Musterlösungen (ohne Gewähr)

Transkript

1 Seite /9 Frage ( Punkte) Eine Waschmaschine hat einen mit Feder und Dämpfer gelagerten Motor (Masse m), an dem ohne Unwucht die Trommel befestigt ist. Wieviel Wäsche m u kann geschleudert werden, wenn die Amplitude des Motors maximal das dreifache der Erregeramplitude u sein darf? Geben Sie zuerst den Wert der Vergrößerungsfunktion an. Gegeben: ω, Ω = bis 3ω, u(t) = u cos(ωt), u, D = 9, m. m u xt () m u ut () Hinweis: Es wird angenommen, daß sich das System für jede Erregerfrequenz im eingeschwungenen Zustand befindet und die stationäre Schwingung erreicht wird. Als Näherung liegt bei η = der Resonanzfall vor. V = m u = V = η ( η ) + (Dη) oder mit η = V = 9 m u x p = x κ V cos(...) m + m u m u x p,max = u V m + m u mit x p,max = 3u m u = 3m V 3 oder mit V = 9 m u = m

2 Seite /9 Frage ( Punkte) Das skizzierte System wird aus der Ruhe zum Zeitpunkt t durch den Kraftstoß ˇF zu Schwingungen der Amplitude x angeregt. Der Verlauf der Schwingung wird aufgezeichnet. Bestimmen Sie die Masse m und die Federsteifigkeit c des Systems! Ft () c m xt () g Gegeben: x, g, ˇF, T. Ft () F v t t m = xt () x^ c = t t -x^ T m = ˇF T π x c = ˇF π x T x(t) = x sin(ω (t t )) ẋ(t) = xω cos(ω (t t )) ω = π T Aus Impulserhaltung: m xω = ˇF m = ˇF xω m = ˇF T π x Aus Eigenkreisfrequenz: ω = c m = (π) T c = (π) m c = ˇF T (π) T x π T c = ˇF π x T

3 Seite 3/9 Frage 3 ( Punkte) Anhand eines Ausschwingversuches sollen folgende Größen bestimmt werden: x xt () x d c m x -x 3 ts [] 4 a) Die Eigenkreisfrequenz des gedämpften System ω d. b) Die Masse m des Einmassenschwingers. Verwenden Sie hierzu die Näherung D. Gegeben: x, d, c. a) ω d = b) m=

4 Seite 4/9. sweg: a) abgelesen: T π s ω d = π T s b) abgelesen: q = x, q, 4x Λ = ln q = ln 5 q D Λ = π oder Λ πd Λ D D = 4π + Λ oder D Λ 4π D = d cm D = d 4cm m = d 4cD m = ( ) πd c oder m = d (4π + Λ ) ln 5 4cΛ. sweg: a) wie beim. sweg b) ω d = ω D D ω d ω ω = c m = ω d = s m = c s 3. sweg: a) ω d = ω D mit D = Λ π oder D = Λ 4π + Λ und ω = c m b) wie beim. sweg

5 Seite 5/9 Frage 4 ( 3 Punkte) Das folgende System wird aus seiner skizzierten Ruhelage zu einer freien gedämpften Schwingung angeregt (ẋ(t = ) =, x(t = ) = x ). Nach t = s erreicht der Schwinger wieder einen Punkt maximaler Auslenkung. a) Wie groß ist die Ersatzfedersteifigkeit c B eines Biegebalkens im System? b) Bestimmen Sie ω für das ungedämpfte System. g EI ` xt () c c m ` EI c ` EI c) Wie groß ist die Dämpfungskonstante d zu wählen, wenn der Maximalausschlag nach t = s um den Faktor e, s ω kleiner sein soll, als die Ausgangsamplitude x? d Gegeben: x, l, c, EI = cl 3, m. c B = ω = d =

