6 Der Harmonische Oszillator

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1 6 Der Harmonische Oszillator Ein Teilchen der Masse m bewege sich auf der x-achse unter dem Einfluß der Rückstellkraft Fx = mω x. 186 Die Kreisfrequenz ω bzw. die Federkonstante k := mω ist neben der Masse m der zweite frei wählbare Parameter dieses Systems. 6.1 Newtonsche Bewegungsgleichung Newtons zweites Gesetz mẍt = Fxt führt auf die DGl mẍt = mω xt. 187 Die eindeutige Lösung zu den Anfangsbedingungen x0 = x 0, ẋ0 = v 0 ist xt = x 0 cosωt + v 0 ω sinωt x 0, v 0 R beliebig. 188 Die Gesamtenergie beträgt Et = m ẋt + mω xt = m [ x0 ω sinωt + v 0 cosωt ] mω [ + x0 cosωt + v 0 ω sinωt] = m v 0 + mω x 0 = E = const. 189 Anders als in der Quantenmechanik kann diese Energie in der klassischen Mechanik jeden beliebigen Wert E 0 annehmen. Bei maximaler Geschwindigkeit ẋt = v gilt xt = 0, während maximale Auslenkung xt = x bedeutet, daß ẋt = 0. Es folgt also E = m v = mω E E x x = mω, v = m

2 Wir können eine klassische Aufenthalts-W keitsdichte AWD ρ kl x definieren. Dazu betrachten wir eine halbe Schwingung mit Amplitude x > 0, xt = x sinωt T 4 t T Die Umkehrfunktion ist tx = 1 ω arcsin x x x x x. 19 Die W keit, das schwingende Teilchen irgendwo zwischen den Punkten x 1 und x > x 1 mit x x 1 < x x anzutreffen, ist gleich dem Verhältnis der Aufenthaltsdauer tx tx 1 zwischen diesen Punkten zur halben Schwingungsperiode, x dx ρ kl x = tx tx 1 1 x T ρ kl x = t x 1 T = 1 π x x. x 38 fighoszqm.pdf

3 6. Kanonische Gleichungen Die Kraft Fx = mω x V x leitet sich aus dem Potential V x = mω x 194 ab. Daher lautet die Lagrange-Funktion Lx, ẋ := Tx, ẋ V x = m ẋ mω x, 195 und der zu x kanonisch konjugierte Impuls ist px, ẋ = Lx, ẋ ẋ = mẋ ẋx, p = p m. 196 Damit lautet die Hamilton-Funktion Hx, p := pẋx, p Lx, ẋx, p = p m [ p m mω x] = p m + mω x, 197 und die kanonischen Gleichungen d x dt p = Hx, p/ p Hx, p/ x 198 sind gegeben durch ẋt ṗt = 1 pt m mω xt, 199 mit der durch die Anfangsbedingung {x0 = x 0, p0 = p 0 } eindeutig bestimmten Lösung xt pt = x0 cosωt + p 0 mω sinωt p 0 cosωt mωx 0 sinωt

4 6.3 Schrödinger-Gleichung Die quantenmechanische Wellenfunktion ψx, t genügt der Schrödinger-Gleichung, i h ψx, t = Ĥψx, t. 01 t Der Hamilton-Operator Ĥ wird aus der klassischen Hamiltonfunktion Hx, p des jeweiligen Systems abgeleitet, indem darin die Variable p durch den quantenmechanischen Impulsoperator ˆp = i h ersetzt wird. Im Fall des harmonischen Oszillators gilt also x Ĥ := Hx, ˆp = ˆp m + mω x. 0 Das Quadrat ˆp eines Operators bedeutet dabei seine zweifache Hintereinanderausführung, ˆp ψx, t := ˆp [ˆpψx, t ] = i h [ i h x x ψx, t] = h ψx, t. 03 x Damit lautet die Schrödinger-Gleichung 01 für den harmonischen Oszillator explizit i h h ψx, t ψx, t = + mω t m x x ψx, t Eigenwerte und Eigenfunktionen Der Hamilton-Operator 0 ist zeitunabhängig. Daher betrachten wir in diesem Unterabschnitt nur zeitunabhängige Wellenfunktionen ψx. Def. 1: Eine Zahl λ C heißt Eigenwert von Ĥ, wenn es eine von der Nullfunktion verschiedene quadratintegrable Funktion φx gibt, dx φx < +, sodaß gilt Ĥφx = λφx x R. 05 φx heißt dann eine zum Eigenwert λ gehörende Eigenfunktion von Ĥ. Die Menge S C aller Eigenwerte von Ĥ heißt das Spektrum von Ĥ. Bem. 1: a Eine Eigenfunktion speziell des Hamilton-Operators Ĥ zum Eigenwert λ beschreibt immer einen Quantenzustand mit scharf bestimmter Energie E = λ. b Das Ergebnis einer Energiemessung ist immer einer der Eigenwerte von Ĥ, auch wenn die Wellenfunktion ψx, die den Systemzustand vor der Messung beschreibt, keine Eigenfunktion von Ĥ ist. 40

5 c Eine Eigenfunktion ist durch den Eigenwert λ nicht eindeutig bestimmt; mit φx ist auch αφx mit beliebiger komplexer Zahl α 0 Eigenfunktion zum Eigenwert λ. Def. : Der Eigenwert λ von Ĥ heißt entartet, wenn es dazu mindestens zwei linear unabhängige Eigenfunktionen gibt. Satz 1: Der Hamilton-Operator Ĥ = ˆp abzählbar-unendliche Spektrum m + mω x des harmonischen Oszillators hat das S = {E n } n=0,1,,... R, E n = n + 1 hω. 06 Keiner der Eigenwerte λ = E n ist entartet. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind φ n x = N n H x n e x /a h, a := a mω n = 0, 1,, Bem. : Die Funktionen H n t sind die Hermite-Polynome, H n t := 1 n dn t e, H 0 =1, H 1 =t, H =4t, H 3 =8t 3 1t, dt ne t Für die an sich willkürlichen Vorfaktoren wählt man üblicherweise N n = n n! πa 1/ 1 mω 1/4. 09 n n! hπ Damit sind die φ n x korrekt normiert, dx φ n x = 1. Für die Länge a gilt a = Js mω = m m[kg] ω[s 1 ]. 10 Zum Beweis von Satz 1: Wir prüfen als Beispiel den Fall n =, Ĥφ x = N [ h d a x /a e m dx + mω x] 4 x [ h d = N 4x a x /a e ma dx + mω a x 4 4 a ] 4 x e x /a.11 a Mit h ma = mω a = hω folgt weiter hω [ d x 3 Ĥφ x = N 10x 4 e dx a hω x = N 0 a 10 x /a e x /a + 4 x4 a ] 4 x e x /a a = 5 hω φ x. 1 41

6 6.3. Stationäre Lösungen Bem. : Mit der Eigenfunktion φ n x zum Eigenwert E n = n + 1 hω =: hω n ist durch ψ n x, t := φ n xe iωnt ωn := E n h 13 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung 01 gegeben. Die rechte Seite ergibt nämlich Ĥψ n x, t = [ Ĥφ n x ] e iωnt = [ E n φ n x ] e iωnt = E n ψ n x, t, 14 und die linke Seite lautet i h ψ nx, t t = i hφ n x t e iωnt = i h iω n φ n xe iωnt = E n ψ n x, t. 15 Diese Lösungen ψ n x, t sind insbesondere stationär, ψ n x, t = φ n x zeitunabhängig. 16 Die zeitlich konstanten Aufenthalts-W keitsdichten AWD φ n x lassen sich, zumindest für große n 1, mit der klassischen AWD aus Abschnitt 6.1 vergleichen. Bem. 3: Neben der eigentlichen Schrödinger-Gleichung 01, i h ψx, t = Ĥψx, t, 17 t wird auch die Eigenwert-Gleichung 05, Ĥψx = Eψx, 18 als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung bezeichnet. Um Mißverständnisse auszuschließen, nennt man daher Gl. 17 meist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. 4

