Gitterschwingungen in Festkörpern

Transkript

1 in Festkörpern

2 Gitterschwingungen Wie bei den Molekülen wollen wir im folgenden die Dynamik der Festkörper, also Schwingungen des Kristallgitters behandeln Erklärung, Beschreibung Elastische Eigenschaften Schallausbreitung Wärmekapazität Optische Eigenschaften im Infraroten Einführung in die Struktur der Materie 189

3 Klassische Physik: Hooke sches Gesetz F Dehnung L eines Zylinders, Drahtes L L = L y F A (77) mit y Youngsches Elastizitätsmodul Schallausbreitung für v Al = 5100m/s, v Cu = 3900m/s Einführung in die Struktur der Materie 190

4 u n 1 u n u n+1 Verschiedene Wellenformen möglich Longitudinale Welle Transversale Welle U n Auslenkung der Ebene n aus der Gleichgewichtslage Nur Kräfte zwischen benachbarten Ebenen berücksichtigen Ersetzen der schwingenden Gitterebene durch Schwingung einer linearen Kette Einführung in die Struktur der Materie 191

5 Auslenkung aus der Ruhelage gegeben durch u n Kraft auf Atom ist proportional zur Differenz der Auslenkung der Nachbaratome Streckung oder Stauchung der Feder resultiert in Kraft M d2 u n dt 2 = C[(u n+1 u n ) (u n u n 1 )] (78) Analog für die transversale Auslenkung Einführung in die Struktur der Materie 192

6 Lösungsansatz harmonische in x-richtung laufende Welle. Allgemeiner Ansatz: wobei u n (t) = u(x = na, t) ist Randbedingung: N-Atome zyklische Randbedingung U(0) = U(Na) u(x, t) = u 0 e i(kx ωt) (79) e ik0 = e ik NA = 1 k = 2π a n mit n ganze Zahl N Lösungsansatz in Bewegungsgleichung eingesetzt [ ] Mω 2 = C e ika + e ika 2 (80) C ω = 2 M sin ka 2 (81) Einführung in die Struktur der Materie 193

7 Gitterschwingungen U π /a π /a 2π/a 0 k 1. Brillouinzone Einführung in die Struktur der Materie 194

8 Kreisfrequenz ω hängt in nichtlinearer Form vom Wellenzahlvektor k an. Dispersion für ka 1 folgt ω = 2 c ka mit ω k M ω = Phasengeschwindigkeit v Phase = ω/k = für ka 1 folgt c M ka 2 c M a λ a Gitterkonstante da k = 2π λ Medium benimmt sich wie homogenes Medium Gruppengeschwindigkeit v g = dω dk = c M a = v Phase = v Schall Einführung in die Struktur der Materie 195

9 Mit anwachsendem k geht λ gegen a, die obige Näherung wird ungültig die Gitterstruktur wirkt sich aus ω wächst nichtlinear mir k und erreicht für einen maximalen Wert sin ka 2 = 1, d.h. ka 2 = π 2 k = π a c ω = 2 M benachbarte Atome schwingen gegenphasig maximale Belastung der Federn Für k = k max wird die laufende Welle zur stehenden Welle e i(kna ωt) = e i ( π a na 2 c M t ) = ±e 2i c M t Schwingung Einführung in die Struktur der Materie 196

10 Für k > π/a ergibt Welle mit k = k 2π/a an den Gitterpunkten die gleiche Auslenkung e ik na = e ikna i2π/an d.h. keine neue physikalische Lösung physikalisch sinnvolle Lösungen können auf den Bereich π a k π a beschränkt werden. 1. Brillouin Zone Einführung in die Struktur der Materie 197

11 Gruppengeschwindigkeit v Gr = dω ( ) c dk = 2 a ka M 2 cos 2 ( ) c ka = a M cos 2 Zentrum der Brillouin-Zone c v Gr = a M Rand der Brillouin-Zone k = π/a v gr = 0 Stehende Welle! Bragg Reflektion der Wellen für λ = 2a Einführung in die Struktur der Materie 198

12 Bisher Gitter mit einer Atomsorte diskutiert. Analoges Vorgehen liefert für Gitter mit zwei Atomsorten ( 1 ωopt 2 = c + 1 ) ( 1 + c + 1 ) 2 4 sin2 ka 2 (82) M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 ( 1 ωakust 2 = c + 1 ) ( 1 c + 1 ) 2 4 sin2 ka 2 (83) M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 (84) Optische und akustische Schwingungszweige Einführung in die Struktur der Materie 199

13 optischer Zweig akustischer Zweig 0 π/ a π/ a Einführung in die Struktur der Materie 200

14 k = 0: k = π/a: ω opt = 2c ω akust = 0 ( 1 M M 2 ) ω opt = 2c/M 2 ω akust = 2c/M 1 Anschaulich: ka 1,λ a ωopt 2 ( 1 2c + 1 ) M 1 M 2 ωakust 2 c 2c 2(M 1 + M 2 ) (ka)2 Einführung in die Struktur der Materie 201

