7. Elektronendynamik

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1 7. Elektronendynamik Grundproblem: Bewegung der Elektronen in periodischem Potential Grundlegende Fragestellung Unterschiede in der Leitfähigkeit zwischen verschiedenen Materialien

2 Grundprinzipien I Zweiter Teil der Born-Oppenheimer Näherung Hamiltonoperator: H = T e + V ek +V ee Bewegung der Elektronen im gitterperiodischen Potential mit fixierten Kernpositionen! Weitere Näherungen: Vernachlässigung von Elektron-Elektron-Wechselwirkung und Ersatz durch mittleres Potential Übergang zu Einelektronproblem

3 Grundprinzipien: Bloch-Elektronen Elektron spürt in jeder blbg. Elementarzelle dieselbe Umgebung und sollte damit dieselbe Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Zelle besitzen. Bloch-Theorem: Wellenfunktion eines Elektrons in einem periodischen Potential

4 Näherungsweise Lösung Schrödingergleichung für beliebige Potentiale immer noch sehr komplex Näherungsweise Behandlung: Quasifreie Elektronen: Freie Elektronen als Ausgangspunkt mit störungstheoretischer Behandlung des Potentials gut z.b. für hochenergetische Bänder Quasigebundene Elektronen: Start von Atomorbitalen, die durch Linearkombination zur Kristallorbitalen ausgebaut werden gut z.b. für tiefliegende Bänder Ergebnis: Energiebänder getrennt durch Lücken

5 Lösung: Bandstruktur E n (k) Bandstruktur entlang bestimmter Richtung im k- Raum 1. BZ ausreichend! Kramers-Entartung: Resultat der Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators

6 Quasifreie Elektronen I Ausgangspunkt: Freie Elektronen im reduzierten Zonenschema

7 Quasifreie Elektronen II Dann Einbau des Kristallpotentials, z.b. am Zonenrand mit seinen stehenden Wellen bindend antibindend

8 Quasifreie Elektronen III Resultierende Energiebandstruktur

9 Näherung stark gebundener Elektronen Ausgangspunkt: Atomare Orbitale V A atomares Potential am Gitterplatz R Kristallwellenfunktionen LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals)

10 Näherung stark gebundener Elektronen

11 Generelle Tendenzen in der Bandstruktur I Mit zunehmender Energie nimmt die Breite der Bänder zu! Breite der Bandlücken ab! Die Besetzung der Bänder erfolgt dann nach dem Pauliprinzip beginned von niedrigster Energie bis hin zur Maximalenergie, der so genannten Fermi- Energie. Der Füllstand der Bänder bestimmt die Leitfähigkeit des Kristalls!

12 Generelle Tendenzen in der Bandstruktur II Wieviele Elektronen passen in ein Band? Siehe LCAO-Methode: Zu einem Band trägt jedes Atom mit einem Orbital mit zwei möglichen Spinorinetierungen bei. Bei N Atomen führt das zu 2N möglichen Zuständen im Band! Kristalle mit gerader (ungerader) Zahl von Elektronen in äußerster Schale sind Isolatoren (Metalle).

13 Besetzung der Bänder x

14 Ge Experimentelle Bandstukturen

15 Al Experimentelle Bandstukturen

16 Bewegung von Kristallelektronen

17 Experimentelle Bandstukturen Aluminium Um das Bandminimum herum besitzt das Band eine parabolische Dispersionsrelation so wie bei freien Elektronen, aber oft mit modifizierter Masse durch Wechselwirkung mit dem Kristallhintergrund Näherung des freien Elektrongases in Metallen nach Drude und Sommerfeld!

18 Bewegungsgleichungen Effektive Masse I Damit:

19 Effektive Masse II Effektiver Massentensor Isotrope Näherung

20 Effektive Masse III

21 Metalle: Freies Elektronengas I Elektronen sind Teilchen in einer Box (3-dimensionaler, isotroper Potentialtopf)

22 Metalle: Freies Elektronengas II Maximal besetzte Energie: Fermi-Energie (T=0) N Elektronenzahl n Elektrondichte

23 Freies Elektronengas III

24 Freies Elektronengas IV

25 Freies Elektronengas V Gesamtenergie des Elektrongases bei T=0 Endliche Temperatur: Anregung von Elektronen über thermische Energie k B T gemäß Fermi-Dirac-Verteilung µ chemische Potential: Mittlere Energie zur Hinzufügung eines Elektrons

26 Fermi-Dirac-Verteilung

27 Spezifische Wärme der Elektronen Bruchteil anregbarer Elektronen: k B T/ k B T F Anregungsenergie: k B T: Gesamtenergie: Nk B T 2 /T F Wärmekapazität: 2Nk B T/T F

28 Spezifische Wärme von Metallen Elektronischer Beitrag Gitterbeitrag

29 Bewegung in externen Feldern

30 Elektrische Leitfähigkeit Ladungstransport Drude-Modell im stationären Fall Driftgeschwindigkeit v D Mittlere Stoßzeit Beweglichkeit: Elektrische Leitfähigkeit

31 Elektrische Leitfähigkeit Modell nach Drude und Sommerfeld geben Verschiebung der Fermi-Kugel an!

32 Elektrischer Widerstand Auf dem bisherigen Niveau (Elektron in perfekt periodischem Gittepotential) bewegt sich ein Elektron ohne jeglichen Widerstand, aber führt auch keinen Strom: Bloch-Oszillationen! Streuprozesse Phononen (T-abhg.) Defekte/Verunreinigungen Oberflächen

33 Temperaturabhängigkeit des Widerstands

34 Lorentzkraft Bewegung von Elektronen im (zusätzlichen) Magnetfeld Bewewgung auf Zyklotronbahnen um das Magnetfeld herum mit Zyklotronfrequenz

35 Hall-Effekt Bewegung der Elektronen in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern Messung der Ladungsträgerkonzentrationen