ψ(x,t) = Ae i(kx ωt) (4.5) (analog zu (2.2)) k = 2π λ e

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1 20 4 Einteilchen-Wellenfunktionen 4.4 Freie Teilchen Auf ein freies Elektron wirkt keine äußere Kraft. Damit ist gemäß Gleichung (1.8) das Potential V null. Die Einelektronenfunktionen sind sogenannte ebene Wellen: Dabei ist k der Betrag des Wellenvektors [ k ω = 2πν die Kreisfrequenz [ Bogenmaß Zeit 1 Länge ] ψ(x,t) = Ae i(kx ωt) (4.5) ] (analog zu (2.2)) Der Wellenvektor gibt die Ausbreitungsrichtung des Elektronenstrahls an. Seine Richtung ist in den vorigen Abbildungen (2.3,3.1) angegeben. Der Betrag des Wellenvektors ist von der Wellenlänge des freien Elektrons abhängig. Dies lässt sich aus der Periodizität der ebenen Welle in der Eulerdarstellung (e iα = cosα+isinα) direkt ablesen. k = 2π λ e (4.6) Damit ergibt sich mit der de Broglie-Beziehung ((2.5)) eine direkte Proportionalität zwischen Wellenvektor und Impuls. p e = k (4.7) Die Wellenfront eines Elektronenstrahls (die Verbindungslinie zwischen gleichen Amplitudenwerten der nebeneinander verlaufenden Elektronenwellen) verläuft senkrecht zu k Abbildung 4.1: Wellenfront und Wellenvektor eines Elektronenstrahls. Die Phase kx ωt = konst bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit v p = λν = ω k Die Phasengeschwindigkeit ist nicht messbar. Sie kann größer als die Lichtgeschwindigkeit sein. Im Allgemeinen erfolgt die Beschreibung eines Elektrons im Elektronenstrahl nicht durch eine einzelne ebene Welle, sondern durch eine Gruppe ebener Wellen mit einer Verteilung von k und ω. Eine solche Gruppe wird als Wellenpaket bezeichnet. Die Gruppengeschwindigkeit v g = dω dk = v e ist eine messbare Größe. 4.5 Gebundene Teilchen Auf das Elektron wirkt eine anziehende Kraft, z.b. die Coulombanziehungskraft durch den Atomkern. Dadurch resultiert nach ((1.8)) ein attraktives V(x). Als Konsequenz hält sich das Elektron bevorzugt in der Nähe des tiefsten Punkts von V(x) auf. Daraus ergeben sich folgende Bedingungen für gültige Wellenfunktionen ψ(x) 1. ψ(x) muss eindeutig für alle x sein (notwendige Voraussetzung für Funktionscharakter) 2. ψ(x) muss stetig für alle x sein (notwendige Voraussetzung für stetige Differenzierbarkeit)

2 4.6 Beispiele erlaubter Wellenfunktionen für gebundene Teilchen ψ(x) muss stetig differenzierbar sein (Ausnahme: Unendlichkeitsstellen des Potentials, z.b. ist im Atom V 1 x, so dass am Kernort eine Unendlichkeitsstelle existiert). 4. ψ(x) muss quadratisch auf Eins normierbar sein. ψ (x)ψ(x)dx! = 1 (4.8) (dabei ist ψ (x) die komplex konjugierte Funktion zu ψ(x)) Anschaulich gibt ψ(x) 2 dx = 1 nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation an, dass sich ein Elektron irgendwo im Raum (hier: auf der x-achse) aufhält. Die letzten drei Bedingungen gelten auch für Wellenfunktionen freier Teilchen. 4.6 Beispiele erlaubter Wellenfunktionen für gebundene Teilchen Beispiel 1: Erlaubte (eindimensionale) Wellenfunktionen für gebundene Teilchen Abbildung 4.2: Erlaubte Wellenfunktion ψ(x) = Ne x2 ; notwendige Bedingung für die Normierbarkeit von ψ ist das Verschwinden an den Definitionsrändern: lim ψ = lim ψ = 0 x x Abbildung 4.3: Erlaubte Wellenfunktion ψ(x) = Ne x ; bei x = 0 ist ψ nicht stetig differenzierbar, dort gilt in Atomen (V(x) = 1 e 2 x 4πǫ 0 ) jedoch ist V(0) = und es gilt die Ausnahmeregel (siehe Abschnitt 4.5) Berechnung des Normierungsfaktors N: Hierfür verwendet man die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation (4.1) ψ (x)ψ(x)dx! = 1 Dazu ist es zweckmäßig, die Wellenfunktion als Produkt des Normierungsfaktors und einer quadratisch normierbaren dimensionslosen Funktion zu schreiben:

