Vorlesung 5: (Elektron: griechisch für Bernstein, das durch Reibung elektrostatisch aufgeladen wurde)

Transkript

1 Vorlesung 5: Roter Faden: Elektron als Welle Heisenbergsche Unsicherheitsrelation (Elektron: griechisch für Bernstein, das durch Reibung elektrostatisch aufgeladen wurde) Folien auf dem Web: Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

2 Erzeugung von Elektronen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

3 Erzeugung von Elektronen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

4 Erzeugung von Elektronen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

5 Erzeugung von Elektronen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

6 Sekundäremission Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

7 Photomultiplier: Photoeffekt plus Sekundäremission Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

8 Erste Experimente mit Elektronen Gasentladungen ionisieren i i Gas-> neg. und pos. Teilchen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

9 Erste Experimente mit Elektronen Ionen (Kanalstrahlung) Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

10 Schlussfolgerung Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

11 Erste Experimente mit Elektronen mv 2 /r=evb-> p=ebr e/m=2u/b 2 r 2 E=p 2 /2m=eU Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

12 Bestimmung der Elektronladung Stokesche Reibungsgesetz Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

13 Aus e/m Bestimmung und e-bestimmung konnte relat. Massenanstieg bestimmt werden ħ Entdeckung der relat. Massenzunahme von Kaufmann VOR der Relativitätstheorie in 1905 von Einstein! Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

14 Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen Vor Rekristallisierung Ni θ e- Intensität unter Streuwinkel θ Nach Rekristallisierung Zufällige Entdeckung der Bragg-peaks bei Streuung von Elektronen an Ni-Kristalle Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

15 Davisson und Germer: Elektron Streuung an Nickel Kristallen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

16 Einzel und Doppelspalt Beugung von Elektronen Max. und Min. in der Intensitätsverteilung nach Streuung an einem Draht zeigen Interferenz, d.h. Wellencharakter der Elektronen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

17 Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen Experiment mit langsamen Neutronen (v=200m/s, db ~2 nm) Doppelspalt: 23 m bzw. 22 m breit 104 m Abstand Beugungswinkel ~ 50 rad (~10 ) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988) Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

18 Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen Einzelspalt Doppelspalt Durchgezogene Linie: Vorhersage der (linearen) Quantenmechanik (unter Berücksichtigung aller Parameter wie Geometrie, Geschwindigleitsverteilung etc...) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988) Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

19 De-Broglie Beziehung Photon: E=hv=hc/ und E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 Daher: für m=0 gilt: E=pc=hc/ oder p=h/ (de Broglie) Um Interferenzen der Elektronen zu erklären postulierte t de Broglie das diese Beziehung auch für Teilchen gilt! Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

20 Elektronenmikroskop Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

21 Elektronenmikroskop Wohldefinierte Energie= Wohldefinierte Wellenlänge -> hohe Auflösung Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

22 Realisierung elektrostatischer Linsen Energiefilter Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

23 Magnetische Linsen Impulsfilter Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

24 Magnetische Linsen Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

25 Elektronenmikroskop wohldefinierte Energie= wohldefinierte Wellenlänge -> hohe Auflösung Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

26 Elektronenmikroskop Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

27 Rastertunnelmikroskop KonstanteTunnelstrom durch Höhenanpassung-> Oberflächentopographie Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

28 Rastertunnelmikroskop Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

29 Rastertunnelmikroskop Manipulation einzelner Atomen mit Tunnelspitze Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

30 Rastertunnelmikroskop Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

31 Zusammenfassung 3 Wenn Energien, Orte oder Impulse im Bereich E=hv und =p/h kommen, werden Quanteneffekte wichtig! Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

32 Welle-Teilchen Dualismus De Broglies Erklärung für die Quantisierung der Atomniveaus und die Interferenzpatrone der Teilchen (Davisson, Germer, Doppelspalt) beweisen eindeutig den Wellencharakter. Jedoch ist das Elektron auch ein Teilchen mit wohl definierter i Masse und Ladung, das eindeutige Spuren e.g. in einem Nebelkammer hinterlässt. Wie kann man diese Eigenschaften vereinen? Max Born schlug in 1926 vor, dass, wie bei einer elektromagn. Welle, die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen vorzufinden, gegeben wird durch die Energiedichte, d.h. das Quadrat der Amplitude der Welle oder 2 dv ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dv zu finden (und das Integral über dv ist natürlich 1, da das Teilchen irgendwo sein muss. Wie ist Bahn des Teilchens mit Fortpflanzung der Welle verknüpft? Teilchen: Ekin= ½mv 2 = E = hf, mv = p = h/. Die Geschwindigkeit der Welle wäre v= f=(h/mv). (½mv 2 /h) = ½v, dh d.h. die Welle pflanzt sich nur mit halber Teilchengeschwindigkeit fort! WAS IST FALSCH? Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

