Vorlesung 23: Roter Faden: Die Schrödingergleichung. (Bedeuting in der Quantenmechanik wie F=ma in der klassischen Mechanik)

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1 Vorlesung 23: Roter Faden: Die Schrödingergleichung (Bedeuting in der Quantenmechanik wie F=ma in der klassischen Mechanik) Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 1

2 Welle Teilchen Dualismus Jede Welle (Licht, Schall, etc...) zeigt Teilcheneigenschaften (Photonen, Phononen etc...) Jedes Teilchen (Elektron, Atom etc... ) zeigt Welleneigenschaften (debroglie Wellen, Beugung, Interferenz) Welle: Teilchen: Wellenlänge, Frequenz, Dispersion Superposition, Interferenz Impuls, Energie, Stoss, Klick Wellenpaket Heisenberg sche Unschärferelation Interferenz Tunneleffekt, Quantenreflexion Grundzustandsenergie in Potenzial Licht: Lichtdruck, Photoeffekt, Comptoneffekt Materiewellen (nicht relativistisch) werden mit der Schrödingergleichung beschrieben Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 2

3 Aufenthaltwahrscheinlichkeit= Ψ 2 dv Max Born schlug in 1926 vor, dass, wie bei einer elektromagn. Welle, die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen vorzufinden, gegeben wir durch die Energiedichte, d.h. das Quadrat der Amplitude der Welle oder Ψ 2 dv ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dv zu finden (und das Integral über dv ist natürlich 1, da das Teilchen irgendwo sein muss. Schrödinger hat die Wellengleichung Ψ(x,t) für Teilchen mit Masse m aus der Energie der Teilchen hergeleitet (nicht rel.) Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 3

4 Herleitung der Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung (Wellengl.) kann Aufenthaltswahrscheinlichkeit (AW) eines Teilchen als Fkt. von Ort und Zeit zu bestimmen. Bedeutung in QM daher wie F=ma der KM, womit Bahn als Fkt. von Ort und Zeit bestimmt wird! Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 4

5 Rezept um eine Wellengleichung für ein Teilchen hinzuschreiben Die Energie eines Teilchens wird durch die Hamilton-Funktion beschrieben: Die Wellengleichung kann nach der QM gefunden werden durch die Substitutionen: wobei und Damit lässt sich der Hamiltonoperator schreiben als und diese angewandt auf die Wellenfunktion ergibt uns die Schrödingergleichung: Dies ist die Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen der Masse m Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 5

6 Die relativistische Wellengleichung (Klein-Gordon-Gl.) + Vorteil der SG: E > 0 (immer). KG: auch E<0 (=Antiteilchen) Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 6

7 Lösung der SG f x - Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 7

8 Die zeitunabhängige Schrödingergleichung Allgemeinere Lösung: Einsetzen: Zeitunabh. Schrödingergleichung: Wichtig für stationäre Probleme wie Atome! (werden nur die zeitunabh. SG benutzen!) Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 8

9 Linearität, Superposition, Interferenz 2-Zustands-System Quantenmechanik (Schrödingergleichung) ist linear. Beliebige Überlagerungen = Superpositionen von Lösungen sind gleichwertige Lösungen. Ψ = αi ϕi Daher: Ein Quantensystem kann nicht nur in Eigenzuständen i sondern auch in allen möglichen Superpositionen sein. with Direkte folge der Superposition: Interferenz 2 αi = 1 Das einfachste Beispiel um Superpositionen zu studieren ist i ein 2-Zustands-System Doppelspalt: Superposition der Zustände + Teilchen geht durch Spalt 1 (links) + Teilchen geht durch Spalt 2 (rechts) Überlagerung ergibt Interferenz L, R Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 9

10 Wellenpakete sind Lösung der SG, jedoch Lösung begrenzt durch Unschärferelation Wahrscheinlichkeitsdichte <Ψ Ψ> Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen Wellenpaket mit Standardabweichung σ ergibt im Impulsraum wieder einen Gaussform, jedoch mit Standardabweichung 1/σ! Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 10