7 6.3.3 Lösungen zu beliebiger Anfangsbedingung Um interessantere, nicht-stationäre Lösungen zu gewinnen, muß man mehrere stationäre Lösungen zu verschiedenen Energien E n also mit verschiedenen Frequenzen ω n überlagern. Die Grundlage dieses Superpositionsprinzips ist: Satz : Der Hamilton-Operator Ĥ ist linear: Für zwei beliebige Funktionen ψ a und ψ b und beliebige Zahlen λ a, λ b C gilt stets Ĥ [ λ a ψ a x + λ b ψ b x ] = λ a Ĥψ a x + λ b Ĥψ b x. 19 Damit ist auch die Schrödinger-Gleichung i h ψx, t = Ĥψx, t linear: Mit zwei Lösungen t ψ a x, t und ψ b x, t ist auch jede Linearkombination ψx, t = λ a ψ a x, t + λ b ψ b x, t 0 eine Lösung Superpositionsprinzip. Als einfachstes Beispiel überlagern wir die Oszillator-Lösungen ψ n x, t und ψ n+1 x, t, ψx, t = 1 [ φn xe iωnt + φ n+1 xe iω n+1t ] = e iωnt [ φn x + φ n+1 xe iωt], 1 wobei ω n+1 = ω n + ω benutzt wurde. Wir erhalten also jetzt eine zeitabhängige AWD, ψx, t = 1 φ n x + φ n+1 xe iωt = [ 1 φn x + φ n+1 x ] + φ n x φ n+1 x cosωt. Im zweiten Schritt wurde benutzt, daß die φ n x reellwertig sind. Diese beobachtbare Größe oszilliert genau mit der klassischen Schwingungsfrequenz ω! Um dies genauer zu untersuchen, betrachten wir den Fall n = 0. Der zeitabhängige Erwartungswert der Variable x mit der W keitsdichte ψx, t ist gegeben durch x t = dxx ψx, t = cosωt dxxφ 0 x φ 1 x. 3 Hier wurde ausgenutzt, daß φ n x für jedes n eine symmetrische Funktion von x ist. Wegen xφ 0 x = a φ 1 x und dx φ 1 x = 1 folgt also x t = a cosωt. 4 43

8 Dies entspricht genau der klassischen Bewegung xt mit Energie E = 1 E 0 + E 1, xt = x cosωt, x = E hω mω = mω = a. 5 Satz 3: Die Eigenfunktion φ n x n = 0, 1,,... des harmonischen Oszillators bilden ein VONS im Raum H der quadratintegrablen Funktionen ψ : R C, x ψx. Jede solche Funktion hat eine eindeutige Darstellung ψx = a n φ n x; 6 n=0 die Koeffizienten sind gegeben durch a n = dxφ n xψx. 7 Durch Kombination von Satz mit Satz 3 können wir nun die Lösung ψx, t der Schrödinger-Gleichung 01 des harmonischen Oszillators zu jeder Anfangsbedingung ψx, t = fx, t=0 8 mit beliebig vorgegebener Funktion fx, konstruieren. Dazu entwickeln wir fx gemäß Satz 3 nach den Eigenfunktionen von Ĥ, fx = f n φ n x, f n = dxφ nx fx. 9 n=0 Nach dem Superpositionsprinzip Satz läßt sich dann die gesuchte Lösung als entsprechende Überlagerung der stationären Lösungen von Gl. 13 darstellen, ψx, t = f n ψ n x, t f n φ n xe iωnt. 30 n=0 n=0 Da die ψ n x, t Lösungen sind, ist nach Satz auch diese Linearkombination eine Lösung. Sie ist zugleich die gesuchte Lösung, da sie nach Konstruktion die Anfangsbedingung 8 erfüllt. Bsp. 1: Wir betrachten die Anfangsbedingung 8 mit der Funktion e x x /a fx = φ 0 x x = a π 31 44