Inhalt dieses Vorlesungsteils - ROADMAP

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1 AKUSTISCHE WELLEN Inhalt dieses Vorlesungsteils - ROADMAP MECHANISCHE SCHWINGUNGEN ELEKTRO- MAGNETISCHE WELLEN WECHSELSTROM KREISE E Elemente E11 Mechanische Schwingungen E12 Akustische Schwingungen E13 Wechselstromkreise E14 Elektromagnetische Wellen FOLIE 1

2 Grundgesetze der Elektrizitätslehre Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Kreisen Elektrisch Magnetisch Konduktivität Permeabilität Feldintensität E Feldintensität H Strom I = J d S Magnetischer Fluß = B d S Stromdichte J = I S = E Flußdichte B= S = H elektromotorische Kraft (EMK) U Magnetomotorische Kraft (EMK) F Widerstand R Reluktanz R Konduktanz Permeanz P= 1 R Ohm sches Gesetz G= 1 R R= U I = l S Ohm sches Gesetz R= F = l S oder U =E l=i R F =H l= R= N I Kirchhoff sche Gesetze I =0 V R I =0 Kirchhoff sche Gesetze =0 F R =0 FOLIE 2

3 Berechnung von Wechselstromkreisen Gegenstand/Ziel Berechnung des Verhaltens passiver diskreter Bauteile wie Ohmscher Widerstand, Kapazität C und Induktivität L bei zeitlicher Änderung von Strom I(t) und Spannung U(t) Sonderfall: Sinusförmige (harmonische) periodische Verläufe reelle Darstellung U t =U 0 I t =I 0 sin t sin t LEMMA: komplexe Darstellung (Zeiger/Phasoren) (E.11): U t =U 0 cos t u j sin t u =U 0 e j t u I t =I 0 cos t i j sin t i =I 0 e j t i FOLIE 3

4 Verhalten passiver diskreter Elemente I = U R OHM scher Widerstand I Wechselspannung: U t =U 0 sin t U 0 sin t / 2 =U 0 cos t U ~ R Strom: I t =I 0 cos t U, I U, I ωt Verhalten: Beim ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom stets in Phase Leistung P t =U I=I 2 R= I 0 cos t 2 R=I 0 2 R cos 2 t I 0 ²R ½ I 0 ²R ωt Mittelwert: P = I 0 2 R cos 2 t =R I 0 cos 2 t mit cos 2 t =1/2 P = 1 2 I 2 0 R FOLIE 4

5 Verhalten passiver diskreter Elemente d I dt =U L I Induktivität L: Die zeitliche Änderung des Stromes führt zur Induzierung einer Spannung infolge der Änderung des magnetischen Flusses U ~ L Wechselspannung: U t =U 0 cos t Strom: I t =I 0 sin t mit I 0 = U 0 L U, I LEMMA: Herleitung Verhalten einer Spule im Wechselstromkreis: Bei einer idealen Spule eilt der U, I Strom der Spannung um pi/2 nach. ωt Induktiver Widerstand X L (Blindwiderstand) X L = L Leistung: effektiver Leistungsabfall gleich 0 FOLIE 5

6 Verhalten passiver diskreter Elemente d U dt = I C Kapazität C: I mit di = dq/ dt gilt U C = q C U ~ C Wechselspannung: U t =U 0 cos t U, I U, I ωt Strom: I t =I 0 cos t /2 mit I 0 = C U 0 = U 0 1 C Verhalten des Kondensators im Wechselstromkreis: Die Spannung eilt dem Strom um pi/2 nach Kapazitiver Widerstand X_C (Blindwiderstand) X C = 1 C FOLIE 6

7 Verhalten passiver diskreter Elemente Komplexer Widerstand (= Impedanz) Z= U I =U 0 e j t u I 0 e =U 0 e j u i j t i I 0 bzw. Admittanz Y = 1 Z Impedanz einer Spule Z L Z L = j X L = j L Impedanz Z C Z C = j X C = j 1 C FOLIE 7

