3.5 RL-Kreise und Impedanz

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1 66 KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN 3.5 RL-Kreise un Impeanz Neues Element: Spule Spannung an einer Spule: V = L Q Selbstinuktivität (Einheit: Henry) [L] = 1 V s A Ursache für as Verhalten einer Spule: = 1 H Bewegene Laung erzeugt ein Magnetfel Beschleunigte Laungen erzeugen zeitabhängiges Magnetfel Zeitabhängige Magnetfeler bewirken elektrische Feler Erzeugte elektrische Feler wirken er Beschleunigung entgegen RL-Element unter Wechselstromspannung: AC L Q + R Q = V (t) (3.44) L I + R I = V (t) (3.45) Diese DGL ist isomorph (in er mathematischen Form ientisch) zu er es RC-Kreises. Für: V (t) = V 0 e i ω t I(t) = Ĩ ei ω t

2 3.5. RL-KREISE UND IMPEDANZ 67 (i ω L + R) Ĩ ei ω t = V 0 e i ω t (3.46) Ĩ = V 0 R + i ω L (3.47) Impeanz einer Spule bei Frequenz ω Z L (ω) = i ω L Scheinwierstan ist Z (3.48) hohe Frequenzen bewirken hohen Scheinwierstan. Vergleiche mit Kapazität replacements Z C (ω) = C i ω C (3.49) Z L = ω L e i π 2 I = 1 ω L e i π 2 U ist ein Tiefpass Charakteristische Zeit eines RL-Kreises: L I + R I = 0 (3.50) Ansatz: I(t) = I 0 e t τ ( Lτ ) + R I 0 e t τ = 0 τ LR = L R (3.51) vgl. mitτ RC = R C Impeanz von Spulen Scheinwierstäne genügen en Regeln er Parallel-/Serienschaltung für gewöhnliche Wierstäne

3 68 KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN Z = R + i ω L (3.52) I 1 I I 2 Z 1 = R 1 + (i ω L) 1 (3.53) Beweis: R I 1 e i ω t = V 0 e i ω t i ω L I 2 e i ω t = V 0 e i ω t R(ω) I ges e i ω t = V 0 e i ω t Gleiches gilt für kapazitive Scheinwierstäne z.b.: R C = 1 i ω C Serienschaltung zweier kapazitiver Wierstäne: I ges = I 1 + I 2 ( 1 = V 0 R + 1 ) i ω L 1 = V 0 q.e.. (3.54) R LC (ω) RC(ω) 1 + RC(ω) 2 = = 1 ( 1 i ω C 1 i ω C 2 i ω + 1 ) C 1 C 2

4 3.6. RLC-KREISE: DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG RLC-Kreise: Differentialgleichungen 2. Ornung Betrachte zunächst Serienschaltung: L Q R Q 1 C Q AC V (t) L Q + R Q + 1 C Q = V (t) (3.55) Diese DGL legt ie Beschleunigung als Funktion von Q un Q fest. Q(t = 0) un Q(t = 0) können frei gewählt weren, ohne ass 3.55 verletzt wir. Anfangsbeingungen: Q(t = 0), Q(t = 0) Qualitative Diskussion Z L = R L = i ω L = ω L e i π 2 blockiert hohe Frequenzen Z C = R C = 1 i ω C = 1 ω C π e i 2 blockiert kleine Frequenzen mittlere Frequenzen können passieren Quantitative Diskussion:

5 70 KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN Annahme: V (t) = V 0 e i ω t Q(t) = Q e i ω t Q(t) = i ω Q(t) Q(t) = i ω Q(t) Eingesetzt in 3.55 (( ) ) 1 C L ω2 + i ω R Q = V 0 e i ω t (3.56) Lösung er inhomogenen DGL: Q = V 0 ( 1 C L ω2) + i ω R (3.57) Für ω > 1 verhalten sich Spule un Konensator eher wie eine eine Spule allein. Für ω < 1 verhalten sich Spule un Konensator eher wie eine ein Konensator allein. Bei ω = 1 heben sich inuktiver un kapazitiver Wierstan in er Serienschaltung auf. Neben er inhomogenen DGL muss auch ie homogene DGL gelöst weren. Dies geschieht wie üblich mit em Ansatz: Q(t) = Q 0 e i ω 0 t, (3.58) wobei ie Frequenz ω 0 nicht von außen vorgegeben wir. L Q + R Q + 1 C Q = 0 (3.59) ( L ω0 2 + i ω 0 R + 1 ) Q 0 = 0 (3.60) C ω 2 0 i R L ω 0 1 = 0. (3.61)

6 3.6. RLC-KREISE: DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG 71 Diese Gleichung für ie charakteristische Frequenz garantiert, ass ie homogene DGL für jeen Wert Q 0 un zu jeer Zeit erfüllt ist. Betrachten wir zunächst en Grenzfall R = 0 ω = 0 (3.62) ω 0 = ± (3.63) 2 Lösungen Q(t) = Q 0 e ±i t Mit iesen beien Funktionen können wir z.b. ( ) arstellen, oer auch sin t Allgemeiner Fall: R 0 e +i t + e i ( ) t = 2 cos t Lösungen (quaratische Ergänzung wie auch bei reellen Zahlen) ( ω 1,2 = i R 2 L ± i R ) L (3.64) 3 Fälle: Argument er Winkel = (a) positiv (b) null (c) negativ. In ieser Vorlesung wir nur Fall (a) betrachtet. Er entspricht einer geämpften Schwingung. Es sei nur folgenes erwähnt: Fall (c) entspräche einer überämpften Schwingung, in er ie Lösung nur noch aus Relaxationen aber nicht mehr aus Schwingungen bestüne. (b) ist er Grenzfall zwischen (a) un (c), er einer zusätzliche Lösung bearf, nämlich Q(t) t exp(iωt).

7 72 KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN Zur Untersuchung er unterämpften Schwingung setze (3.64) in (3.59) ein. Dazu: γ = R 2 L ω0 2 = 1 Q(t) = exp ( i = exp ( γ t) exp }{{} Dämpfung ( ) i γ ± ω 20 γ 2 ( ) t ) ±i ω0 2 γ 2 t }{{} Schwingung wenn ω0 2>γ2 (3.65) (3.66) (3.67) Ω := ω 2 0 γ 2 Die beien Lösungen Q(t) = e γ t e ±i Ω t erlauben es uns, genau ieselben Funktionen aufzuspannen wie eine beliebige Linearkombination von Q(t) = e γ t cos(ω t) un e γ t sin(ω t). Üblicherweise ist ie Strategie bei DGL s: löse sie mit komplexen Zahlen verwerte Anfangs- bzw Ranbeingungen mit reellen Lösungen Im gegebenen Fall haben wir 2 Lösungen un 2 Anfangsbeingungen Q(t) = Q inhomogen (t) + A e γ t cos(ω t) + B e γ t sin(ω t) Q(t = 0) legt einen Anfangswert fest Q(t = 0) legt en zweiten Wert fest Ω γ = Güte es Oszillators Eine hohe Güte beeutet, ass er Schwingkreis urch viele Minima un Maxima läuft, bevor ie Amplitue auf ie Hälfte gefallen ist.