11 Schrödingers Katze Schrödingers Katze ist ein beliebtes Beispiel um ein Phänomen anschaulich darzustellen, das in der Quantenmechanik als,,überlagerung von Zuständen` bekannt ist. Und zwar wird bei diesem Gedankenexperiment1 eine Katze in ei undurchsichtige Kiste gesteckt, zusammen mit einer Apparatur, die, gesteuert durch radioaktiven Zerfall, die Katze innerhalb von einer Stunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% bewusstlos macht. Die Frage ist nun, in welchem Zustand sich die Katze nach einer gewissen Zeit befindet, wenn man nicht in d Kiste hineinschaut - analog zur Frage nach dem quantenmechanischen Zustan eines Systems, solange man keine Messung an ihm vornimmt. Erst wenn man Kiste öffnet, manifestiert sich der Zustand in einer 100% bewussten oder 100% bewusstlosen Katze. Vor Messung oder nach Direkt nach Messung: langer Wartezeit: Ψ=1/ 2 + Ψ= + Superposition von Zuständen Kollaps der Wellenfunktion Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 11

12 Was ist eine Messung? Messung projiziert ein Quantensystem aus einer Superposition in einen Eigenzustand des Messapparates M ϕ. Kollaps der Wellenfunktion Mess-Problem: Eine solche Messung kann in einer linearen Quantenmechanik nicht beschrieben werden. Die Messoperation führt zu einer Verschränkung von z Messung messendem System und Messapparat: Ψ M αi ϕi M i Seit den 20er Jahren heftig diskutiert. Keine Lösung die nicht zumindest Input von außerhalb der Quantenmechanik benötigt. Verschiedensten Lösungsansätze, Interpretationen: = α i ϕi Standard Interpretation (z.b. V. Neumann, Dirac): Separation von Quanten und Makroskopischer Welt, Messung und Quantenphysik. Regel der Quantenphysik geben uns die Wahrscheinlichkeiten der Messresultate. Realität wird erst durch die Beobachtung erzeugt. Extremfall: Schrödingers Katze: ohne Messung in Superposition von lebendig> und bewusstlos> i i i Ψ Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 12

13 Frage: ist QM Mechanik eine komplette Theorie, d.h. kann man alle Komponenten der Wellenfkt. bestimmen? Ψ 2 dx ist Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall dx zu finden. Wenn es dort gefunden wird, WO WAR DAS TEILCHEN VORHER? 3 Antworten: 1. Realos (z.b.einstein) : Teilchen war irgendwo, z.b in B; dann braucht die QM zusätzliche Angaben ( hidden variables), die bestimmen, wie es von B nach A kommt. 2. Fundis (Bohr etc.): Das Teilchen war überall und nirgends! Die Messung zwingt das Teilchen dazu, sich zu zeigen. (Wie Mister X im Spiel Scotland Yard ) Ψ 2 3. Agnostiker (Pauli) : Bitte keine Spekulationen, nur Wahrnehmungen zählen!! bis 1964: 2) bevorzugt und 3) galt nur, wenn 1) und 2) nicht akzeptiert wurden. ab 1964: John Bell entdeckt, dass man experimentell zwischen 1) und 2) unterscheiden kann, d.h es macht ein Unterschied ob das Teilchen zuvor eine wohldefinierte Position hatte. Experimente zeigen, dass nur 2) richtig ist!qm ist eine komplette Theorie, die keine hidden parameter braucht. Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 13 dx

14 Messung in Quantenphysik Quantenphysik macht keine Aussagen über Einzelereignisse Wellenfunktion Ψ(x,t) beschreibt das System Ψ 2 gibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis Nur statistische Aussagen Nur Aussagen über Erwartungswerte Beispiel: Superposition Eine Frage die wir an das Quantensystem Stellen können: Ist das System im Zustand j> Die Antwort die wir bekommen: Ja oder Nein (0 oder 1) mit Wahrscheinlichkeit α j 2 Ψ Ψ = M i α i + j M j Wie entscheidet die Natur wo und wann ein Frage:??? Ereignis auftritt ϕ Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 14 i Ψ with + j = α α = j i α i α j 2 = 2 1

15 Messung und Interferenz Doppelspalt Experiment Im Doppelspalt Experiment gilt das Wellenbild (Interferenz). Der Nachweis des Teilchens erfolgt im Teilchenbild. Experiment mit einzelnen Teilchen (immer nur ein Teilchen zwischen Quelle und Detektor) Frage: Was passiert mit der Interferenz wenn wir die Frage nach dem Weg des Teilchen stellen: Durch welchen Spalt ist das Teilchen gegangen? Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 15

