I.4 Das freie quantenmechanische Elektron

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1 I.4 Das freie quantenmechanische Eletron Zeitabhängige S-Glg. x ψ ( xt, ) j = + V( x,t) ψ ( x, t) t m x Analogie zu den eletromagnetischen Wellen, Materiewellen, intuitives Raten etc. Wellenansatz: ψ ( xt, ) = Aexp( jx ( ωt)) line Seite: j Aexp( j( x ωt)) = j ( jω) Aexp( j( x ωt)) = A ωexp( j( x ωt)) t rechte Seite: j Aexp( j( x t)) Aexp( j( x t)) ω = ω m x m x = A exp( j ( x ω t )) m

2 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen ω Aexp( j( x ωt)) = 0 m -muss erfüllt sein für alle Zeiten t, d. h. wir erhalten mögliche Lösungen für die ω und, für die die Beziehung ω = gilt. m unendlich viele Lösungen Für alle < < gibt es jeweils ein passendes ω, so dass die Gleichung erfüllt wird. Dieser Zusammenhang wird als Dispersionsrelation bezeichnet. ω Dispersionsrelation

3 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Der Impuls Ebene Welle: Re(ψ) ψ ( xt, ) = Aexp( jx ( ω t))..schön und gut, aber wie omme ich wieder an reale Größen?? x 1. Der Ort des Teilchens: Die Aufenthaltswahrscheinlicheit ist proportional zum Absolutquadrat der Wellenfuntion: * ρ( xt,) = ψ( xt,) = ψ ( xt,) ψ( xt,) = const. A exp( jx jx jωt + jωt) = A...aha, räumlich onstant!?

4 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Der Impuls Ebene Welle: Re(ψ) ψ ( xt, ) = Aexp( jx ( ω t))..schön und gut, aber wie omme ich wieder an reale Größen?? x. Phasengeschwindigeit: Wie schnell bewegt sich ein Punt onstanter Phase? Das heisst, wir suchen die x-werte, für die das Argument in der Wellenfuntion gleich bleibt: ( x ωt) = const. ( x ωt) = 0 t ω v p ω = 0 v p = = m

5 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Ebene Welle: Re(ψ) ψ ( xt, ) = Aexp( jx ( ω t))..schön und gut, aber wie omme ich wieder an reale Größen?? x 3. Der Impuls (lassisch p=mv): Zusammenhang wurde schon von Louis der Broglie 193 erannt: π h h h Mit λ = folgt p = = = = λ π π Wellenlänge λ = h p Jeder Welle mit Wellenzahl(vetor) entspricht ein Eletron mit Impuls p=h. (Eine sauberere Einführung erfolgt weiter unten.) Es handelt sich um ein merwürdiges Eletron, da total deloalisiert.

6 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Superposition Aufgrund des Superpositionsprinzips ann man beliebig Lösungen mit verschiedenen Impulsen überlagern: ψ ( xt, ) = A ( )exp( jx ( ω t)) d= da( )exp( j( x ω t)) ω

7 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Übergang von einer Darstellung im Ortsraum ψ ( x, t) zu einer Darstellung im -Raum ψ ( t, ) (Spezialfall einer Fouriertrafo.). Übergang von der einen zu anderen Darstellung: 1 ψ ( t, ) = dxψ ( xt, )exp( jx) π 1 ψ ( xt, ) = dψ ( t, )exp( jx) π Bsp.: Eletron für t=0 vollommen loalisiert im Raum bei x=0

8 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Darstellung eines loalisierten Eletrons ann durch die Delta- Funtion erfolgen. Für die Darstellung im Impulsraum, also die Fouriertransformierte ergibt sich dann zum Zeitpunt t=0: ψ ( x,0) = δ( x) für x = 0 δ( x) = 0 sonst δ( xdx ) = 1 ; δ( xf ) ( xdx ) = f(0) 1 1 ψ (,0) = dxδ ( x)exp( jx) = π π

9 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Für die einzelnen ebenen Wellen ennen wir jetzt die Zeitabhängigeit: 1 ψ ( t, ) = exp( jωt) π mit ω = m und önnen jetzt für alle Zeiten durch die Rüctrafo 1 ψ ( xt, ) = dψ ( t, )exp( jx) π die Wellenfuntion durch eine einfache Integration berechnen. - eine explizite Lösung der S-Glg. mehr erforderlich!

10 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete Mathematisch einfacher zu handhaben: 1 x ψ ( x,0) = exp( )exp( j 0x) a π a 0 x Aufenthaltswahrscheinlicheit 1 x ρ( x,0) = exp( ) a π a... einigermassen auf x=a loalisiertes Teilchen Wir basteln uns das Ganze aus ebenen Wellen zusammen: (Fouriertrafo) 1 a ψ (,0) = dxψ ( x,0)exp( jx) = exp π π 0 / a 0 8 a

11 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete - damit ergibt sich eine qualitative Aussage über das Verhältnis von x und - Lösung für alle Zeiten, denn wir müssen jetzt die ebenen Wellen nur noch loslaufen lassen bzw. für die Wahrscheinlicheitsdichte 1 ( ( a0 jx ) a 1 a + ) 0 ( xt, ) exp( )exp ψ = π j t j t a + a + m m t x ρ( xt, ) = exp m π at () at ()

12 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete - Wellenpaet zerfliesst im Laufe der Zeit! - Schwerpunt bewegt sich mit einer Geschwindigeit v 0 = oder mv = p = 0 m Gruppengeschwindigeit: v g = = m 0 v p Nettes Applets zur Visualisierung der Wellenpaet-Dynami:

13 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpaete 8 a 0 x 0 Ortsraum Impulsraum Breite der Funtionen im Orts- bzw. Impulsraum verhalten sich rezipro zueinander Ganz allgemein gilt: 1 x p x Heisenberg sche Unschärferelation für Impuls und Ort!