6 Seite 6/9 a) c B = 3EI (l) = 3 cl3 3 8l 3 = 3 4 c b) Parallelschaltung der 3 c s: (c + c) + c = 3c Reihenschaltung 3c mit c B : + 3c c B = 3c c B 3c + c B = 3 5 c Parallelschaltung mit weiteren c B s: c ers = c B + 3c c B = 3 3c + c B 5 c + 3 c = c cers ω = m = c m c) x(t) = x e Dω t cos(ω d t) t = s x(t ) = x e Dω t,s cos(ω d t ) = x }{{} e ω = wg. Max. Dω t =,, s ω D = d D = c ers m = d, cm, d = cers m =,, cm = cm 5

7 Seite 7/9 Frage 5 ( 3 Punkte) Zwei homogene Saiten sind wie skizziert gespannt. Bei der Saite b ist bei einem Drittel der Länge l eine Vorrichtung A angebracht, die das freie Schwingen der Saite behindert. a a S a a) Geben Sie die niedrigste Eigenkreisfrequenz der Saite a ω a an! b) Geben Sie die niedrigste Eigenkreisfrequenz der Saite b ω b an! c) Berechnen Sie die Kraft S a = S a so, dass die Frequenz ω a4 der Frequenz ω b entspricht! b 3 ` A ` b S b Gegeben: l, A b, A a = 9 4 A b, S a, S b, ρ. a) ω a = b) ω b = c) S a=

8 Seite 8/9 a) Lagerung: fest-fest, erste Eigenform ω a = π S a = π 4S a l ρa a l 9ρA b b) Lagerung: fest-fest, Vorrichtung A erzwingt Schwingungsknoten bei 3 l ω b entspricht der 3. Eigenkreisfrequenz der freien Saite ω b = 3π l S b ρa b c) ω a4 = 4π 4S a l 9ρA b ω a4 = ω b 3 4 S b = 4 9 S a = 8 Sa 3 Sa = 8 64 S b

9 Seite 9/9 Frage 6 ( 3 Punkte) Gegeben ist das Phasendiagramm einer Schwingung.. q a) Welche der Aussagen bezüglich des Dämpfungsgrades D treffen zu? b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schwingung q(t)! q q c) Der Dämpfungsgrad wird nun so geändert, dass der aperiodische Grenzfall vorliegt. Skizzieren Sie das Phasendiagramm! Gegeben: q, T. zu a) D = D < D = D > zu b) zu c) qt (). q q q T T t q -q

10 Seite /9 zu a) D = D < x D = D > zu b) zu c) qt (). q q q T T t q -q

11 Seite /9 Aufgabe 7 ( 7 Punkte) An den Enden eines starren Balkens (Masse M) sind zwei geschwindigkeitsproportionale Dämpfer angebracht. Der Balken ist drehbar im Punkt Q gelagert. Zusätzlich ist eine Punktmasse m über einen masselosen, starren Balken der Länge l mit dem Balken im Punkt Q verbunden. a) Zeichnen Sie das Freikörperbild! b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das System auf. Nehmen sie dazu kleine Auslenkungen ϕ an! c) Bestimmen Sie den Dämpfungsgrad D und die Eigenkreisfrequenz ω! g Q d ` m ` d M ` d) Das System soll schwach gedämpfte Schwingungen ausführen. Geben Sie eine obere Grenze d max für d an! e) Die Dämpfungskonstante d soll nun so angepasst werden, dass eine gegebene Auslenkung ϕ zum Zeitpunkt t = nach drei Schwingungsperioden T auf ϕ abgeklungen ist. Bestimmen Sie einen entsprechenden Wert d = d! Gegeben: l, ϕ, m, M = 3m, d, g. a) Freikörperbild: F d F d b) F d = dl ϕ F c = mg sin ϕ mgϕ mg J = M(l) + m(l) = 5ml 5ml ϕ + l d }{{} b ϕ ϕ + mgl }{{} c ϕ ϕ =,

