = 101 kn/m

12 Übung zu Mechanik 4 Seite 39 Aufgabe 62 Die unten abgebildeten Stäbe und Rahmen konstanter Biegesteifigkeit tragen jeweils zwei Punktmassen. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenformen für Biegeschwingungen, wobei die Balkenmasse vernachlässigt werden soll. a) EJ = konst. b) EJ = konst. c) EJ feldweise konst. d) EJ feldweise konst. EA =

13 Übung zu Mechanik 4 Seite 40 Aufgabe 63 Gegeben sind Stäbe der Länge l mit konstanter Biegesteifigkeit EJ sowie konstanter Massenbelegung µ. 1) Bestimmen Sie durch Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung die ersten und zweiten Eigenkreisfrequenzen sowie die zugehörigen Eigenformen für freie Biegeschwingungen. 2) Geben Sie Näherungslösungen für die ersten Eigenkreisfrequenzen an unter Verwendung der Rayleigh-Quotienten mit Hilfe geeigneter Ansätze für die Eigenformen. a) b) c) d)

14 Übung zu Mechanik 4 Seite 41 Aufgabe 64 Die unten stehenden Stabsysteme mit konstanter Biegesteifigkeit EJ sowie konstanter Massenbelegung µ sind für Biegeschwingungen zu untersuchen. Bestimmen Sie Näherungslösungen für die ersten Eigenkreisfrequenzen unter Verwendung des Rayleigh- Quotienten mit Hilfe geeigneter Ansätze für die Eigenformen. a) b) c) d) e)