Warum Halbleiter verstehen?

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1 7.1 Warum Halbleiter verstehen? In der Vorlesung Elektronische Schaltungen haben Sie die Kennlinien verschiedener Halbleiterbauelemente kennen gelernt: Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren Quelle: ES-Skript Warum sehen die Kennlinien so aus? Was muss man machen, dass sie anders aussehen, was bestimmt das dynamische Verhalten?

2 7.2 Leitfähigkeit von Festkörpern Bisher wurden nur elektronische Zustände diskutiert ( Bänder ). Wie bewegen sich Elektronen in Kristallen? HL E makroskopisch: J = σe bzw. J = σe Wie berechnet man σ??

3 7.3 Geschwindigkeit von Materiewellen Wir haben schon die Gruppengeschwindigkeit v g in der 2. Vorlesung kennengelernt: Es ergab sich als Spezialfall beim Gauss schen Wellenpaket: 2 1 x ψ ( x,0) = exp( )exp( jk 2 0x) a π 2a x = v t 0 g 0 v g k = = m 0 2 v p Für die Gruppengeschwindigkeit gilt allgemeiner (siehe auch Felder und Wellen) v g ω = k Überprüfung für das freie Elektron: 2 k k ω( k) = = k k 2m m

4 7.4 Geschwindigkeit von Materiewellen Gruppengeschwindigkeit (Geschwindigkeit, mit der sich der Schwerpunkt eines Wellenpaketes bewegt) v g ω = k Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für das freie Elektron sondern für jede x-beliebige Dispersionsrelation (auch für em. Wellen)

5 7.5 Geschwindigkeit von Materiewellen E Gruppengeschwindigkeit (Geschwindigkeit, mit der sich der Schwerpunkt eines Wellenpaketes bewegt) v g ω = k Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für das freie Elektron sondern für jede x-beliebige Dispersionsrelation (auch für em. Wellen) Was passiert, wenn nun ein elektrisches Feld auf das Elektron einwirkt??

6 7.6 Beschleunigung von Materiewellen Ziel: Ableitung einer Bewegungsgleichung für ein Elektron im Kristall: E Für die Gruppengeschwindigkeit gilt: v g ω = = k 1 Wk ( ) ; k Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential Klassische Änderung der Energie pro infinitesimaler Zeiteinheit: klassisch: dw dt Arbeit Kraft*Weg = = =Kraft*Geschwindigkeit = Zeit Zeit Fv für ein Blochelektron mit bekannter Dispersion W(k)...um W zu ändern, muss k geändert werden dw 1 W ( k) d( k) = dt k dt v g

7 7.7 Beschleunigung von Materiewellen D.h. d( k) dt kann mit F identifiziert werden, bzw. es gilt dk 1 F dt = Das bedeutet, das eine Kraft unabhängig von der Bandstruktur den k-vektor verändert. Wie sieht es mit der Beschleunigung eines Elektrons mit bekannter Dispersionsrelation W(k) aus? a dv 2 2 g 1 d W 1 W dk 1 W = = = F 2 = 2 2 dt dt k k dt k Analog zum klassischen F=ma kann also eine Masse des Blochelektrons definiert werden: Wk ( ) 2-1 = * 2 Wk ( ) * 2 2 bzw. m k m = 2 k Masse des Kristallelektrons wird bestimmt durch die Bandstruktur!!!

8 7.8 Elektronen in Kristallen Transporteigenschaften von Kristallelektronen werden bestimmt durch die Bandstruktur (Gruppen)Geschwindigkeit ist gegeben durch 1 Wk ( ) vg = ; k Die effektive Masse dieser Elektronen ist: m 2 Wk ( ) = 2 k * 2 Kristallelektronen benehmen sich bei Beschleunigung wie Teilchen der Masse m* (m eff )! -1 W...dies führt (hauptsächlich in der Theorie) zu einem sehr merkwürdigen Verhalten...

9 7.9 Blochoszillationen Bsp.: kosinusförmiges Band W Wk ( ) = 1-cos 2 ( ( ka) ) v g = 1 Wk ( ) ; k m 2 Wk ( ) = 2 k * 2-1

10 7.10 Blochoszillationen Eine konstante Kraft F bewirkt das folgende k(t): dk 1 F dt = 1 kt () = k(0) + Ft und für v g (t):..und in x(t) Nach diesem Modell erwarten wir bei einem konstanten Feld eine oszillierende Bewegung der Elektronen (Bloch-Oszillationen).

11 7.11 Aber: Einfluss von Störungen In einem realen Kristall wird die Bewegung des Elektrons unterbrochen durch z.b. Stöße mit Gitterschwingungen (Wechselwirkung mit Phononen) Streuung an Defekten Elektron-Elektron-Streuung Die Zeit τ für diese Störungen ist typischerweise viel kürzer als die Periode der Bloch-Oszillation. Realistischeres v(t) Bloch-Oszillationen können nur in speziell hergestellten künstlichen Kristallen beobachtet werden... aber sind interessant für die THz-Technik.

