ELEKTRONEN IN FESTKÖRPERN

Transkript

1 ELEKTRONEN IN FESTKÖRPERN 6.11 Feriflächen I bisher betrachteten eindiensionalen Fall wird der Grundzustand von der Ferienergie und de Feri-Niveau bestit. Das Feri-Niveau stellt den Zustand it der höchsten Energie dar, wobei diese Energie als Ferienergie bezeichnet wird. Die Ferifläche ist nichts anderes als eine dreidiensionale Darstellung der Ferienergie i k-rau. Das von der Ferifläche uschlossene Voluen beinhaltet sätliche besetzten Zustände sofern sich das Material i Grundzustand befindet. I einfachsten Fall, de der freien Elektronen, ist die Ferifläche eine Kugel, da die Ferienergie eine Funktion der Quadrate der k-vektoren in jede Richtung ist. E = 2 2 (k2 x + k 2 y + k 2 z) In anderen Fällen insbesondere in Metallen ist die Ferifläche nicht exakt kreisförig i k-rau. Für solche Metalle, die quasi freie höher gelegene Elektronen besitzen, ist die Ferifläche jedoch nahezu kreisförig. Nahezu, weil aufgrund von Bragg-Reflexionen an den Grenzen der Brillouin-Zonen Hälse entstehen. Solche Feriflächen werden zu Beispiel für Kupfer, Silber und Gold beobachtet. Zur Vereinfachung wird i Folgenden die Betrachtung der Ferifläche auf zwei Diensionen reduziert. Dait reduziert sich die Ferifläche freier Elektronen, die i Dreidiensionalen die Gestalt einer Kugel hatte, auf einen Kreis. Ist das Gitter leer - also nicht vorhanden - so kot es auch nicht zu Bragg-Reflexionen. Sofern die Ferienergie innerhalb der ersten Brillouin- Zone liegt, ist auch i reduzierten Zonenschea die Ferienergie ein Kreis. Hat ein Metall jedoch ehrere Elektronen, so können diese nicht ehr alle in der ersten Brillouin-Zone untergebracht werden, dann liegt die Ferienergie außerhalb der ersten Brillouin-Zone. I erweiterten Zonenschea ist die Ferienergie nach wie vor kreisförig. Jedoch wird die Ferifläche i reduzierten Zonenschea zunächst erkwürdige Foren annehen. Für diese Betrachtungen wird das erweiterte Zonenschea in die Brillouin-Zonen zerlegt und diese dann auf die erste Brillouin-Zone abgebildet, u das reduzierte Zonenschea zu erhalten Abbildung 6.18: Konstruktion der ersten vier Brillouin-Zonen. Die schwarzen Linien sind die Mittelsenkrechten zu den jeweils nächsten Nachbarn, beziehungsweise denen höherer Ordnung, wie es die Zahlen angeben. Die Grauen Linien betreffen die Konstruktion der vierten Brillouin-Zone Ausgehend von de Mittelpunkt bildet an Vektoren zu benachbarten reziproken Gitterpunkten. Diese werden nach größer werdender Länge sortiert. Aufgrund der Syetrie erhält an für jede Länge ehrere Vektoren. Danach erstellt an, ausgehend von den kürzesten Vektoren, Mittelsenkrechte bzw. i dreidiensionalen auf den Mittelpunkten eine Ebene, die den Vektor als Noralenvektor besitzt. Die

2 6.11. FERMIFLÄCHEN 119 Ebenen, die von diesen Gebieten eingeschlossen werden, sind die 1., 2.,... Brillouin-Zonen. Das einfachste Beispiel ist der eindiensionale Fall: Abbildung 6.19: Konstruktion der ersten vier Brillouin-Zonen i eindiensionalen Fall. Der zweidiensionale Fall ist ebenfalls anhand eines quadratischen Gitters i reziproken Rau dargestellt. Wird die Oberfläche der Ferikugel freier Elektronen in die erste Brillouin-Zone zurück transferiert, so verkopliziert sich die Gestalt der Ferifläche. Die Anteile der Elektronen in der 1., 2., 3., und vierten Brillouin-Zone haben in der ersten Brillouin-Zone die folgende Gestalt: Abbildung 6.20: Elektronen innerhalb der Ferikugel. Darstellung anhand der ersten Brillouin-Zone. In eine periodischen Potential verändert sich das Aussehen der Ferifläche aufgrund der Bragg-Reflexionen. I vorausgegangenen zweidiensionalen Beispiel werden sich die Potentiallinien konstanter Energie so verändern, wie es nebenstehend angedeutet ist. An den Zonenrändern kot es zur Bildung von Hälsen, wenn die Energie dicht genug a Zonenrand liegt. Die Stärke der Abweichung vo kreisförigen Aussehen und das Ausaß der Bildung der Hälse hängt aßgeblich davon ab, wie stark die Bragg Reflexion ist. I Kupfer hat die Ferifläche nahezu ein kugelföriges Aussehen, das nur durch Hälse an den Zonenrändern gestört wird. Diese Hälse sind Auswirkungen der Bragg-Reflexionen an den Zonengrenzen Abbildung 6.21: Ferifläche von Kupfer. Nachde nun erklärt wurde wie Feriflächen aussehen, könnte an sich die Frage stellen, waru diese Flächen von so großer Bedeutung sind. Das Drude-Modell für Elektronen i Festkörper versagt z.b. bei der Beschreibung der spezifischen Wäre. Dies liegt darin begründet, daß nicht einal die freien Elektronen i Leitungsband eines Metalls therische Energie absorbieren können, wenn diese nicht

