2.5. Fermi Dirac Verteilung

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1 .5. ermi Dirac Verteilung Eletronen und Löcher sind ermionen (Spin / bzw. 3/ => Pauli Prinzip: Nur ein Teilchen pro Zustand, ermi-dirac Verteilungsfuntion (Abb..5. E E exp T Abbildung.5.: ermi-dirac Verteilung Liegt die ermienergie E innerhalb eines Bandes (bei Metallen, so sind bei T=0K alle Zustände bis E bestzt und alle energetisch höherliegenen Zustände leer. Die ermiverteilung weicht nur innerhalb einer Breite von T um E nennenswert von 0 bzw. ab. Daher sind nur Eletronen in der Nähe der ermienergie sind für die Physi von Metallen relevant (Wärmeapazität, Stromtransport, Supraleitung,. Bei Halbleitern liegt E normalerweise in der Bandlüce. In diesem all ann man für E-E > 3T folgende Näherung machen: E E exp Boltzmannstatisti T Warum? Zustände sind nur mit geringer Wahrscheinlicheit bestzt, daher ist Pauli-Prinzip nicht mehr relevant. Analoge Näherung für Bose-Einstein Verteilung Verdünnte Systeme verlieren ihren Quantencharater ür den ativen Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da dort die ermienergie nicht in der Bandlüce, sondern in den Bändern liegt..6. Zustandsdichte Wir betrachten einen würfelförmigen Kasten aus Halbleitermaterial mit Kantenlänge L und Volumen V=L 3, der mit Ladungsträgen gefüllt ist. Die Wellenfuntionen der Teilchen müssen periodische Randbedingungen erfüllen, d.h. x+l, y, z = x, y, z und analog für die anderen Koordinaten. Die Wellenfuntionen der Teilchen im Kasten sind Blochfuntionen: ( r u ( r exp( ir (.6. n, n, Die u n ( r, sind periodisch: u ( r b u ( r (b ist Gittervetor des Kristalls und erfüllen n, n, daher automatisch die periodischen Randbedingungen, da die Ausdehnung des Kristalls ein

2 ganzzahliges Vielfaches der Gitteronstanten ist. ür die Komponenten des Wellenvetors ergeben sich folgende Bedingungen: x = m/l, m =,, 3, und analog für y und z. Wie in Abb..6. dargestellt liegen die Zustände im -Raum daher äquidistant, jeder Zustand beansprucht ein Volumen von V = (/L 3. Abbildung.6.: Verteilung der Zustände im reziproen Raum (-Raum ür die Dispersion der Blochzustände gilt die quadratische Beziehung: E( (.6. m Zur Berechnung vieler Eigenschaften des Halbleiters (Stromdichte, Wärmeapazität,.. muss man über alle vorhandenen Zustände integrieren. Man möchte aber ein mehrdimensionales Integral im -Raum lösen, sondern nur über die Energie integrieren. Wir müssen daher die onstante Zustandsdichte im -Raum (D( = (L/ in eine von der Energie abhängige Zustandsdichte D(E umrechnen. Dazu betrachten wir eine Kugel im -Raum mit Radius max. Jeder Zustand ann doppelt besetzt sein (Spin up und Spin down, die Anzahl der Zustände in der Kugel ist daher: N (.6.3 max Da die Zustände im -Raum sehr dicht liegen, ann die Summe durch ein Integral ersetzt werden: 3 N d (.6.4 V max

3 Mit den folgenden Beziehungen ann man substituieren: m 3 / d 4 d, E und d m / E (.6.5 und erhält N L EEmax m 4 E m 3 E V EEmax D( E (.6.6 ür die Zustandsdiche ergibt sich daher: m D ( E 3/ E (.6.7 Existieren erst ab einer bestimmten Energie Zustände (z.b. ab E im Leitungsband, so gilt für die Zustandsdichte: m D( E 3/ E E ( Ladungsträgerdichten Nun önnen wir die Ladungsträgerdichen im Halbleiter berechnen: ür Eletronen gilt: E n D( E (.7. Einsetzen von D(E und f(e liefert: n E m e 3 / E E c E E exp T (.7. Man beommt als Lösung: n N / E E T n N / E E T mit N me T h 3/ (.7.3 / t dt mit dem ermi-dirac Integral (siehe Abb..7. / ( x (.7.4 exp( t x

4 Abbildung.7.: ermi-dirac Integral aus untion von ür x < -3 ann man folgende Näherung des Integrals verwenden: / ( x exp( x (.7.5 ür die Eletronendichte ergibt sich damit: und analog für Löcher: mit E E n N exp (.7.6 T p N N V V E EV exp (.7.7 T m ht h 3/ (.7.8 E E In Abb..7. entspricht dies dem linearen Bereich für 3. ür den ativen T Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da dort die ermienergie nicht in der Bandlüce, sondern in den Bändern liegt. ist damit positiv und der Wert des ermiintegrals weicht deutlich von der Näherungsformel.7.5. ab

5 .8. Ladungsträgerdichten im Halbleiterlaser In der ativen Zone eines Halbleiterlasers sind die Ladungsträgerdichten nicht im thermischen Gleichgewicht (durch den Pumpstrom werden laufend Ladungsträger zugeführt. Die Verteilung von Eletronen und Löchern auf die vorhandenen Energiezustände ist damit eine ermiverteilung mehr (die gilt ja nur im thermischen Gleichgewicht. Man ann jedoch in guter Näherung separate Verteilungsfuntionen für Eletronen und Löcher mit verschiedenen (Quasi- ermienergien einführen. Die Ladungsträger eines jeden Bandes sind untereinander im thermischen Gleichgewicht, dies liegt an den urzen Relaxationszeiten für Intrabandrelaxation. Ladungsträger in den Bändern önnen durch Emission von LO-Phononen schnell (wenige ps Energie abgeben und energetisch tieferliegende Zustände erreichen. Die Relaxationszeiten zwischen den Bändern (z.b. durch strahlende Reombination sind viel grösser (= ns. a Volumenhalbleiter Abb..8. stellt die oben beschriebene Situation für einen Volumenhalbleiter dar. Bei T=0K (a sind alle Zustände bis zu den jeweiligen Quasi-ermienergien besetzt. Bei T>0K (b beommt man eine thermische Verbreiterung der Besetzung. Abbildung.8.: Produt aus Zustandsdichte und ermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand eines Volumenhalbleiters für (a T=0K und (b T>0K b Quantenfilm Abb..8. zeigt den entsprechenden Verlauf der Zustandsdichte in einem Quantenfilm.. Bei parabolischer Dispersion der Energie: E( ( x y En m (.8. hat die Zustandsdichte hier einen stufenförmigen Verlauf m D ( E H ( E En d n (

6 E n sind die Energien der quantisierten Zustände im Quantenfilm. ür unendlich hohes n Einschlusspotential berechnen sich diese zu: En (.8.3 m d Abbildung.8.: Zustandsdichte für Volumenmaterial und Quantenfilm (mit unendlich hohem Einschlusspotential. Quasi-ermiverteilung und Zustandsdichte eines Quantenfilms sind in Abb..8.3 aufgetragen. In diesem all ist das Integral zu Berechnung der Ladungsträgerdichte analytisch lösbar, man erhält für die Eletronenonzentration: E n D( E Tme n log( exp(( E En/ T, d n und analog für die Löcher: Tmh p log( exp(( En E V / T, d n (.8.4 (.8.5 Abbildung.8.3: Produt aus Zustandsdichte und ermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand eines Quantenfilms für (a T=0K und (b T>0K