16 Doppelspalt Experiment mit einzelnen Teilchen Verteilung der einzelnen Teilchen folgt Interferenz Bild! Interferenzerscheinungen durch Unkenntnis des Weges. Interferenzbild hängt nicht von der Intensität ab, d.h. Ich brauche nicht 2 Elektr. gleichzeitig! EIN Elektr. ist schon eine Welle. Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 16 R. Werner

17 interference Quanten Mechanik: löse die Wellengleichung intensity Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 17

18 Ermittlung des Weges hv hv Experimenteller Befund: Wenn man versucht den Weg des Elektrons zu ermitteln, -z.b. durch Comptonstreuung von Laserlicht bei Spalt 1 - dann verschwindet die Interferenz! D.h. Experiment erzeugt so starke Phasen- oder Ortsoder Impulsunschärfe,dass die Interferenzerscheinungen verschwinden! Summe Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 18

19 Lösung der SG in einem externen Potentialfeld Coulombpotential Rechteckpotential bei kleinen Abständen Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 19

20 Lösung der SG für Teilchen in einem endlichen Potentialtopf (schwach gebundener Zustand) E=E kin +V 0 Ansatz: Lösung für I+III Lösung für II Quadratische Integrierbarkeit verlangt u A für x<0 und u B für x>0. Zusätlich Stetigkeit der Lösung ergibt gezeichnete Lösung: AW max. im Topf, aber exp. abnehmend ausserhalb (=Tunneleffekt, klassisch nicht erlaubt! Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 20

21 Lösung der SG für Teilchen in einem unendlich tiefen Potentialtopf (gebundener Zustand) Stetigkeit der Lösung verlangt: mit Randbedingung oder mit Quantisierung der Energie durch Randbedingungen! Für n=0 n=1 entspricht Nullpunktsenergie, die nicht unterschritten werden kann, auch bei T=0K. Nach Unschärferel. Nullpunktsschwingungen Ψ=0, daher sinnlos da Teilchen nicht vorkommt. -> n>0, d.h. n=1,2,3. Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 21

22 Aus Normierung der Wellenfunktion Gesamtwellenfuntion: mit Realteil Ψ formt stehende Wellen folgt Ψ 4 Amplitude de Wellenfkt. Ψ für diskrete Energieniveau Ψ 3 (Eigenfkt. der Energie) Ψ 2 Ψ 1 Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 22

23 Energiewerte, Wellenfkt. und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 23

24 Erlaubte Energieniveaus in unterschiedlichen Potentialkasten Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 24

25 Korrespondenzprinzip: QM KM für makroskopische Systeme Dies ist das Korrespondenzprinzip Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 25

26 Erwartungswert von x Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 26

27 Erwartungswert von x Die Erwartung ist, dass der Mittelwert von x in der Topfmitte ist Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 27

28 Erwartungswert von p x Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 28

29 Erwartungswert von p x Die Erwartung ist dass der Mittelwert von p x 0 ist, d.h. Teilchen hat mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Impuls nach links oder nach rechts. Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 29

30 Zum Mitnehmen Die Wahrscheinlichkeit einer Messung in der QM wird gegeben durch das Quadrat der absoluten Wert einer komplexen Zahl Ψ, die man Wahrscheinlichkeitsamplitude nennt, z.b. für die Wahrscheinlichkeit P ein Teilchen zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort anzutreffen gilt: P= Ψ(x,t) 2 Ψ ist eine Lösung der Schrödingergleichung: H Ψ(x,t)=E Ψ(x,t) wobei H der Energieoperator und E die Energie ist Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 30

31 Zum Mitnehmen Die Randbedingungen der SG führt zur Quantisierung der Energien Klassische Zustände sind immer Überlagerungen von vielen Eigenzuständen. Es gibt eine niedrigste Energie für jedes Quantensystem 0, weil ansonsten die AW 0 wird. Dies entspricht eine Impulsunschärfe und dementsprechend eine Ortsunschärfe Nullpunktsschwingungen (auch bei absoluter Temp. = 0!) Juli 12, 2006 Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer 31