8. Woche. 8.1 Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung. 8.2 Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten und Impulsen

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1 8. Woche 8.1 Operatoren für physialische Größen in Ortsdarstellung Als wir die Schrödinger-Gl. betrachtet haben, haben wir die Operatoren für die Koordinaten und die Impulse definiert: Die Operatoren der Koordinaten sind einfach ˆq x x, ˆq y y und ˆq z z, die Operatoren der Impulsomponenten sind ˆp x i, ˆp x y i und ˆp x z i. Die Operatoren von z Koordinaten und von Impulsen ommutieren untereinander (sind vertauschbar). Für Kommutatoren einer Koordinate und eines Impulses gilt [ˆq iˆp ] i δ i mit i, x, y, z. Die Operatoren, die eine Differentiation bewiren, wie ˆp, nennt man Differentialoperatoren. Enthalten die Operatoren eine Integration, sind sie Integraloperatoren. Es önnen auch Integrodifferentialoperatoren vorommen. Einen Operator, der bei der Anwendung auf eine Ft. aus einem bestimmten Funtionenraum, auf dem er definiert ist, eine Zahl ergibt, nennt man ein Funtional. Beispiel: die Wahrscheinlicheit ein Teilchen in einem Intervall zwischen a und b zu finden (in 1D) ist P b a ψ (x)ψ(x)dx. Dies ist ein Integraloperator und ein Funtional von ψ(x). Das Salarprodut zweier Wellenfuntionen ψ 1(x)ψ 2 (x)dx ist auch ein Funtional. Für solche Produte werden wir (zunächst als Kurznotation) die folgende Bezeichnung einführen ( Dirac-Notation ) ψ 1 (x)ψ 2(x)dx ψ 1 ψ 2. Diese Notation wird bald ihr Eigenleben beommen! 8.2 Die Mittelwerte der Funtionen von Koordinaten und Impulsen Jeder physialisch messbaren Größe wird in der Quantenmechani ein Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlicheitsinterpretation der Wellenfuntion folgt, dass, wenn eine Messgröße nur eine Funtion der Koordinaten 1

2 ist, so gilt in einem Zustand mit der WF ψ(x) F(x) F(x)ψ (x)ψ(x)dx. Man schreibt normalerweiser F(x) ψ (x)f(x)ψ(x)dx und verwendet dafür die Notation F(x) ψ F ψ. Bemerung: Oft muß man auch die Integrale ψ 1 (x)f(x)ψ 2(x)dx, die sog. Matrizenelemente, ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist ψ 1 (x)f(x)ψ 2(x)dx ψ 1 Fψ 2 ψ 1 F ψ 2. Das Salarprodut ist daher ψ 1 ψ 2 ψ 1 ˆ1 ψ 2. I.A. sind die Messgrößen auch die Funtionen der Impulse: wir nehmen zunächst an, dass die entsprechenden Funtionen in eine Taylor-Reihe entwicelt werden önnen. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Tric anwenden. Das Verhalten des Teilchens in einem Potential ann durch ein Wellenpaet oder eine stehende Welle (Zustände des disreten Spetrums) beschrieben werden. Statt eines unendlichen Systems önnen wir ein sehr großes, aber endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physialischen Systems sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit entfernt vom Messbereich abhängen. Daher önnen wir diese frei wählen. Wir betrachten nun die periodischen Randbedingungen mit der Periode L (in einem Kasten von Volumen ): ψ(x, y, z) ψ(x + L, y, z) ψ(x, y + L, z) ψ(x, y, z + L). z.b. für die freie Bewegung beommt man die laufenden ebenen Wellen ψ (r) L 3/2 exp(ir). Anhand der Randbedingungen sind nur die disreten Werte von erlaubt 2π L (n x, n y, n z ) wobei n x, n y, n z ganze Zahlen sind: statt des ontinuierlichen Spetrums haben wir ein disretes Spetrum beommen, aber für L wird der 2

3 Abstand zwischen den Niveaus beliebig lein. Wir nehmen an, dass der Grenzübergang L zu orreten Eigenschaften des ontinuierlichen Spetrum führen wird. Vorteil des Einsperrens des Systems in einen Kasten ist dass jetzt alle Wellenfuntionen normiert sind! Die normierten ebenen Wellen ψ (r) bilden ein orthonormiertes System ψ (r)ψ (r)dr δ nxn δ x n yn δ y n zn. z Jede in dem L-Kasten definierte Funtion ann als Summe solcher ebenen Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transformierte!): ψ(r) a ψ (r). (1) Aus den Eigenschaften der disreten Fourier-Transformation ennt man dass a ψ (r)ψ(r)dr ψ ψ (2) (und a ψ (r)ψ (r)dr ψ ψ ). Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für ψ(r) beommen wir 1 ψ(r) ψ(r) a 2 (die ebenen Wellen mit unterschiedlichen sind zueinander orthogonal!). Für eine ebene Welle ist der Impuls p eindeutig definiert. Daher gilt für ein Wellenpaet p a a. Es gilt: Daher: p i a i ψ (r)a i ψ (r)a. ψ (r )ψ (r )dr [ ψ (r)]ψ(r)dr. } {{ }} {{ } a a Partielle Integration in [ ψ (r)] ψ(r)dr und die Annahme von periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral verschwindet) ergibt [ ψ (r)] ψ(r)dr ψ (r) ψ(r)dr. 3