12 Seite /9 c) ϕ + d ϕ + }{{} 5 m 5 Dω ω = g 5 l D = g l }{{} ω ω = ϕ = g 5 l b ϕ c ϕ J = ld m gl d) schwach gedämpfter Fall: ld D = m gl < d max < m gl l e) schwach gedämpfte : Λ = ϕ ln 3 ϕ = 3 ln D = Λ 4π + Λ d = m gl l D = m gl l 3 ln 4π + 9 Λ

13 Seite 3/9 Aufgabe 8 ( 7 Punkte) Ein schwingungsfähiges System besteht aus einem elastisch gelagerten Stab und einer Walze, die über eine Feder wie skizziert verbunden sind. An der Walze greift ein zeitabhängiges Moment M(t) an. g m ` a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen des Systems in Matrixform an. Nehmen Sie für ψ und ϕ kleine Auslenkungen an! b) Geben Sie die Eigenkreisfrequenzen des Systems an! c) Für welche Anregungsfrequenz Ω bleibt die Walze in Ruhe? m M(t) R c 4c ` Gegeben: l, R, c, m, m = 3m, m = 5m, M(t) = M cos(ωt).

14 Seite 4/9 a) Walze: J = m R = 5 mr Stab: J = m 3 l = ml Bew.Gl: ) J ψ = cl ψ + crlϕ ) J ϕ = M cos (Ωt) cr ϕ + clrψ Matrixform: ml ψ ϕ + 5 mr c m l c 5 R m ψ ϕ + cl Rlc R c l m c ψ = ϕ 5 m 5 mr Rlc ψ = R c ϕ M cos Ωt M cos Ωt b) ω, = ( c 5 m + c ) ( c m 4 5m c ) + Rc lc m lm 5Rm ω, = 4 c m oder ω, = 6 6 c 5 m c) Ansatz: ψ = V ψ a cos (Ωt) ; = Ω V a cos (Ωt) ϕ V ϕ V c in Matrixform: m Ω R c l m l c c a V = 5 R m 5 m M cos Ωt Ω V 5 mr V = für Ω = c m oder FS Tilgung: Ω = ω II = c m

15 Seite 5/9 Aufgabe 9 ( 8 Punkte) Ein starrer Körper (Masse M) ist wie skizziert auf zwei Walzen (Radius r, Masse m) gelagert und über eine Feder (Federsteifigkeit c, zunächst unbekannt) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) mit der Umgebung verbunden. Das System wird über eine zweite Feder (Federsteifigkeit c ) zu Schwingungen angeregt. a) Geben Sie die Bewegungsgleichung des Systems in Abhängigkeit von der noch unbekannten Federsteifigkeit c an! Bei einer Erregung mit der Kreisfrequenz Ω = Ω wird im eingeschwungenen Zustand ein Phasenwinkel von ψ = 9 zwischen u(t) und x(t) gemessen. b) Bestimmen Sie die Federsteifigkeit c! ut ( ) =ucos c) Wie groß ist die Amplitude ˆx für Ω = Ω? Nun soll eine Erregung mit beliebiger Kreisfrequenz Ω betrachtet werden. d) Wie lautet die allgemeine x(t) der Bewegungsgleichung für den eingeschwungenen Zustand? e) Bei welcher Erregerkreisfrequenz Ω tritt die maximale Schwingungsamplitude auf? Gegeben: M, m = 3 M, r, c, d, u(t) = u cos Ωt, u, Ω, g. c m t r M r m xt () c d g a) x J (Q) ϕ = F wr J (Q) = mr + mr = 3 mr = Mr Ft () F w F w. c.x. d.x x = ϕr ϕ = r ẍ 3 mr r ẍ = F w r F w = 3mẍ

