Dies ist die Sammlung des Materials von Dienstag, bis Freitag Zustandsdichte für Elektronen und Photonen, 1D,2D,3D

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1 Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger skript_3_1_016_b Dies ist die Sammlung des Materials von Dienstag, bis Freitag Inhalt: 1. fcc_struktur.pdf Seite Bilder von ausgewählten Oberflächen. bragg_beugung.pdf Seite 5 Bragg'sche Beugungsbedingungen 3. laue_beugung.pdf Seite 9 Beugungdbedingungen von Laue 4. zustandsdichte.pdf Seite 15 Zustandsdichte für Elektronen und Photonen, 1D,D,3D 5. zustandsdichte_1d_d_3d.pdf Seite 19 Weitere Details zur Zustandsdichte 6. zustandsdichte_3d.pdf Seite 4 Entwicklung der Zustandsdichte von kleinen Teilchenzahlen. 7. fermi_dirac.pdf Seite 6 Herleitung der Fermi-Dirac Statistik

2 Einheitszelle fcc camera { angle 5 location <15,0,-0> look_at <a/,a/,a/>} fcc-kristall: Sicht auf die [0,1,0]-Ebene camera { angle 40 location <0,-0,-> look_at <0,0,0> }

3 fcc-kristall: Sicht auf die [1,0,0]-Ebene [0,1,0] Richtung camera{ angle 37 location <0,5,-0> look_at <0,0,0>} fcc-kristall: Sicht auf die [1,1,1]-Ebene Oberste Ebene Zweite Ebene Dritte Ebene

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5 bragg_beugung.jnt

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9 laue_beugung.jnt

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19 Zustandsdichte g(e) Sehr oft muß man die Werte physikalischer Größen durch Mittelung über die makroskopische Energieverteilung der Elektronen berechnen. Solche Größen sind z.b. Transportgrößen wie elektrische Leitfähigkeit, thermische Größen wie die Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit, die Magnetisierung, usw. Für all diese Berechnungen benötigt man die Energieverteilung der Elektronen. Die grundlegende Verteilungsfunktion ist die Zustandsdichte, g(e). k x k = In einer Dimension liegen die erlaubten k-werte im k-raum äquidistant im Abstand π L k = π L L ist die Einsperrlänge im Realraum. Im reziproken k-raum ist die Dichte 1/ k = L/(π). Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte In zwei Dimensionen hat man ein quadratisches Gitter mit Abständen k x = π, k y = π. Die Fläche pro Lösung ist: A k = (π) /L. L L k y k x Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte

20 k z k y k x In drei Dimensionen hat man ein einfaches kubisches Gitter im k-raum. Das Volumen ist: V k ( π ) = 3 L 3 Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte Die Berechnung der Zustandsdichte g(e) erfolgt in drei Schritten: i) Man berechnet den k-raum für k Werte von k bis k+dk ii) Man dividiert durch die/das (Länge, Fläche, Volumen) des k-raumes pro Zustand und erhält so die Dichte im k-raum. iii) Mit der Beziehung k E = m * erhält man die Zustandsdichte g(e). Diese Berechnungen führen wir getrennt für die Fälle 1D, D, 3D durch: Zustandsdichte g 1D (E) in einer Dimension: Zwischen k und k+dk ist die Länge im k-raum gerade dk. Die Zahl der Zustände in dieser Länge ist : k E = kdk de = * m * m dn dk = = ( π L ) dk L π k = m* E dk = m* de k : spin-faktor for S=1/ Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte

21 In einer Dimension: dk = m * de E dn L m* de = π E dn dn 1 = = L π m * de E g 1D ( E) dn = = 1 de π m* E dn: Zustände pro Länge a 7 Die Divergenz von g 1D (E) für E 0 bereitet keine Probleme, denn schon das Integral E de 0 E = E g 1D (E) D Zustandsdichte ist endlich Energy (a.u.) Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte Zustandsdichte g D (E) in zwei Dimensionen: k dk Man berechnet die Zahl der Zustände in einem Kreisring des Radius k, mit der Dicke dk. dn π kdk = = π L ( ) k dk L π dn m * dn = = de L π Da k dk = g ( E ) D m* de * dn m = = de π Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte

22 g D (E) m π * E Die -D Zustandsdichte g D (E) ist unabhängig von der Energie E! Diese Energieunabhängigkeit ist für -D Fall charakteristisch. Dies hat weitreichende Konsequenzen für die Eigenschaften des elektronischen Systems. Quanten-Effekte wie der von Klitzing Effekt (integer quantum Hall effect) hängen entscheidend davon ab, daß die Zustandsdichte pro Energieintervall konstant ist. Nieder-dimensionale Halbleiterstrukturen sind heutzutage sehr gebräuchlich, denn Quantenwell Systeme sind im alltäglichen Gebrauch (HEMT-transistors, High Electron Mobility Transistors z.b. in Low Noise Blocks). Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte Zustandsdichte g 3D (E) in drei Dimensionen: k dk Wir berechnen die Zahl der Zustände in einer a Kugelschale des Radius k, und der Dicke dk. dn = 3 4 π k dk = k dkl 3 π ( ) dn 1 g E = m* 3 E 3D 3 3 L de = π π L ( ) Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte

23 1 π * 3 g ( E ) = m E 3D 3 3 g 3D (E) E In der Näherung des NFE Modells, hängt die Zustandsdichte nur von der effektiven Masse der Elektronen ab. Eine kleine effektive Masse m* führt zu einer kleinen Zustandsdichte! g 3D (E) 1 1-D: g 1D (E) (m*) 1/ -D: g D (E) m* = (m*) / 3-D: g 3D (E) (m*) 3/ Energy (a.u.) Die physikalischen Gründe für diese Abhängigkeit von der effektiven Masse sind: Eine kleine effektive Masse entspricht einer großen Ausdehnung der Wellenfunktion. Diese ausgedehnte Wellenfunktion benötigt mehr Platz, und dies führt zu einer geringeren Dichte der Elektronen. Diese Tatsache wirkt sich besonders bei Halbleitern mit ihren sehr kleinen effektiven Massen aus. Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 1-D -D 3-D g 1D ( E) = 1 π m* E g ( E ) D = * m π 1 π * 3 g ( E ) = m E 3D g 1D (E) 3 g 3D (E) Energy (a.u.) Energy (a.u.) Werte der Konstanten in praktischen Einheiten: (1eV = J) m π = J m J m π m J = 3 m 56 1 = π m J J 6 = cm ev ev = cm ev = cm 3 ev ev Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte

24 L = 1 nm L = nm 3.0 3D: L = 1 nm 6 3D: L = nm Häufigkeit Häufigkeit Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D L = 3 nm L = 4 nm 1 3D: L = 3 nm 5 3D: L = 4 nm 10 0 Häufigkeit Häufigkeit Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D

25 L = 5 nm L = 10 nm Häufigkeit 40 3D: L = 5 nm Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Häufigkeit 300 3D: L = 10 nm Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D L = 100 nm D: L = 100 nm D: L = 100 nm Häufigkeit Häufigkeit Fit mit sqrt(x) Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Energie (ev) Zustandsdichte_3D.opj Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D

26 fermi_dirac.jnt

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