8 elektrische Schwingkreise ohne Anregung Berechnung von LC/LCR Wechselstromkreisen in Analogie zu den mechanischen Schwingkreisen in E.11 Analogie zum mechanischen Schwingkreis elektrischer mechanischer Schwingkreis Schwinger Ladung q Auslenkung x Strom I Geschwindigkeit Induktivität L Masse m Widerstand R Dämpfungskonstante d Kapazität 1/C Federkonstante k Spannung U Kraft F v=ẋ Kreisfrequenz = 1 L C = k m FOLIE 8

9 elektrische Schwingkreise ohne Anregung (A1) LC Kreis I LEMMA: Herleitung der DGL U C C L U L DGL L di dt q C =0 mit I = d q dt LC-Kreis L d 2 q dt 2 q C =0 q, I Analogie zum mechanischen Schwingkreis: ẍ 2 x=0 q, I Zeitverhalten von q(t) und I(t) ωt Lösung der DGL Der LC-Kreis (Schwingkreis) zeigt eine Strom-Zeit-Kurve in Form einer harmonischen Schwingung. Er verhält sich analog zum ungedämpften mechanischen Schwinger. q t = A cos t =q 0 cos t I t = dq dt = Asin t = I 0sin t FOLIE 9

10 elektrische Schwingkreise ohne Anregung (A2) LCR-Kreis U R U C C R L U L LEMMA: Herleitung der DGL I DGL L di dt q I R=0 C LCR-Kreis q, I x L d 2 q dt q dq R 2 C dt =0 q, I Zeitverhalten von q(t) und I(t) ωt Lösung der DGL Ein LCR-Kreis ist ein gedämpfter Schwingkreis. Sein Analogon ist der gedämpfte mechanische Schwingkreis ẍ 2 ẋ 2 x=0 FOLIE 10

11 U (t) ~ LCR-Schwingkreis mit Anregung U L I y x U R U φ R C U C U L + U c U R L U L (B1) Reihenschwingkreis LEMMA: Herleitung der DGL DGL L d 2 q dq R 2 dt dt q C =U 0cos t ẍ 2 D ẋ=x 0 E cos t Analogie zum mechanischen Schwingkreis: 1 C =L 0 und = 0 (Eigenfrequenz des Schwingkreises) 2 x stationäre Lösung: (Einschwingvorgang vernachlässigt) U C x L y x x φ x L + x c x R x I =I 0 cos t = U 0 Z cos t mit der Phasenverschiebung und der Amplitude I 0 = tan = U 0 X L X C R R 2 X L X C =U 0 2 Z x C Impedanz Z: Scheinwiderstand des Reihenschwingkreises Z= R 2 X L X C 2 Zeigerdiagramme Die Größe X L X C bezeichnet man als Reaktanz FOLIE 11

12 1.3 WECHSELSROMKREISE P R klein Q groß Resonanz im elektrischen Schwingkreis Sowohl der induktive als auch der kapazitive Widerstand hängen von der Kreisfrequenz ab. Die minimale Impedanz Z wird minimal, wenn der induktive und der kapazitive Widerstand gleich sind. Dies bedeutet X C = X L mit 0 L= 1 0 C = 1 L C = 0 Δf Δf f 0 Mittlere Leistung als Funktion der Zeit in einem LCR-Kreis (Resonanzfall) R groß Q klein f Die Frequenz Ω 0 bezeichnet man als Eigenfrequenz des Schwingkreises, sie stimmt bei vernachlässigbarer Dämpfung (R = 0) mit der Resonanzfrequenz ω 0 überein. Für R>0 weichen Eigenfrequenz und Resonanzfrequenz geringfügig voneinander ab. Ist die Generatorfrequenz gleich der Resonanzfrequenz, so ist die Impedanz minimal und die Stromamplitude maximal. Der Schwingkreis ist in Resonanz. Bei der Resonanzfrequenz ist die Phasenverschiebung φ = 0, und daher die Impedanz Z gleich dem ohmschen Widerstand R. FOLIE 12