3 22 4 Einteilchen-Wellenfunktionen ψ(x) = N f(x) N muss so gewählt werden, dass das Normierungsintegral ((4.8)) zu Eins wird, daher gilt N 2 f (x)f(x)dx = 1 = N = 1 f (x)f(x)dx (4.9) Beispiel 2: Gegenbeispiele nicht erlaubter Funktionen Abbildung 4.4: Nicht erlaubte Wellenfunktion ψ(x) = N x 2 ; nicht normierbar wegen lim x 0 ψ =. Abbildung 4.5: Nicht erlaubte Wellenfunktion ψ(x) = Ne x ; nicht normierbar wegen lim x ψ =. Abbildung 4.6: Nicht erlaubte Wellenfunktion ψ(x) = N sin(x) (Imaginärteil einer ebenen Welle); nicht normierbar wegen lim x ± ψ = 0. Wenn der Definitionsbereich von Sinus- oder Cosinusfunktionen jedoch auf ein endliches Intervall begrenzt wird, können sie erlaubt sein (siehe Teilchen im Kasten). 4.7 Orthonormierung Die Eigenschaft der Orthogonalität zweier Zustandsfunktionen im selben System spielt in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle. Zum Beispiel werden die verschiedenen Energiezustände eines Elektrons E n und E m im Wasserstoffatom (vgl. Bohrsches Atommodell) durch die Wellenfunktionen φ n und ψ m beschrieben. Für orthonormierte Funktionen ψ n,ψ m gilt:

4 4.7 Orthonormierung 23 ψn(x)ψ m (x)dx = ψ m(x)ψ n (x)dx = { 1 für n = m 0 für n m (4.10) Die Gleichung für n = m entspricht der Normierung. Im Allgemeinen wird das Resultat von Gleichung (4.10) verkürzt durch das Kronecker-Delta dargestellt: ψ n(x)ψ m (x)dx = δ nm (4.11) Es besteht eine Analogie zu Vektoren: dort ist das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren null. Bei Funktionen wird die diskrete Summation bei Bildung des Skalarprodukts durch Integration über den Definitionsbereich ersetzt. Beispiel 3: Orthogonale Funktionen In vielen der hier diskutierten Fällen sind zwei Funktionen deshalb orthogonal zueinander, weil sie unterschiedliches Vorzeichenverhalten aufweisen. Gerade Funktionen haben gleiches Vorzeichen bei Vorzeichenumkehr des Arguments, ungerade Funktionen kehren dabei ihr Vorzeichen um. So ist zum Beispiel eine Gaußfunktion ψ 0 (x) = N 0 e x2 gerade, und die Funktion ψ 1 (x) = N 1 xe x2 ungerade. Dadurch ist das Produkt ψ 0(x)ψ 1 (x) ebenfalls ungerade, d.h. es gilt: ψ0(x) = ψ0( x) ψ 1 (x) = ψ 1 ( x) = ψ0(x)ψ 1 (x) = ψ0( x)ψ 1 ( x) 0 = ψ0(x)ψ 1 (x)dx = ψ0(x)ψ 1 (x)dx 0 = ψ0(x)ψ 1 (x)dx = 0 Konsequenz für die Entwicklungskoeffizienten einer Gesamtwellenfunktion Aus der Orthonormierung der Zustandsfunktionen (Gleichung (4.10)) ergibt sich als Forderung an die Entwicklungskoeffizienten des Superpositionsprinzips (Gleichung (4.4)), dass ihre Quadratsumme ebenfalls Eins ergibt. n m c nc m ψ nψ m dx! = 1 } {{ } =δ nm c n 2! = 1 n