3 ELEKTRONEN IN FESTKÖRPERN innerhalb eines Energiebereiches von k B T in der Nähe der Ferifläche sind. Dies bedeutet, daß die eisten elektronischen Eigenschaften der Metalle von Elektronen bestit werden, die sich auf oder knapp unterhalb der Ferifläche befinden. Dezufolge sind die Elektronen nahe der Ferifläche, die relevanten Elektronen, wenn es u die Beschreibung der Eigenschaften von Metallen geht. Es gibt eine Reihe von Messungen, it deren Hilfe Inforationen über die Ferifläche gewonnen werden können. Detaillierte Beschreibungen dieser Experiente finden sich in einschlägigen Festkörperphysikbänden :-) An dieser Stelle sei nur eine Liste der Experiente gegeben und welche Eigenschaften durch sie bestit werden können. Kontaktflächen (Magnetowiderstand) Lineare Ausdehnung (Magneto akustischer Effekt) Maxiale Fläche (de Haas van Alphen Effekt) Anzehl der Elektronen in einer Ebene (Positronen Vernichtung) Elektronengeschwindigkeit (Zyklotron Resonanz) Krüung (Annoaler Skin Effekt) Abbildung 6.22: Eigenschaften der Ferifläche und it welchen physikalischen Methoden diese untersucht werden können Leitfähigkeit von Eleenten und Legierungen Der Ipuls eines freien Elektrons hängt it seine Wellenvektor über p = v = k zusaen. Hierin wird das Elektron sowohl als Teilchen ( v) als auch als Welle ( k) beschrieben, die den Kristall in alle Richtungen durchlaufen kann. In eine elektrischen Feld E und eine Magnetfeld B ist die Kraft F auf ein Elektron der Ladung e gleich [ F = e E + 1 ] c v B it de Newtonschen Gesetz gilt F = d v [ dt = d k dt = e E + 1 ] c v B Treten keine Stoßprozesse auf, so wird die Ferikugel i k-rau durch ein äußeres elektrisches Feld gleichförig verschoben. Eine Integration über k liefert it B = 0: k(t) k(0) = e E t

4 6.12. LEITFÄHIGKEIT VON ELEMENTEN UND LEGIERUNGEN 121 Wird das Feld zur Zeit t = 0 an ein Elektronengas angelegt, das die Ferikugel it de Mittelpunkt u Ursprung des k-raues ausfüllt, so verschiebt sich die Kugel. Diese Bewegung führt nach einer Zeit t zu eine neuen Mittelpunkt a Ort: δk = e E t Die Ferikugel wird hierbei als Ganzes verschoben! Dies führt zu eine elektrischen Stro. δk kann jedoch nicht beliebig groß werden, da es Wechselwirkungen zwischen den Elektronen und den Rupfatoen bzw. Störungen des periodischen Gitterpotentials gibt. Dies führt unter andere zur Streuung der Elektronenwellen oder zur Ubesetzung von Quantenzuständen. Infolge der Stöße zwischen den Elektronen und den Verunreinigungen, Gitterfehler, Phononen, etc., kann die Verschiebung der Ferikugel in eine elektrischen Feld als stationärer Zustand aufrecht erhalten werden. Bei einer ittleren Stoßzeit zwischen zwei Streuprozessen τ ist die Verschiebung der Ferikugel i stationären Zustand durch δk = e E τ/ gegeben. Der Gleichgewichtszustand ist v = e E τ/. k y F k y k x k x Abbildung 6.23: Die Ferikugel schließt i k-rau die besetzten Zustände des Elektronengases ein. Unter einer äußeren Kraft (rechtes Teilbild) verschiebt sich die Ferikugel, da der k-vektor aller Zustände zunit (δk = F τ/ ). Bei n Elektronen der Ladung q = e pro Volueneinheit beträgt die elektrische Strodichte in eine konstanten Feld E j = nq v = ne 2 τ E Diese Gleichung hat die For des Ohschen Gesetzes. Die elektrische Leitfähigkeit σ ist durch j = σ E gegeben, also gilt σ = ne2 τ Der elektrische Widerstand ρ ist per Definition der Kehrwert der Leitfähigkeit ρ = 1 σ = ne 2 τ

5 ELEKTRONEN IN FESTKÖRPERN ZUM NACHDENKEN: Welche Bedeutung hat die Brillouin-Zone? Welche Inforationen erhält an aus Untersuchungen der Brillouin-Zone? Welche Größen beeinflußen die elektrische Leitfähigkeit? Wie kann die Bewegung der besetzten Zustände innerhalb der Ferikugel bei angelegter Spannung beschrieben werden?