13 Energiedissipation im Schwingkreis Die Energiedissipation eines elektrischen Schwingkreises (Umwandlung von elektrischer in thermische Energie) ist frequenzabhängig. Sie beträgt P =U eff I eff cos Die Größe cos φ ist der Leistungsfaktor des Schwingkreises, und ein Maß für die vom Schwingkreis real aufgenommene Leistung (Wirkleistung). Mit cos φ = R/Z bzw. I eff = U eff /Z ergibt sich die mittlere Leistung 2 R P =U eff Z 2 und als Funktion von ω: P = U 2 eff R 2 L R 2 FOLIE 13

14 Die Breite der Resonanz wird durch den Gütefaktor Q (Q-Faktor, eng. quality) charakterisiert. Der Gütefaktor ist durch Q= 2 W GES W = L 0 R definiert. Dabei ist W GES die Summe aus elektrischer und magnetischer Energie des Schwingkeises und ΔW die Energie, die im Widerstand in Wärme dissipiert. Bei hinreichend scharfer Resonanz (Q> 2-3) gilt: Q= 0 = f 0 f Das Herausfiltern einer Frequenz/ eines Frequenzbereiches ist eine wichtige Anwendung von Reihenresonanzkreisen. Der Reihenresonanzkreis ist ein Bandpaß-Filter, er lässt je nach Gütefaktor ein mehr oder weniger breites Frequenz band passieren. FOLIE 14

15 (B2) Parallelschwingkreis U (t) ~ U R U C Parallelschwingkreis U L Herleitung der Ströme aus dem Zeigerdiagramm I = = I 2 R I L I C 2 U 2 U U = R X L X C 2 U Z Impedanz im Parallelschwingkreis 1 Z = 1 R X L X C 2 I L y x I φ I L + I c I R Im Resonanzfall erreicht 1/Z sein Minimum bei 1/R, womit der Gesamtstrom minimal wird. Durch X L = X C sind die Ströme in Spule und Kondensator zwar I C x gleich groß, aber um 180 phasenverschoben. Der Gesamtstrom fließt lediglich durch den ohmschen Widerstand. Im Gegensatz zum Reihenresonanzkreis wirkt der Parallelresonanzkreis als Bandsperre: Er lässt ein bestimmtes Frequenzband nicht passieren. Zeigerdiagramm FOLIE 15

16 EINFÜHURNG IN DIE LEITUNGSTHEORIE Motivation Hochfrequente Spannungssignale können sich in Leitern und Hohlleitern in Form von TEM Wellen ausbreiten. Dabei liegen die elektrischen und magnetischen Felder transvers zur Ausbreitungsrichtung. Eine wichtige Eigenschaft von TEM-Wellen, die Verknüpfung von E- und H-Feld mit Spannung und Strom U = E d I, I= H d I folgt aus den Maxwell-Gleichungen. In Konsequenz ist es deshalb möglich, statt der Lösung der Wellengleichung einen hierzu äquivalenten Wechselstromkreis zu benutzen und die Größen U und I zu berechnen. Dies ist in vielen Fällen die einfachere Lösung. FOLIE 16

17 LEMMA: Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit Wenn die Länge eines elektrischen Leiters die gleiche Größenordnung wie die Wellenlänge des HF-Signals hat, ist dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit vergleichbar der Schwingungsdauer und kann nicht vernachlässigt werden. Die Länge und Querschnitte sowie die geometrische Anordnung haben bei hohen Frequenzen einen wichtigen Einfluss. Dementsprechend sind die physikalischen Leitungsgrößen auf die Leitungslänge zu beziehen. Das Leitungsmodell geht von einer Gleichverteilung aus. Herleitung und Lösung der Übertragungsgleichung im Leiter series R and L längenbezogene Leitungsgrößen werden durch gestrichene Größen markiert) shunt G and C FOLIE 17