4 Dann: p ψ (r )ψ (r )dr i i drdr ψ (r ) i ψ (r) ψ(r)dr [ ] ψ(r)ψ (r ) ψ(r) } {{ } δ(r r ) drdr δ(r r )ψ (r ) ψ(r) ψ (r)( i )ψ(r)dr ψ ˆp ψ (um zu sehen, dass ψ(r)ψ (r ) δ(r r ) ist, genügt es, δ(r r ) nach dem vollständigen Funtionensystem von ψ (r ) zu entwiceln: δ(r r ) b (r)ψ (r ), Gl.(1), mit b (r) ψ (r )δ(r r )dr ψ (r), Gl.(2)). In gleicher Weise ann man eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen: p n ψ (r)( i ) n ψ(r)dr ψ ˆp n ψ. Z.B. ist die inetische Energie p 2 T 2m ( ) ψ 2 (r) ψ(r)dr. 2m Die Operatoren der messbaren Größen sind in der QM (anhand des Superpositionsprinzip) die linearen Operatoren. Wenn eine Funtion F(q, p) eine reelle physialische Größe darstellt, ist sie eine reelle Funtion von p und q, ihr Mittelwert muß auch reell sein, d.h. F F, d.h. Ψ ˆFΨ ˆFΨ Ψ, 4

5 für alle möglichen Wellenfuntionen Ψ, worauf der Operator ˆF definiert ist. Solche Operatoren nennt man die selbstadjungierten oder Hermiteschen Operatoren. Die Operatoren ˆx und ˆp sind jeweils selbstadjungiert. Der orrete Hamilton-Operator Ĥ (dessen Mittelwert die Energie des Systems E ist) muß auch selbsadjungiert sein. Dafür muß man den aus dem Korrespondenzprinzip bestimmten Ausdruc symmetrisieren. Wenn ein Operator ˆF hermitesch ist, muss der Mittelwert von ˆF auch für die lineare Kombination von 2 Wellenfuntionen aus dem Definitionsbereich von ˆF reell sein: nehmen wir an, Ψ Φ 1 + λφ 2. Φ 1 + λφ 2 ˆF(Φ 1 + λφ 2 ) Φ 1 ˆFΦ 1 + λ Φ 1 ˆFΦ 2 + λ Φ 2 ˆFΦ 1 + λ 2 Φ 2 ˆFΦ 2. Der erste und der vierte Summand sind immer reell; die Summe vom zweiten und dritten muss auch reell sein. Das ist nur dann möglich wenn Φ 2 ˆFΦ 1 Φ 1 ˆFΦ 2. Diese Beziehung wird oft als Definition eines hermiteschen Operators benutzt. Wenn der Operator ˆF nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich, einen hermitesch onjungierten Operator ˆF + zu definieren: Φ 2 ˆFΦ 1 Φ 1 ˆF + Φ 2. (es gilt gleichermassen ˆFΦ2 Φ 1 ˆF + Φ 1 Φ 2 ). Die hermiteschen Operatoren sind solche, fr die ˆF ˆF +. Ein zum Produt zweier Operatoren ˆF  ˆB onjugierter Operator ist ˆF + ˆB +  +. Um das zu sehen definieren wir Φ 3 ˆBΦ 1, so dass Φ 2  ˆBΦ 1 Φ 2 ÂΦ 3 Φ 3 Â+ Φ 2 ˆBΦ1 Â+ Φ 2 Φ 1 ˆB +  + Φ 2 Das Produt selbstadjungierter Operatoren  Â+ und ˆB ˆB + ist selbstadjungiert, wenn diese Operatoren miteinander vertauschbar 5

6 sind, [Â, ˆB] 0, da für jedes Φ gelten muß: Φ Â ˆBΦ Φ ˆB + Â + Φ ) ) ] Φ (Â ˆB ˆB+ Â + Φ Φ (Â ˆB ˆBÂ Φ Φ [Â ˆB Φ Die Flutuationen und die Eigenwerte von Operatoren Man ann die mittlere quadratische Abweichung der Messgröße F von ihrem Mittelwert F in einem durch eine Wellenfuntion Ψ definierten Zustand bestimmen. Die Abweichung ist F F F, der zugehörige hermitesche Operator ist F ˆF F. ( F) 2 Der Operator ist auch hermitesch, und ( F) 2 ( Ψ F ) 2 Ψ FΨ FΨ und wird durch das Integral ( F) 2 FΨ 2 dω (3) gegeben. Wir interessieren uns für die Situationen, wenn der Wert von F ( F) 2 scharf definiert wird, d.h. 0. Da der Integrand in Gl.(3) eine nicht-negativ definierte Größe ist, ann dieser nur dann verschwinden, wenn FΨ 0, d.h. ˆFΨ F Ψ. Die besonderen Werte der Parameter F F sind die Eigenwerte des Operators ˆF, die entsprechenden Funtionen Ψ sind seine Eigenfuntionen. Z.B. die Energien der disreten Atomzustände sind die Eigenwerte des Hamiltonians. Die Gesamtheit der Eigenwerte stellt das Spetrum des Operators dar. Man unterscheidet zwischen dem disreten und dem ontinuierlichen Spetrum. 6