5 24 5 Quantenmechanische Berechnung von Eigenschaften 5 Quantenmechanische Berechnung von Eigenschaften Die Quantentheorie ermöglicht es prinzipiell, physikalische Eigenschaften vorherzusagen, also das Resultat eines geplanten Experiments im Voraus zu berechnen. Dazu wurde ein Formalismus entwickelt, der ausschließlich auf physikalischen Grundgrößen und der Kenntnis der Randbedingungen des Systems basiert. Das grundlegende Postulat der Quantenmechanik lautet: Messbare Eigenschaften (Observable) eines Systems lassen sich durch Anwendung eines quantenmechanischen Operators auf die Wellenfunktion erhalten. Im Allgemeinen wirkt ein Operator  auf eine beliebige Funktion f(x) (die rechts vom Operator steht), indem er eine andere Funktion g(x) erzeugt. Beispiel : i Âf(x) = g(x) d dx sinx = i cosx Im quantenmechanischen Formalismus ist ein Spezialfall von großer Bedeutung, bei dem g(x) ein Vielfaches von f(x) ist (und f(x) zudem eine gültige Wellenfunktion darstellt): Âψ(x) = λψ(x) (5.1) (5.1) hat die Form einer Eigenwertgleichung. Die Wellenfunktion ψ ist in diesem Fall eine Eigenfunktion des QM-Operators Â, λ ist der Eigenwert. Ob die Anwendung eines Operators eine Eigenwertgleichung ergibt, hängt sowohl vom Operator als auch von der Funktion ab. Im Folgenden werden drei Typen von quantenmechanischen Operatoren behandelt: Differentialoperatoren: ˆp, ˆT, ˆL,Ĥ Multiplikative Operatoren: x, r, V(x), 1 r 12 Matrixoperatoren: Spinoperator ŝ Im quantenmechanischen Formalismus werden die quantenmechanischen Operatoren nur auf gültige Wellenfunktionen (siehe Abschnitt 4.5) angewendet. Nur Operatoren des ersten und dritten Typs können dabei Eigenwertgleichungen erzeugen. Da es nach Abschnitt 4.3 für jedes System einen (i.a. unendlichen) Satz von Zustandsfunktionen gibt, gilt: Zu jedem Differentialoperator gibt es für ein System mindestens einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen. Âϕ n = A n ϕ n n = 1,..., N (abzählbar unendlich) Da die Eigenwerte A n diskret sind, ergibt sich die im ersten Abschnitt vorgestellte Quantisierung physikalischer Eigenschaften. Die Eigenfunktionen ϕ n eines Satzes sind vom gleichen Funktionstyp und hängen von mindestens einer Quantenzahl (z.b. n) ab. Die Operatoren können nach dem Korrespondenzprinzip aus der klassischen Physik abgeleitet werden: Korrespondenzprinzip I Jeder physikalischen Observable kann genau ein quantenmechanischer Operator zugeordnet werden, beispielsweise: Impuls p ˆp = i x bzw. i

6 5.1 Eigenwerte und Erwartungswerte 25 Ort x ˆx = x wirkt multiplikativ auf ψ Die Basisgrößen ˆp und ˆx sind zueinander konjugiert, d.h. sie erfüllen eine bestimmte Kommutatorrelation (siehe Abschnitt 7.3). Alle anderen Operatoren können durch Anwendung der Relationen der klassischen Physik aus Orts- und Impulsoperator abgeleitet werden. Kinetische Energie E kin = T = 1 2 mv2 = p2 2m ˆT = ˆp2 2m = 2 2m d 2 dx 2 Drehimpuls L = r p ˆL = ˆr ˆp Einen Operator für die Zeit behandeln wir hier nicht. Die alternative Impulsdarstellung behandelt ˆp als multiplikativen Operator und ˆx = i p als Differentialoperator. Sie soll hier jedoch nicht verwendet werden. 5.1 Eigenwerte und Erwartungswerte Ausgangspunkt: Ein Teilchen befindet sich im Zustand ψ, dieser wird durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben. ψ(x) soll die Bedingungen gemäß Abschnitt 4.5 erfüllen. Die Wellenfunktion muss jedoch nicht notwendigerweise eine Eigenfunktion des quantenmechanischen Operators  sein, mit dem die physikalisch messbare Eigenschaft (Observable) A berechnet werden soll. Es treten demnach zwei Fälle auf: Fall a) ψ ist eine Eigenfunktion des Operators Â. = der Wert von A wird als Eigenwert von ψ bezüglich  erhalten. Âψ = Aψ (5.2) Quantenmechanische Interpretation: Das System befindet sich in einem Eigenzustand bezüglich Â. Physikalische Interpretation: Für jede Einzelmessung von A in einer Messreihe wird derselbe Wert erhalten. Fall b) ψ ist keine Eigenfunktion von Â. = Es kann nur ein Mittelwert (Erwartungswert) der Observablen A berechnet werden. A = ψ (x)âψ(x)dx (5.3) Dies wird formal erhalten durch Multiplikation der Eigenwertgleichung (a) mit ψ und Integration. Unterschied zu Eigenfunktionen: Durch Anwendung des Operators  auf ψ(x) wird keine Konstante A, sondern eine Funktion A(x) als Vorfaktor von ψ(x) erzeugt. Die Integration über den Definitionsbereich liefert einen Mittelwert von A(x). Quantenmechanische Interpretation: Für das System sind mehrere Eigenzustände möglich. Physikalische Interpretation: Jede Einzelmessung gibt ein anderes Ergebnis. A ist der Mittelwert über (unendlich) viele Messungen.