18 Modellanschauung Betrachtet werden zwei gerade Leiter der Länge z, die einen Generator mit einer Last verbinden. Den äquivalenten Schaltkreis (L-Kreis) zeigt das Bild. I (z,t) R Δ z L Δ z I ( z + + G Δ z C Δ z V (z,t) - - Die Leiter werden durch die gleichverteilten Leitungsgrößen R, L, G und C repräsentiert. Die Ausbreitungsrichtung +z wird in Richtung vom Generator zur Last angenommen. z z+ Δ z to generator to load Anwendung der Maschenregel (Σ U i = U GES ) U z z, t U z, t I z, t =R z I z, t L z z t L-Kreis: Es gibt alternative Ersatzschaltbilder, die alle zu den gleichen Leitungsgleichungen führen. mit z -> 0: U z,t I z,t =RI z,t L z t Anwendung der Knotenregel (Σ I i = 0) führt analog auf: I z,t U z,t =GU z,t C z t FOLIE 18

19 Unter der Annahme harmonischer Zeitverläufe U z, t =Re [U S z e j t ] I z, t =Re [I S z e j t ] wobei U S (z) und I S (z) die Phasoren von U(z,t) bzw. I(z,t) sind, ergeben sich die gekoppelten DGL d U S d z = R j L I S d I S d z = G j C U S Zur Trennung der Variablen wird die zweite Ableitung von U S gebildet. Unter Einbeziehung von I S ergibt sich d 2 U S d z 2 = R j L G j C U S oder d 2 U S d z 2 2 U S =0 FOLIE 19

20 und analog für I S d 2 I S d z 2 2 I S =0 wobei = j = R j L G j C die Ausbreitungskonstante bezeichnet (α Dämpfungskonstante, β Phasenkonstante). Die allgemeine Lösung der linearen homogenen DGL ergibt sich nach d Alembert zu U S z =U + 0 e z U - 0 e z I S z = I + 0 e z I - 0 e z wobei U + - 0, U 0, I + - 0, I 0 die Amplitudenwerte und + und die vor- und zurücklaufenden Wellen bezeichnen. Für die Momentanspannung ergibt sich U z, t =Re [U S z e j t ] =U 0 + e z cos t z U 0 - e z cos t z FOLIE 20

21 Man kann den L-Schaltkreis durch Einführung einer in Reihe geschalteten Impedanz Z bzw. Queradmittanz Y verallgemeinern. Die Gleichungen d U S d z = R j L I S d I S d z = G j C U S schreiben sich damit: d U S d z =Z I S d I S d z =Y U S Die beiden Gleichungen werden analog zu der oben beschriebenen Vorgehensweise kombiniert und gelöst, es ergibt sich: U S z =U 0 + e z U 0 - e z I S z =Y C U 0 + e z Y C U 0 - e z mit = j = Z Y FOLIE 21

22 Die charakteristische Admittanz Y C und die charakteristische Impedanz Z C einer Leitung sind durch Z C = 1 = Z = Y /Z Y C oder mit den Leitungsgrößen Z C = U + 0 I = U I = R j L - 0 = G j C bzw. Z C= R j L G j C =R 0 j X 0 definiert. Sie spezifizieren das Strom/Spannungsverhältnis einer Leitung. Die beiden komplexen Spannungen U + - 0, U 0 sind Integrationskonstanten, die sich durch Randbedingungen an den beiden Enden der Leitung ergeben. FOLIE 22

23 Literatur [1] Gardiol, F.E. Introduction to Microwaves, Artech House, Washington, 1984 [2] Sadiku, M.N.O. Elements of Electromagentics, 3rd Ed., Oxford University Press 2001 FOLIE 23