Fachhochschule Hannover

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1 Fachhochschule Hannover 9..7 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 9 min Fach: Physik II im WS67 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung. Betrachten Sie die rechts dartellte Hydraulikpresse zum Pressen von Pulverproben (Durchmesser des großen Zylinders: cm, Durchmesser des kleinen Zylinders:,5 cm. Die Probe habe eine äche von,5 cm. Wie groß muss die Kraft F sein, die auf den Hebelarm wirkt, um Proben mit einem Druck von bar pressen zu können? (5. Zur Bestimmung der Dichte einer unbekannten üssigkeit mit Dichte ρ soll das Verhalten von einem Stück Kork ( (Dichte Kork: ρ Kork = 5kg m und einem Gewichtsstück aus uminium ( (Dichte uminium: ρ =,7 gcm verglichen werden. Die Volumina der beiden Auftriebskörper sind gleich. Die Federwaage ( zeigt eine Kraft von,n, die Federwaage ( 7,5 N. a. Wie groß ist das Volumen der Probekörper? (5 b. Welche Dichte ρ hat die üssigkeit? (5. An dem rechts gezeigten Fadenpendel mit der als punktförmig angenommen Masse m= kg und der Fadenlänge l = m kann die Kraft-Zeit-Funktion gemessen werden. Zum Zeitpunkt t = wird das Pendel aus Position (Auslenkungswinkel aus der uhe losgelassen. Die eibung soll vernachlässigt werden. a. Bestimmen Sie die Kraftkomponente in Fadenrichtung, die in der Position (direkt nach dem oslassen auf die Masse wirkt. (5 b. Bestimmen Sie die Kraftkomponenten in Fadenrichtung, die in der Position (tiefsten Punkt der Bahnkurve wirkt. ( c. Bestimmen Sie die Funktion der Fadenkraft F(t. (5 4. Eine Kugel mit Durchmesser 5 cm und der Masse 8 kg soll mit einem 75 cm langen Seil an einer aufkatze hängen. (Das Seil ist am Kugelrand befestigt, seine Masse kann vernachlässigt werden.. a. Die aufkatze bewegt die Kugel mit v =, ms. Nach einem plötzlichen Stopp der aufkatze beginnt die Kugel zu schwingen. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel. (5 b. Berechnen Sie die Eigen(kreisfrequenz ω und die Schwingungsdauer T (Annahme: Die Kugel besitzt eine homogene Masseverteilung. ( c. Die schwingende Kugel sei bedämpft. Nach vier Schwingung beträgt die Amplitude nur noch 6,5% der Maimalamplitude. Wie groß ist die Abklingkonstante β? ( d. Wie groß ist die Eigen(kreis-frequenz ω e der gedämpften Schwingung? (5 e. Welchen Wert hat die esonanzfrequenz ω? (5 f. Wie groß ist für das Pendel mit der in 4c. beschriebene Dämpfung die Amplitudenüberhöhung im esonanzfall? (5 Sie können zur Vereinfachung bei allen Aufgaben g = m s - verwenden.

2 ösungen:. Die Kraft F = F am Hebelarm der änge erzeugt das Drehmoment: M = F Das Drehmoment bewirkt eine Kraftübertragung auf den Kolben des kleinen Zylinders. Der Hebelarm hat die änge. Da das Drehmoment konstant ist, gilt: M = F = F Es folgt: F = F ( Der Druck in der Hydraulikflüssigkeit kann als konstant betrachtet werden (die Tiefendrücke sind gegenüber den absoluten Drücken vernachlässigbar. Der Druck p im großen Zylinder ist gleich dem Druck p kz im kleinen Zylinder. Der Druck i kleinen Zylinder wird durch die Kraft F erzeugt, die auf den Kolben des kleinen Zylinders wirkt. Es gilt: F F p kz P A kz A ( Der Druck im großen Zylinder wirkt auf den Kolben des großen Zylinders und erzeugt eine Kraft F. Diese Kraft F bewirkt in der Pulverprobe mit der Querschnittsfläche A P den F 8 Druck p P : pp = = bar = N m AP ( Aus ( folgt: A F = F AkZ Einsetzen in ( A p P F AP A kz Einsetzen von ( A A p P F AP A kz AP AkZ F 8 pp AP AkZ Nm, 5cm,5 F = = A Ergebnis: 8 4, 5,5 F = N = 488 N a. ( Auftriebskraft ist größer als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F zeigt nach oben. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige ( F = ρ VKork gρkork VKork F = ( ρ ρkork VKork ( ( Auftriebskraft ist kleiner als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F zeigt nach unten. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige ( F = ρ V gρ V ( ( ρ ρ F = V Umstellen von ( nach ρ : F ρ = + ρkork VKork Umstellen von ( nach ρ F ρ = ρ V Einsetzen: F F + ρkork = ρ VKork V Da die Volumina gleich sind, gilt: V = VKork = V ( (4