16 Seite 6/9 F (t) = c u(t) c x Mẍ = F (t) F w c x dẋ Mẍ + 3mẍ + dẋ + c x + c x = c u(t) Mẍ + dẋ + (c + c )x = c u(t) b) ψ = 9 η = ω = Ω ω = c + c M c = Mω c = MΩ c c) x = u c c + c c x = u MΩ c + c d D ; D = d MΩ c M = u Ω MΩ d = u d) x(t) = u c c + c V (η, D) cos(ωt ψ) η = Ω ω V (η, D) = D = d tan ψ = Dη Mω η ( η ) + (Dη) c Ω d e) maximale Amplitude, wenn V (η, D) max dv dη = bzw. f(η) = ( η ) + (Dη)! =min df dη = ( η ) η + (4D η) = 4η + 4η 3 + 8D η! = η = oder η + D = η = D + D <, da sonst kein Max η = D

17 Seite 7/9 Aufgabe ( 8 Punkte) (Dichte ρ, Querschnittsfläche A, Biegestei- Gegeben ist der dargestellte gerade, schlanke Balken figkeit EI), der Biegeschwingungen ausführt.,a,ei g,a,ei g x x w( x,t) w( x,t) a) Geben Sie für das System alle Randbedingungen an! b) Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung (Frequenzgleichung) für die Biegeschwingung! Verwenden Sie den Seperationsansatz w(x, t) = W (x) cos(ωt) mit W (x) = a sin(kx) + a cos(kx) + a 3 sinh(kx) + a 4 cosh(kx). c) Geben Sie die ersten drei von Null verschiedenen Eigenkreisfrequenzen an, und skizzieren Sie die zugehörigen Eigenformen! d) Der Balken wird nun in seiner Mitte durch ein Loslager gestützt. Welche Eigenfrequenzen und Eigenformen der c) sind auch Eigenfrequenzen und Eigenformen des neuen Systems? Gegeben: l, ρ, A, EI.

18 Seite 8/9 a) w (, t) = w (, t) = w (l, t) = w (l, t) = b) W (x) = a sin(kx) + a cos(kx) + a 3 sinh(kx) + a 4 cosh(kx) W (x) = a k cos(kx) a k sin(kx) + a 3 k cosh(kx) + a 4 k sinh(kx) W (x) = a k sin(kx) a k cos(kx) + a 3 k sinh(kx) + a 4 k cosh(kx) W (x) = a k 3 cos(kx) + a k 3 sin(kx) + a 3 k 3 cosh(kx) + a 4 k 3 sinh(kx) w (, t) : = a + a 3 G w (, t) : = a + a 3 G w (l, t) : = a cos(kl) a sin(kl) + a 3 cosh(kl) + a 4 sinh(kl) G3 w (l, t) : = a cos(kl) + a sin(kl) + a 3 cosh(kl) + a 4 sinh(kl) G4 G + G : = a 3 a 3 = in G eingesetzt a = a = = a 3 eingesetzt in G3 & G4 = a sin(kl) + a 4 sinh(kl) G3 = +a sin(kl) + a 4 sinh(kl) G4 G3 + G4 : = a 4 sinh(kl) a 4 = a 4 = eingesetzt in G4 = +a sin(kl) Somit ist die charakteristische Gleichung sin(kl) = c) Bei deren muss gelten k = n π l mit n =,,... für die Eigenfrequenz folgt daher mit k 4 = ω Aρ EI ω n = n π l EI Aρ

19 Seite 9/9 n ω n W n (x) x k Eigenform π EI a l cos( π Aρ l x) l /4 / 3/4 4 π EI l Aρ a cos( π l x) 4 l, 3 4 l /4 / 3/4 3 9 π EI l Aρ a cos( 3 π l x) 6 l, l,5 6 l / d) Durch das Lager wird ein Schwingungsknoten erzwungen. Alle vorherigen Eigenkreisfrequenzen, deren Eigenform einen Schwingungsknoten in der Mitte des Balkens haben sind auch Eigenkreisfrequenzen des neuen Systems. ω = ω = π l ω = ω 3 = 9 π l EI Aρ EI Aρ