1.4. Stehwellenresonatoren. LEMMA: Resonanz und Güte

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1 1.4 LEMMA: Resonanz un Güte Stehwellenresonatoren Definition: Koppelt man zwei schwingungsfähige Systeme, inem as eine System (Erreger) as anere System (Resonator) zum Mitschwingen zwingt, kann Resonanz auftreten. Beim Stehwellenresonator kommt es im Resonanzfall zur Ausbilung von sogenannten Stehwellen,.h. ie Schwingungsamplituen es Resonators liegen weit höher als ie es Erregers. Beispiel: Akustischer Stehwellenresonator a) keine Resonanz b) Resonanz FOLIE 1

2 Erzwungene geämpfte mechanische Schwingung Beispiele Ω: Erregerfrequenz ω 0 : Eigenfrequenz (= c/m) c: Feerkonstante : Dämpfungskonstante x m F = F 0 cosωt x c m x F = x 0 cosωt x m x D = x 0 sinωt c c F F = -cx F D = x Bewegungsgleichung z.b.: ẍ2 ẋ 2 x= 0 2 E x 0 cos t * Vernachlässigung es Einschwingvorganges; allgemein gilt: Allgemeine Lösung x = x P (t>>0)* xt=x 0 cos t x = x h + x p Phasenverschiebung δ tan= m FOLIE 2

3 Erzwungene Schwingung Resonanzfall 0 = Mittlere Schwingungsleistung P Amplitue x 0 Q (keine Dämpfung) Q groß (schwache Dämpfung) Δω Δω ω 0 Q klein (starke Dämpfung) Ω Q-Faktor (Güte, eng. quality) Die Dämpfung einer Schwingung wir urch einen imensionslosen Gütefaktor charakterisiert: * Näherung gültig für Q = 2-3 Gesamtenergie es Schwingungssystems Q = 2 Energieverlust pro Perioe = 2 E Ges E = m 0 0 * FOLIE 3

4 Elektrischer Schwingkreis (Reihe) Analogie zum mechanischen Schwingkreis U 0 R C L elektrischer Schwingkreis Laung q mechanischer Schwinger Auslenkung x (a) Reihenschwingkreis Strom I Geschwinigkeit Inuktivität L Masse m ẋ Wierstan R Dämpfungskonstante U 0 Z Kapazität 1/C Spannung U Feerkonstante k Kraft F (b) Ersatzkreis mit Impeanz Z Z=R j L 1 C Zeitliche Änerung er Laung L 2 q t 2 R q t q c =U 0 cos t m ẍ ẋc x=f 0 cos t U(t), I(t) Stationäre Lösung U I ωt I t = I 0 cost = U 0 Z cost Phasenverschiebung zwischen Strom un Spannung Z =R 2 X L X C 2 [] (c) Phasenverschiebung tan= 1 R x L x C FOLIE 4

5 Elektrischer Schwingkreis (Reihe) P = P U eff 2 R 2 L R Sowohl er inuktive als auch er kapazitive Wierstan hängen von er Kreisfrequenz ab. Die Impeanz Z wir minimal, wenn er inuktive un er kapazitive Wierstan gleich sin. Dies beeutet X C = X L mit 0 L= 1 0 C, = 1 LC = 0 Δf Δf f 0 Mittlere Leistung als Funktion er Zeit in einem LCR-Kreis (Resonanzfall) R klein Q groß R groß Q klein f Die Frequenz Ω 0 bezeichnet man als Eigenfrequenz es Schwingkreises, sie stimmt bei vernachlässigbarer Dämpfung (R = 0) mit er Resonanzfrequenz ω 0 überein. Für R>0 weichen Eigenfrequenz un Resonanzfrequenz geringfügig voneinaner ab. Ist ie Generatorfrequenz gleich er Resonanzfrequenz, so ist ie Impeanz minimal un ie Stromamplitue maximal. Der Schwingkreis ist in Resonanz. Bei er Resonanzfrequenz ist ie Phasenverschiebung δ = 0, un aher ie Impeanz Z gleich em ohmschen Wierstan R. FOLIE 5

6 Elektrischer Schwingkreis (Reihe) Im HF-Kreis gilt allgemein für ie mittlere Leistung: Die komplexe Scheinleistung P C un ie Wirkleistung P sin gegeben urch: P =U eff I eff cos = 1 2 U 0 I 0 cos P C = 1 2 Z I 2 P = 1 2 R I 2 E e = 1 4 C U 2 E m = 1 4 L I 2 = 1 2 Z S I 2 Mit E e = E m (Resonanz) gilt für ie im Schwingkreis gespeicherte Energie: E ges =E e E m = 1 2 L I 2 Für ie im Schwingkreis issipierte Energie (pro Perioe) gilt: E iss = 2 P Für en Gütefaktor resultiert araus: Q=2 E ges = L 0 E iss R FOLIE 6

7 Elektrischer Schwingkreis (parallel) Amittanz: U G C L Y =G j C 1 L (a) Parallelschwingkreis Resonanzfall: X C =X L 0 = 1 LC U Y Scheinbare un wirksame Leistung sin im Parallelschwingkreis gegeben zu: (b) Ersatzkreis mit Amittanz Y P C = 1 2 Y U 2 1 P = 1 E e =E m = 2 C U 2 2 G U 2 MERKE: Parallelschwingkreis Bei Vorgabe eines Stromes zeigt er Parallelschwingkreis bei Resonanzfrequenz ein Spannungsmaximum Analog zum Reihenschwingkreis ergibt sich für ie Güte: Q= 0 C G FOLIE 7