Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen

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1 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Zeitabhängige S- G l g., ħ ħ x (, (, m i = + Vrt rt Analogie zu den eletromagnetischen Wellen, Materiewellen, intuitives Raten etc. Ansatz f ü r W e l l e :, = A exp( ir ( ωt = A exp( ix ( + y + z ωt x y z Albert/wave1d Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Zeitabhängige S- G l g., ħ ħ = + x (, (, m i Vrt rt Analogie zu den eletromagnetischen Wellen, Materiewellen, intuitives Raten etc. Ansatz f ü r W e l l e line Seite:, = A exp( ir ( ωt = A exp( ix ( + y + z ωt x y z, iħ = iħ( iω A exp( ir ( ωt rechte Seite: ħ ħ, = exp( i... exp( ( xx+ = A ir ωt m x y z m 1

2 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen ħ ħω A exp( ir ( ωt = m d. h. die Gleichung wird erfüllt für alle W e l l e n, f ü r d i e ω und die Beziehung ω = ħ m erfüllen. ω unendlich viele Lösungen Dispersionsrelation Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen E b e n e W e l l e :, = A exp( ir ( ω t..schön und gut, aber wie omme ich wieder an reale Größen?? 1. Der Ort des Teilchens: ρ, =, =,, = A exp( ix ix iωt + iωt = A *... a h a, r ä u m l i c h o n s t a n t!?

3 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Der Impuls E b e n e W e l l e :, = A exp( ir ( ω t. Die Geschwindigeit bzw. der Impuls ( l a s s i s c h p=mv : Zusammenhang wurde schon von Louis der Broglie 19 erannt: h Wellenlänge λ = p π h Mit λ = folgt p = =ħ π d.h. jeder W e l l e m i t W e l l e n v e t o r entspricht ein Eletron mit Impuls p=h Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen A u f g r u n d d e s S u p e r p o s i t i o n s p r i n z i p s a n n m a n a l s o b e l i e b i g L ö s u n g e n mit verschiedenen Impulsen überlagern:, = da exp( ir ( ω t (sieht aus wie Fouriertrafo! ω

4 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen...aha, da ann man jetzt alle Trics der Fouriertransformation auf die Quantenmechani loslassen... und sich zusammenbasteln, wie ein loalisiertes Teilchen beschrieben wird. - Idee hierbei: Kennt man die ebenen Wellen zu einem Zeitpunt, so e n n t m a n d i e W e l l e n f u n t i o n f ü r a l l e Z e i t e n. Bsp.: vollommen loalisiert im Raum bei r = (in 1D ( x, = δ ( x 1 ( t, = (, e x p ( dr rt ir π 1, = d ( t, e x p ( ir π 1 (, = π Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete Mathematisch einfacher zu handhaben: 1 x ( x, = exp( e x p ( x a π a x Aufenthaltswahr - s c h e i n l i c h e i t 1 x ρ ( x, = exp( a π a... einigermassen auf x = a l o a l i s i e r t e s T e i l c h e n W ir basteln uns das Ganze aus ebenen Wellen zusammen: (Fouriertrafo 1 a ( = dx ( x e x p ( ix = exp π π / a 8 a 4

5 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete - eine qualitative Aussage über das Verhältnis von x u n d - Lösung für alle Zeiten, denn wir müssen jetzt die ebenen W e l l e n nur noch loslaufen lassen 1 ( ( a ix a 1 a + ( xt, exp( e x p = π iħt i t a ħ + a + m m b z w. f ü r d i e W a h r s c h e i n l i c h e i t s d i c h t e ħt 1 1 x ρ ( xt, exp m = π at ( at ( Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete - W e l l e n p a e t z e r f l i e s s t i m Laufe der Zeit! - Schwerpunt bewegt sich mit einer Geschwindigeit v = ħ oder mv = p =ħ m free particle: applet 5

6 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete 8 a x O r t s r a u m I m p u l s r a u m Breite der Funtionen im Orts - bzw. Impulsraum verhalten sich rezipro zueinander x 1 Ganz allgemein gilt: x p ħ Heisenberg sche Unschärferelation für Impuls und Ort! I.4 Die Wellenfuntion Y(r,t: Kontinuitätsgleichung ρ (x x x + d x * * * ρ = = + = iħ iv iħ iv iħ m ħ m ħ m... = iħ div m * * ( + ( * * * * = + = d.h.: ħ ρ = divj = + mi * * ; m i t j ( 6

