Klangsynthese und Audiobearbeitung

Transkript

1 Klangsynthese und Audiobearbeitung Thomas Hermann & Peter Meinicke AG Neuroinformatik Universität Bielefeld Termin 3, Akustik & Signalverarbeitung, 29. April projects/datason/l/klangsynthesess2002.html

2 3.3 Erzwungene Schwingungen k R m F ext System: Externe Kraft F ext wirkt auf Masse- Feder-System Bewegungsgleichung (DGL): F ext (t) = mẍ(t) + Rẋ(t) + kx(t) (1) Lösung: DGL ist linear, d.h. die Lösung ist allgemein x(t) = x hom (t) + x inhom (t) (2) o. B. d. A. F ext (t) = ˆF e iωt Linearität: Lösung für Basisfunktionen Lösung für alle Funktionen! Klangsynthese und Audiobearbeitung 1

3 Erzw. Schwingung - Lösung Lösungsansatz: F ext (t) = mẍ(t) + Rẋ(t) + kx(t) x(t) = Ae Bt ẋ(t) = ABe Bt ẍ(t) = AB 2 e Bt Einsetzen in DGL: ˆF e iωt = mab 2 e Bt + RABe Bt + kae Bt Es gilt t B = iω ˆF m = Aω2 + 2γAiω + ω 0 A Isoliere A: ˆF /m A = ω 2 ω iγω Klangsynthese und Audiobearbeitung 2

4 Erzw. Schwingung - Folgerungen Amplitude hängt von Anregungsfrequenz ω ab. A ist komplex A = Âeiφ. Phasenverschiebung φ zwischen x(t) und F (t). Einschub: Phase und Betrag komplexer Zahlen: z = a + bi = z e iφ mit z = a 2 + b 2 und tan(φ) = b/a Maximale Amplitude bei der Resonanzfrequenz ω r. Bedingung:  maximal Nennerbetrag minimal  = ˆF /m (ω2 ω 2 0 )2 + 4γ 2 ω 2 (3) Klangsynthese und Audiobearbeitung 3

5 Frequenzgang und Phasengang Plot des Betrags der Amplitude Â(ω): pi 0.75 pi 0.50 pi 0.25 pi 0.00 pi Amplitude Phasengang Frequenz [Hz] R=0.1 R=0.2 R=0.3 R=0.5 R= Frequenz [Hz] Klangsynthese und Audiobearbeitung 4

6 Zusammenfassung Frequenzgang: Amplitude maximal in Resonanz: Energie oszilliert Je kleiner R, desto ausgeprägter die Resonanzamplitude. Phasengang: in Phase bei niedrigen Frequenzen, stiffness-controlled 45 im Resonanzfall. Gegenphase bei hohen Frequenzen, mass-controlled Allg. Lösung: Überlagerung der freien und erzwungenen Schwingung, also x(t) = Ce γt e iω f t Âe( iωt φ) 1. Term verschwindet (transient) 2. Term ist stationäre Lösung Klangsynthese und Audiobearbeitung 5

7 Mechanik Elektrodynamik Analogon zum Elektrischen Schwingkreis: Ladung Q x Ort Strom I v Geschwindigkeit Spannung U F Kraft Widerstand R = U/I R = F r /v Mechanischer Widerstand Induktivität L m Masse 1/Kapazität U = Q/C F = kx Federkraft Induktion U = LI F = ma Newtons Gesetz U ext L R C Q Elektronik: Input U Output I U/I = Z Impedanz. Analog: Mechanische Impedanz Z = F/v. Klangsynthese und Audiobearbeitung 6

8 3.4 Komplexe Systeme Saite (1D), Membran (2D), Festkörper (3D) unter Spannung modellierbar als Massen/Federn-Netzwerk Saite (longitudinal / 2 x transversal) m 1 m m m m m Membran k k k k k Schallwellen im Hohlraum (Flöte, Klarinette, Sprachtrakt) modellierbar als Wellenleiter/DWG (Kapitel 7) Input Kupplung Output Weitere Bereiche der Akustik: Schallabstrahlung, Raumakustik, Bewegte Schallquellen, Turbulente und Nichtlineare Phänomene Klangsynthese und Audiobearbeitung 7

9 3.5 Schallwellengleichung Am Beispiel der Saite (1D), Transversalwellen Kontinuierliche Systeme (Massendichte ɛ [g/m]) Betrachte: Kraft auf kleines Massenelement dx: F (x) = T y (x) T y (x + dx) = T 2 y x 2 y T T Ty (x+dx) Ty (x) x x+dx x Newton: F = mẍ mit m = ɛdx und ẍ = 2 x t 2 Wellengleichung ɛ 2 y = x 2 2 x t 2 (partielle lineare DGL) Klangsynthese und Audiobearbeitung 8

10 Schallwellengleichung: Lösung Lösen durch Probieren: y + (x, t) = F (x ct) und y (x, t) = F (x + ct) Ableiten und Einsetzen: c = T/ɛ Laufgeschwindigkeit Einspannungspunkte der Saite führen zur Reflexion Details: Kapitel 7 (Physical Modelling) Klangsynthese und Audiobearbeitung 9