33 De Broglie Wellen E=hv=ħω p=h/ =ħk Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

34 De Broglie Wellen E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 oder (ħω) 2 = (ħk) 2 c 2 +m 2 c 4 Für m=0 dispersionsfrei, sonst ħω=mc 2 für k=0 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

35 Lokalisierung eines Teilchens Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat, dann hat es auch eine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigewellengleichung für eine wohldefinierte Wellenlänge ist mit k = 2 /, and ω= 2 f. Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen, dh d.h. das Teilchen it ist nicht lokalisiert! li i Lösung des Problems: Wellen können interferieren wenn die Impulse -und damit die Wellenlängen NICHT scharf definiert sind. Dann Teilchen lokalisiert in Wellenpaket. Wenn Teilchen sehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit in Impuls groß sein. Dies ist Prinzip der Heisenbergsche Unsicherheitsrelation. Superposition von ZWEI Wellen ergibt Schwebungen: Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

36 Superposition von zwei Wellen Bei festem t=0 xδk=2 -> Δx Δp=h x oder t Schwebungen konzentrieren Energiedichte und daher Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens->Lokalisierung Bei festem x=0 Δωt=2 -> ΔE Δt=h Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

37 Superposition von zwei Wellen Freq. 1 Freq. 2 Man kann Resultat der Interferenz Entweder im Ortsraum oder im Frequenzraum (oder k-raum oder Impulsraum) darstellen, wobei k=2 =p/ħ Amplitude 1-2 (x) ( ) X-Raum: (x,t) 1 2 Frequenz-Raum (,t) oder (k,t) (Länge -> Amplitude) Es reicht wenn ich Amplituden und Frequenzspektrum angebe,also (k,t). um (x,t) auszurechnen. Beide Darstellungen völlig equivalent. Transformation vom Ortsraum zum Impulsraum oder umgekehrt, nennt man Fouriertransformation Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

38 Superposition unendlich vieler Wellen Fouriertrafo von Orts- zu Impulsraum für t=0! x Wellenpakete SEHR lokalisiert, wenn x= t, d.h. wenn Gruppengeschwindigkeit Teilchengeschwindigkeit entspricht Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

39 Gruppengeschwindigkeit = Teilchengeschwindigkeit..\Downloads\GroupVelocity.htm Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

40 Auseinanderlaufen der Wellenpakete Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

41 Heisenbergsche Unschärferelation k Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

42 Heisenbergsche Unschärferelation Jede Messung von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

43 Unschärfe der Unschärferelation Viele Bücher ergeben: Δx Δp ħ statt h. Wo liegt der Unterschied? Bei einem gaussförmigen Wellenpaket wird die Unschärfe MINIMAL (mathematisch zu beweisen) aber wie groß ist die Unschärfe? Ein Standardabweichung oder Ort wo Wahrscheinlichkeit auf 1/ e gefallen ist oder? Unschärfe ist unscharf definiert! Δx=Abstand zwischen Beugungsminima-> Δx Δp h (Heisenberg) Gaussförmige Wellenpakete: x p ħ Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

44 Überlagerung Gausscher Wellenpakete Überlagerung unendlich vieler Wellen entspricht das Intergral über vielen Wellenlängen oder Impulse (p=ħk=h/ ). Dies ist eine Fourier transformation: Wichtig! Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen Wellenpaket mit Standardabweichung ergibt im Impulsraum wieder einen Gaussform, jedoch mit Standardabweichung 1/! So x k 1 oder x p ħ Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

45 Beispiel für Anwendung der Unschärferelation Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

46 Wirkungsquerschnitt e+e- Quarks Z0 Resonanz versus Schwerpunktsenergie Peak hängt von der totalen Breite Γ Z ab. Γ Z = h/lebensdauer = F(Anzahl der Neutrinos) (aus Δt=Lebensdauer, Γ Z = ΔE und ΔE Δt=h ) Es gibt nur DREI leichte Neutrinos! Und daher nur DREI Generationen von Quarks und Leptonen! (falls alle Neutrinos fast masselos sind) Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

47 Kleine experimentelle Probleme am LEP Beschleuniger: Einfluss des Mondes und Störungen durch TGV Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,

48 Zum Mitnehmen Teilchen mit Impuls p benehmen sich bei kleinen Abständen wie Wellen. Wellen mit Wellenlänge benehmen sich bei kleinen Abständen wie Teilchen. Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls: =h/p (de Broglie) Man kann nicht beliebig genau ORT und IMPULS bestimmen: ΔxΔp h. (Heisenberg) Gleiche gilt für ENERGIE und ZEIT. Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle,