Teil II: Quantenmechanik

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1 Teil II: Quantenmechanik Historisches [Weinberg 1] Den ersten Hinweis auf die Unmöglichkeit der klassischen Physik fand man in der Thermodynamik des elektromagnetischen Feldes: Das klassische Strahulungsfeld im thermischen Gleichgewicht hat unendliche Energiedichte. Planck konnte das korrekte Energiespektrum der Wärmestrahlung zunächst,,erraten (1900). Später hat er dann eine Herleitung mit mit Hilfe der Quantenhypothese gefunden: Emission und Absorption von Licht mit der Kreisfrequenz ω erfolgt nur in ganzahligen Vielfachen von ω mit dem Planckschen Wirkungsquantum = h 2π = 1, J s Einstein postulierte dann 1905: Licht der Wellenlänge λ besteht aus Paketen, Teilchen der Energie ω und Impuls k mit k = 2π/λ = ω/c Bohr postulierte 1913 Quantenbedingungen für im Atom gebundene Elektronen und konnte so die Energienieveaus im Wasserstoff erklären. De Broglie hat 1924 Materieteilchen wie z.b. Elektronen Welleneigenschaften zugeschrieben: ω = E/, k = p/. Aus E = p 2 /() ergab sich ω = k 2 /(). Bis dahin waren das Hypothesen und Kochrezepte die für manche Systeme korrekte Resultate lieferten, für andere nicht, aber keine Theorie. Der Durchbruch zur Quantentheorie gelang 1925 Heisenberg mit der,,matrizenmechanik, die von Heisenberg, Born und Jordan ( ) und unabhängig von Dirac (1926) ausgearbeitet wurde. Schrödinger hat 1926 die Quantenmechanik ein zweites Mal in Form der,,wellenmechanik entdeckt, aufbauend auf den Ideen von de Broglie. Er fand die Schrödingergleichung und zeigte später, dass diese mathematisch äuquivalent zur Matrizenmechanik ist. In dieser Vorlesung werden wir die Formulierungen von Schrödinger und später auch die von Dirac benutzen. Born fand 1926 die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. Die weitgehend anerkannte Deutung der Quantenmechanik ist die sogenannte Kopenhagener Interpretation, die von Born und Heisenberg abgeschlossen wurde. 1 Die Wellenfunktion [Griffiths 1.1] Betrachte ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse M, das sich in einer Raumdimension im Potential V (x) bewegt. In der klassischen Physik hat das Teilchen zu jedem Zeitpunkt t eine bestimmte Position x(t), die durch das Newtonsche Gesetz Mẍ(t) = F ( t, x(t) ) 1

2 mit der Kraft F = V x bestimmt ist. Kennt man V, sowie x(t 0 ), ẋ(t 0 ) für ein t 0, ist dadurch x(t) für alle Zeiten t festgelegt. In der Quantenmechanik ist das ganz anders. Hierzu gibt es unzählige Beispiele, ich erwähne an dieser Stelle nur zwei: 1. Betrachte ein freies Neutron in Ruhe. Wenn man noch dazu sagt, in welche Richtung sein Spin zeigt, ist der Zustand des Neutrons vollständig bestimmt. Jedes freie Neutron zerfällt früher oder später in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino. Man kann aber nicht sagen wann, obwohl man den Zustand vollständig kennt! Was man sagen kann, dass der Zerfall im Mittel nach knapp 15 Minuten erfolgt, aber es kann auch kürzer dauern oder auch länger. 2. Licht besteht aus Photonen. Nehmen wir an wir haben einen monochromatischen zirkular polarisierten Lichtstrahl, der auf einen halbdurchlässigen Spiegel fällt. Dann ist der Zustand jedes Photons vollständig bestimmt. Alle Photonen sind gleich. Trotzdem werden manche vom Spiegel reflektiert und die anderen werden durchgelassen. Was mit einem einzelnen Photon passiert, kann man nicht vorhersagen, obwohl man seinen Zustand kennt. 1.1 Die Schrödingergleichung Ein Teilchen, das sich einer Raumrichtung bewegen kann, wird in der Quantemechanik durch eine komplexwertige Wellenfunktion ψ(t, x) beschrieben. ψ ist durch eine lineare partielle Differentialgleichung bestimmmt. Diese kann man nicht herleiten, aber durch die de Broglie-Relationen motivieren: Ein freies, d.h. kräftefreies Teilchen hat einen konstanten Impuls p = k. Es wird beschrieben durch die ebene Welle ψ = Ae ikx iωt wobei Nun ist ψ ist also Lsg. der DGL ω = ( k)2 ωψ = t, ( k) 2 t = 2 ψ 2 x 2 = 2 ψ 2 x 2 ( ) 2

3 Die Energie als Funktion von p und x ist die Hamiltonfunktion H(p, x). Für freie Teilchen ist H(p, x) = p2 Ersetzt man hierin p i x dann kann man ( ) schreiben als t = H ( i ) x, x ψ Schrödinger postutierte dass dies allgemein gilt, also auch für den Fall mit Potential V (x) Das ergibt die Schrödingergleichung H(p, x) = p2 + V (x) t = 2 2 ψ 2 x + V ψ Wie versprochen ist dies eine partielle DGL. Sie ist linear wenn ψ 1, ψ 2 Lösungen sind, dann auch c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 mit beliebigen komplexen Zahlen c 1, c 2. Sie genügt also dem Superpositionsprinzip. Jetzt haben wir eine Gleichung für ψ, wissen aber noch nicht was ψ bedeutet. 1.2 Die statistische Interpretation [Griffiths 1.2] Die Bedeutung kommt jetzt: ψ(t, x) 2 = ψ (t, x)ψ(t, x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden. Anders ausgedrückt: b a dx ψ(t, x) 2 ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen a und b (a < b) zu finden. Mehr kann man nicht sagen! Der Ort des Teilchens ist i.a. nicht bestimmt. Man kann nur sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man es in einem bestimmten Gebiet findet. Das Ergebnis einer Messung (hier des Ortes) kann i.a. nicht vorhergesagt werden. 3

4 Es gibt aber eine Ausnahme: Angenommen man macht eine Ortsmessung, findet den Wert d und wiederholt die Ortsmessung unmittelbar danach. Dann erhält man den gleichen Wert d. D.h. durch die Messung ändert sich die Wellenfunktion i.a. radikal! Diese Änderung bezeichnet man als Kollaps der Wellenfunktion. Eine Konsequenz der Schrödingergleichung und der Interpretation der Wellenfunktion sind Beugungseffekte von Materieteilchen, z.b. am Doppelspalt: 4

5 Das gleiche Experiment mit Fußbällen, die blindlings auf eine Torwand mit zwei Löchern geschossen werden: 22. April