12 7.12 Ströme in Halbleitern Strom im Halbleiter: Abfolge von Phasen der Beschleunigung und abrupten Stößen Elektronen werden durch den Halbleiter getrieben Drift ströme Elektronenbahn ohne/mit Feld

13 7.13 Driftströme lektronen werden im Mittel nach der Zeit τ durch Stoß mit Atomrumpf abrupt abgebremst. Damit ergibt sich (nicht ganz sauber) als mittlere Geschwindigkeit: v F qeτ eeτ = τ = = µ E * * m m m Damit ergibt sich eine zentrale Größe der Halbleiterelektronik, die Beweglichkeit µ: µ = eτ * m Sie ist ein Maß dafür, wie schnell sich ein Elektron im Halbleiter unter Einwirkung des elektrischen Feldes bewirkt

14 7.14 Driftströme J Stromdichte durch ein Volumenelement: Ladung pro Teilchen (1e) (Einheit: C=As) J = q n v Dichte der Ladungen (Einheit: m -3 bzw cm -3 ) Die Stromdichte ist direkt proportional zur Beweglichkeit: mittlere Geschwindigkeit Einheit: m/s J = qnv = qnµ E -hohe Beweglichkeiten -hohe Stromdichten -geringe Schaltzeiten

15 7.15 GaAs Bandstruktur und Beweglichkeit Die effektive Masse der Ladungsträger ist eine Funktion des k-wertes und des Bandes. m eff W( k) = 2 k Die Zeitkonstante τ ist ebenfalls nicht konstant. Deshalb ist die Beweglichkeit nicht für alle Elektronenzustände gleich.

16 7.16 Si Bandstruktur und Beweglichkeit Die Träger relaxieren durch Stöße zu den niedrig gelegenen Zuständen im Band. Deshalb heißt τ auch Intrabandimpulsrelaxationszeit. Die Elektronenbeweglichkeit im Leitungsband ist bei Si kleiner als bei GaAs. Dies sieht man an der geringeren Bandkrümmung im Minimum. m W( k) eff = k 2 2 µ = eτ m eff

17 7.17 Halbleiter mit hoher Beweglichkeit Für Hochfrequenzbauelemente (optische Nachrichtentechnik, Mobilfunk) sind die Si-Elektronen u. U. nicht schnell genug. Erforschung und Einsatz von anderen Halbleitermaterialien z.b. GaAs, InP, SiGe Quelle: Infineon Corporate Research

18 7.18 Halbleiter mit hoher Beweglichkeit Quelle: Infineon Corporate Research

19 7.19 Beweglichkeiten Die Beweglichkeit ist nicht naturgegeben! Wird bestimmt durch: - Reinheit des Halbleiters (wenige Streuprozesse) - Wahl des Materials - den k-zustand (Energie) des Elektrons

20 7.20 Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs v = µ = -µ E eτ m eff Für kleine Feldstärken ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und die effektive Masse ungefähr konstant. In diesem Bereich ist die Parabelnäherung zur Bandstruktur anwendbar.

21 7.21 Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs Elektronen hoher Energie haben z.b. eine geringere Beweglichkeit

22 7.22 Parabolische Näherung Da die Bandstruktur in diesen Bereichen symmetrisch ist, können wir sie durch eine Parabel annähern. Die Elektronen verhalten sich wie freie Elektronen mit einer konstanten effektiven Masse. Direkter Halbleiter mit Seitental z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge

23 7.23 Parabolische Näherung W W G k WC( k) = WG + 2m 2 2 e m e,h : Effektive Elektron(Loch)masse a = qe m eh, W V k = 2m 2 2 h m W ( ) n k eh, = k 2 2

24 7.24 Parabelnäherung: Löcherbewegung - Strombeiträge einzelner Elektronen in einem vollbesetzten Band kompensieren sich paarweise: - Strom wird nur getragen von teilweise gefüllten Bändern

25 7.25 Autobahn-Analogie Wir wollen Autos von Karlsruhe nach Frankfurt bringen. Ist die Autobahn ganz leer, so werden keine Autos transportiert. Aber wenn alles voll ist, geht auch nichts mehr...stau... Elektronen sind Fermionen und können sich stauen!

26 7.26 Autobahn-Analogie Vollgefüllte Bänder tragen nicht zum Stromfluß bei!

27 7.27 Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: W k WC( k) = WG + 2m 2 2 e W C W G W G W V W V k = 2m 2 2 h

28 7.28 Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: W C : Minimum des Leitungsbands (Conduction band) W V : Maximum des Valenzbandes (Valence band) W G W C W V W G : Energielücke (Energy gap)

29 7.29 Besetzung der Bänder mit Elektronen Die Verteilung von Elektronen auf die Bänder sieht bei Metallen, Halbleitern und Isolatoren bei Raumtemperatur folgendermaßen aus: W Source: B. Van Zeghbroeck

30 7.30 Defektelektronen (Löcher) im Valenzband Anstatt die vielen unbeweglichen (im Stau stehenden) Elektronen im Valenzband zu betrachten, ist es einfacher die wenigen beweglichen Defektelektronen (Löcher) zu analysieren. Fehlende Elektronen im fast vollständig besetzten Valenzband sind beweglich (Analogie: Wasserblasen) Löcher können als einzelne Teilchen mit einer positiven Ladung und im Vorzeichen geänderter effektiver Masse (positiv wenn Elektronenmasse negativ!) angesehen werden

31 7.31 Analogie doppelstöckige Autobahn Stromfluß in teilweise gefüllte Bändern

32 7.32 Analogie doppelstöckige Autobahn Stromfluß in teilweise gefüllte Bändern.

33 7.33 Berechnung der Leitfähigkeit Quantitativ wird die Leitfähigkeit σ berechnet durch: Ladung des Elektrons Beweglichkeit der Ladungsträger im Leitungsband ( ) σ = e µ n + µ p n Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband p Anzahl der Defektelektronen im Valenzband Beweglichkeit der Ladungsträger im Valenzband Wie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins Leitungsband und wie viele gibt es dort?