3 F F Einsetzen: + ρkork = ρ V V F F + = ( F+ F = ρ ρ V g V g V g F+ F 9,8N V = = g ρ ρ ms,45 gcm K Kork 98 gms V = = 4, 4cm ms, 45 gcm b. Einsetzen in (: F ρ = + ρkork VKork,kg m s ρ = +,5 gcm 4, 4cm m s Ergebnis: g ρ = +, 5 gcm 4,4cm =,869 gcm Kontrolle: Einsetzen in (4: F 7,5 N ρ = ρ =,7gcm V g 4, 4cm ms 75gms ρ =,7gcm 4, 4cm m s ρ =,869 gcm a. Beim oslassen der Masse (Zeitpunkt t = hat die Masse noch keine Geschwindigkeit, vt= = sondern imale Beschleunigung: at ( = = a Ursache der Beschleunigung ist die Komponente F t der Gewichtskraft F g, die tangential zur Bahnkurve gerichtet ist. Die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Tangentialkomponente ist die Normalkomponente F n. Sie ist parallel zur ichtung des Fadenrichtung. Tangentialkraft in Pos : Ft, = Fg sin oder: Ft, Fg als Näherung für kleine Winkel. Normalkraft in Pos : Fn, = Fg cos Die uchte Kraft in ichtung in Fadenrichtung wäre dann die Gegennormalkraft: F n, = Fg cos =N,996 = 9,96 N b. In der Position ist der Winkel: = und deshalb cos = und sin =. Tangentialkraft in Pos : F t, = Normalkraft in Pos: Fn, = Fg Wenn die Masse in der Position in uhe wäre, würde ausschließlich die Gewichtskraft und als Gegennormalkraft die Fadenkraft wirken. Da die Pendel aber schwingt, bewegt sich die Masse (näherungsweise auf einer Kreisbahn und besitzt eine nicht-konstante Bahnge- v schwindigkeit B vb vb und es wirkt die Zentrifugalkraft: F = Zf m m = l mit = l = Pendellänge In der Vorlesung wurden Schwerependel behandelt (mathematisches und physikalisches Pendel. Gemeinsam ist diesen beiden Pendelarten, dass eine harmonische ösung nur dann gefunden werden kann, wenn man sie für kleine Winkel betrachtet, und die Näherung F = F sin F verwendet. t g g

4 Die Gesamtkraft, die in der Position auf die Masse nach außen gerichtet wirkt, ist die Summe aus der Gewichtskraft F g und der Zentrifugalkraft F Zf. Gesamtkraft: v B v B = Fg + FZf = mg+ m = m g+ l l Für die Winkelamplitude ( t als Funktion der Zeit gilt (ösung der harmonischen Differentialgleichung: ( t = cos( ωt Für die Winkelchwindigkeit gilt: ω( t = & ( t =ω sin ( ωt Die Position wird zum Zeitpunkt T π t = = erreicht 4 4 ω Winkelchwindigkeit in Pos : ( t π ω = ω Geschwindigkeit in Pos : v( t = ω ( t l π vt =ωl sin =ωl Gesamtkraft in Pos : ω l = m g+ l Verwendet man die Näherung eines mathematischen Pendels, so folgt aus: ω = g l F l = m g+ = mg + l Für = = π =,49 =,8 Fg =, N 8 c. Die Funktion der Fadenkraft wurde bereits in der ösung b. gefunden. vb t ( t = mg cos( ( t + m l ( ( ω l sin ( ωt ( = cos( ( + l = cos( + sin ( ω ( = cos( ( + sin ( ω F t mg t m F t mg t mg t F t mg t t Aus der Winkelbeziehung: cos + sin = folgt: cos ( t = sin ( ( t In der hier verwendeten Näherung für kleine Winkel gilt: sin( t ( t Es folgt: cos( ( t = ( ( t cos( ( t = cos ( ωt Ergebnis: F ( t = mg cos ( ω t + sin ( ω t ( = = ( + Überprüfung für Pos. F ( t = = mg cos ( ω + sin ( ω F t mg g l

5 = = = π F t mg N Näherungslösung: Eakte ösung: g 8 F t = = mg = N,97 = 9,7N F t = = F cos = N,996 = 9,96 N T T T Überprüfung für Pos. t = = mg cos ω + sin ω T π π t = = mg cos + sin 4 T t = = mg ( + 4 T t = = mg ( + =,N 4 entspricht der eakten ösung a. Der Abstand zwischen Drehpunkt und dem Schwerpunkt der Kugel beträgt = m. Die Kugel bewegt sich zunächst mit konstanter Geschwindigkeit v =, m. s m 8,44 9,6 trans Kinetische Energie der Translation: Ekin = mv = kg = J. s Berechnung der Anfangsamplitude mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes. Die ursprüngliche kinetische Energie wird in potentielle Energie der age umetzt wird. Energieerhaltungssatz: Steighöhe: trans Ekin = mv = mgh = E h pot v, 44 m s = = =,7m g ms Es gilt: h = ( cos und für den Auslenkungswinkel: 4b. Eigen(kreisfrequenz für physikalisches Pendel: h,7 = arccos = arccos( l =,88 =,9 ω = mg J Massenträgheitsmoment: Eigenkreisfrequenz: J = m + m 5 = 8kgm + 4,5kgm = 84,5 kgm J mg kg ms m ω = = =,5 s 8 J 84,5kgm

6 π Schwingungsdauer: T = =, s ω 4c. Für die Maimalamplituden ( n und das ihrer nachfolgenden Schwingung ( n + gilt: Für die Maimalamplituden ( n ( n + gilt: 4 ( n ( n + = e β T und das der vierten nachfolgenden Schwingung ( n ( n + 4 =, 65 = e Es folgt: ln (,65 = β 4 T Abklingkonstante 4d. Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung β 4 T ln, 65, 776 β = = =,448s 4 T 4,s ωe = ω β =,5 s,448 s =,44 s 4d. esonanzfrequenz: ω = ω β ω =,5 s,448 s =,85 s 4e. Die esonanzüberhöhung ist das Verhältnis des esonanzamplitudenimums bezogen und der Amplitude, die ein Erreger an dem schwingenden System bei ω a = erzeugt. ( ωa = ω ω β ( ω =, ω, β = = a,,,5 4 β β ω ω esonanzüberhöhung,5 = = 4,56 4,448,448,5,5