7 26 5 Quantenmechanische Berechnung von Eigenschaften Beispiel 4: Superposition zweier Eigenfunktionen Eine Gesamtwellenfunktion ψ sei eine Superposition zweier Zustandsfunktionen, die jeweils Eigenfunktionen eines quantenmechanischen Operators  sind: Mit diesem Ansatz folgt ψ = c 1 ϕ 1 +c 2 ϕ 2 mit Âϕ 1 = λ 1 ϕ 1 Âϕ 2 = λ 2 ϕ 2 Âψ = c 1 λ 1 ϕ 1 +c 2 λ 2 ϕ 2 ( ist linear) Dies ist jedoch keine Eigenwertgleichung, da sich außer für den Spezialfall λ 1 = λ 2 keine Konstante ausklammern lässt. Erwartungswert als gewichtetes Mitte A = ψ Âψdx = c 2 1λ 1 +c 2 2λ Eigenschaften quantenmechanischer Operatoren Als allgemeine Bezeichnung für QM-Operatoren soll Â, ˆB verwendet werden. ψ,ϕ sind quantenmechanische Wellenfunktionen, die alle Bedingungen unter (4.5) erfüllen. Die Operatoren erfüllen folgende Bedingungen: Linearität Definition: dabei sind α,β Konstanten. Â(αψ +βϕ) =! αâψ +βâϕ Rechenregel beim nacheinander Ausführen: ˆBψ = Â(ˆBψ) Hermitezität Diese zunächst abstrakte Eigenschaft quantenmechanischer Operatoren hat Konsequenzen für die berechneten physikalischen Größen, wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird. [ ψ (Âϕ)dx =! ] ϕ (Âψ)dx = (Âψ) ϕdx = ψ ( ϕ)dx (5.4) Für reelle Operatoren und Wellenfunktionen kann auf die Bildung des Komplex Konjugierten in (5.4) verzichtet werden. Es ergibt sich die einfachere Beziehung ψ(âϕ)dx =! ϕ(âψ)dx Wenn diese Forderung erfüllt ist, bezeichnet man den Operator  als symmetrisch. Die Hermitezität ist wegen  =  sowie der Vertauschbarkeit von Faktoren für alle reellen multiplikativen Operatoren erfüllt. Im Folgenden soll die Hermitezität auch für einen Differentialoperator gezeigt werden:

8 5.3 Eigenwerte und Erwartungswerte hermitescher Operatoren 27 Beispiel 5: Hermitezität des Impulsoperators ˆp = i d dx ψ }{{} u dϕ } i {{ dx } v [ dx = i ψ ϕ ] } {{ } uv = 0+ ( ϕ i dψ dx }{{} u i ϕ }{{} v dx (5.5) ) dψ dx (5.6) dx Im bestimmten Integral wurde für ψ und ϕ die Wellenfunktionseigenschaft lim ψ = lim ψ = 0 ausgenutzt. x x Bei der Umformung des unbestimmten Integrals u v gemäß (AB) = B A wurde die Eigenschaft ( i ) = ( i ) verwendet. 5.3 Eigenwerte und Erwartungswerte hermitescher Operatoren Die Messwerte aller physikalischen Experimente sind reelle Zahlen. Wenn die Quantenmechanik physikalisch sinnvolle Resultate geben soll, müssen daher gemäß dem im letzten Abschnitt vorgestellten Formalismus zur Berechnung von Observablen sowohl Erwartungswerte A als auch Eigenwerte A quantenmechanischer Operatoren reelle Zahlen sein. Dies ist durch die Bedingung der Hermitezität der Operatoren gewährleistet: Erwartungswerte A hermitescher Operatoren sind reelle Zahlen: aus der Definition (5.4) ergibt sich mit ψ = ϕ bzw. ψ (Âψ)dx = ) [ ψ (Âψ dx = A = A diese Bedingung ist ausschließlich für reelle Erwartungswerte erfüllt. ψ (Âψ)dx ] Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reelle Zahlen. Die Eigenwertgleichung Âψ = Aψ wird mit ψ multipliziert und integriert. Aufgrund der Normierung von ψ ergibt sich: A = ψ (Âψ)dx (Da vorausgesetzt wurde, dass ψ Eigenfunktion von  ist, kann A vor das Integral gezogen werden.) Damit ist dann der komplex konjugierte Eigenwert [ ] ) A = ψ (Âψ)dx = ψ (Âψ dx = ψ (Âψ)dx = A aufgrund der Hermitezität von Â. Diese Bedingung ist nur für reelle Eigenwerte A erfüllt.