7 I.4 Die Wellenfuntion Y(r,t: Kontinuitätsgleichung ħ ρ = divj = + mi * * ; m i t j ( dj In einer Dimension: div j = =j(x+dx-j(x dx j ( x ρ( x j ( x + d x K o n t i n u i t ä t s g l e i c h u n g f ü r d i e A u f e n t h a l t s w a h r s c h e i n l i c h e i t j ist also eine (Teilchenstromdichte I. Grundlagen der Quantenphysi I.1 Einleitung I. Historisches I. Die Schrödinger- Gleichung I.4 Die Wellenfuntion Ψ(r,t I.5 Erwartungswerte 7

8 Quantenmechanische Erwartungswerte Z e i t e n t w i c l u n g d e r W e l l e n f u n t i o n i s t ( i m P r i n z i p b e a n n t - Berechnung von realen Größen??? * W ir ennen schon ρ, =, =,, Allgemeiner: * Der Erwartungswert bei einer Ortsmessung ist: r ( t dr r,, < > = - der Mittelwert, der bei einer grossen Anzahl von Messungen an gleichartigen q u a n t e n m e c h a n i s c h e n S y s t e m e n g e m e s s e n w i r d - bei einer Messung wird aber immer nur ein b e s t i m m t e r W e r t g e m e s s e n - damit haben wir den Ort des Teilchens im Griff!... aber was ist mit allen anderen physialischen Größen?? Quantenmechanische Erwartungswerte. Postulat der Quantenmechani: Physialische Meßgrößen werden durch Operatoren beschrieben. Dem Teilchenort wird der Operator r zugeordnet, der (r mit r multipliziert. Dem Impuls wird der Operator p = iħ zugeordnet. Bei oftmaliger Messung einer Größe F(r,p an einem quantenmechanischen System ergibt sich als Mittelwert: * d r Frp, (,, <F>= * d r,, 8

9 Quantenmechanische Erwartungswerte: Bsp. Ebene Welle Ort:...hatten wir im Prinzip schon., = A exp( ir ( ω t d ra exp( ir ( ωt ra exp( ir ( ωt d rr < r >= = = d ra exp( ir ( ωt A exp( ir ( ωt d r I m p u l s : <p>= d ra exp( ir ( ωt ( iħ A exp( ir ( ωt = ħ d ra exp( ir ( ωt A exp( ir ( ωt 1 p Klassisch: E = mv = Kinetische Energie? m W ir benutzen die Quantisierungsvorschrift : 1 p Klassisch: = quantenmechanisch: p E mv = E = H = = ħ m m m Hamiltonoperator Quantenmechanische Erwartungswerte: Bsp. Ebene Welle < E >=< H >= ħ m d ra exp( ir ( ωt ( A exp( ir ( ωt d ra exp( ir ( ωt A exp( ir ( ωt ħ = m Vergleich mit der Schrödinger - Gleichung:, ħ iħ = Vrt (, H + =, m E pot E in E ges 9

10 I. Grundlagen der Quantenphysi II. Eletronische Zustände II.1 Die zeitunabhängige S- Gleichung Die zeitunabhängige S-Glg. Die zeitabh. S- Glg:, ħ (, (, m iħ = + Vrt rt Ist das Potential z e i t u n a b h ä n g i g, so ann die W e l l e n f u n t i o n i n e i n e n P h a s e n f a t o r u n d e i n e n z e i t u n a b h ä n g i g e n Term separiert werden: Einsetzen: iωt (, rt = φ( re, iħ = iħϕ ( r e x p ( iωt ( iω = H ϕ ( r e x p ( iωt ħ ωϕ ( r = Hϕ ( r E 1

11 Die zeitunabhängige S-Glg. ħ m Vr ( ( r E ( r + = (wieder statt ϕ Operator angewendet auf die Funtion ergibt wieder die Funtion selber, multipliziert mit einer Konstanten... analog zum Eigenwertproblem der linearen Algebra! Die zeitunabhängige S-Glg. als Eigenwertproblem Ae = Ae = Ee λ Operator wird auf einen Vetor (Funtion angewendet und ergibt ein Vielfaches des Vetors (der Funtion Gesucht sind also im allgemeinen Eigenfuntionen und Eigenwerte zum Hamiltonoperator. Ende