15 ω akust ka für ka 1 konstante Schallgeschwindigkeit Optischer Zweig benachbarte Teilchen (Atome, Ionen) schwingen gegenphasig Akustischer Zweig benachbarte Teilchen schwingen gleichphasig Einführung in die Struktur der Materie 202

16 Ionenkristalle: 2 Atome, einfachster Einkristall es existiert optischer Zweig Elektromagnetische Wellen koppeln an optischen Zweig an Gegenphasige Auslenkung der Nachbaratome resultiert in einem elektrischen Dipolmoment Beispiel KBr (nächste Seite) Welcher Bereich wird untersucht? k Photon = 2π λ λ 1000Å = m Dimension der 1. BZ π/a mit a m k Photon für sichtbares Licht bei Γ(0, 0, 0) Bestimmung der Zweige über Neutronenstreuung, Elektronen oder Röntgenstreuung Einführung in die Struktur der Materie 203

17 Longitudinale und Transversale Optische und Akustische Schwingungsmoden von einem KBr Kristall Moden in [111]-Richtung des KBr-Kristalls Mit optischer Spektroskopie ist nur der Bereich um k = 0 zugänglich Einführung in die Struktur der Materie 204

18 Einführung in die Struktur der Materie 205

19 Dispersion von Si in allen Raumrichtungen Einführung in die Struktur der Materie 206

20 Einführung in die Struktur der Materie 207

21 Reziprokes Gitter Gitterschwingungen Reziprokes Gitter Aus der Betrachtung der Gitterschwingungen ergibt sich, daß es auch eine Periodizität in k gibt Bereits bei der Strukturanalyse mittels Beugung hat der Impuls k eine wichtige Rolle gespielt Einführung des reziproken Gitters Definition b a c = 2π a ( b c) = 2π ( V b c) (85) E b = 2π V E ( c a) (86) c = 2π V E ( a b) (87) V E ist das Volumen der Einheitszelle Es gilt: e i e j = 2πδ ij Einführung in die Struktur der Materie 208

22 Reziprokes Gitter Konstruktion eines reziproken Gitters Einführung in die Struktur der Materie 209

23 Reziprokes Gitter Die Brillouin Zone ist die Einheitszelle des reziproken Gitters Einheitszelle des räumlichen Gitters: Wigner Seitz Zelle Einführung in die Struktur der Materie 210

24 Spezifische Wärme Spezifische Wärme von Festkörpern Für Isolatoren und Halbleiter bestimmen Gitterschwingungen die spezifische Wärme. Bei Metallen müssen wir noch den Fall der Elektronen betrachten, die aber, wie wir feststellen werden, keine Rolle spielen. Gitterschwingungen müssen auch quantisiert betrachtet werden (Einstein) Harmonischer Oszillator Quanten der Schwingungen sind Phononen Phononenenergie: ω(k) Impuls: k Phononen gehorchen der Bose-Statistik Einführung in die Struktur der Materie 211

25 Debye Modell Gitterschwingungen Spezifische Wärme Näherungsweise Bestimmung der inneren Energie eines Festkörpers Lineare Näherung der Phononen-Dispersionskurven Nur akustische Schwingungen tragen bei Konstante Schallgeschwindigkeit ω LA TA 0 NaCl π/ a k Einführung in die Struktur der Materie 212

26 Spezifische Wärme Spezifische Wärme Energie eines Schwingungsquants hν = hν(k) Innere Energie U = νmax 0 g(ν) hν e hν/kt 1 dν + U Nullpunkt (88) g(ν) ist die Zustandsdichte Einführung in die Struktur der Materie 213

27 Moden im k-raum Gitterschwingungen Spezifische Wärme Einführung in die Struktur der Materie 214

28 Spezifische Wärme Abzählen der möglichen Moden im k-raum ( ) 1 g(ν) = 4πV + 2 νtrans 3 ν 3 long (89) Abschneidefrequenz ergibt sich durch das Abzählen der Moden 3N = νmax 0 g(ν) dν (90) 3N = Zahl der Gitterbausteine ν max = 4πV ( 1 9N ν 3 long + 2 ν 3 trans ) 1/3 (91) Einführung in die Struktur der Materie 215

29 Spezifische Wärme Zustandsdichte von NaCl einfaches Modell und realistische Modellrechnung Einführung in die Struktur der Materie 216

30 Spezifische Wärme Spezifische Wärme ist damit gegeben als c V = ( U T ) V = 9R ( T Θ D ) 3 ΘD /T 0 x 4 e x (e x dx (92) 1) 2 mit x = hν kt und der Debye Temperatur Θ D = hν max k Einführung in die Struktur der Materie 217

31 Spezifische Wärme Grenzfälle: T Θ D c V = 3R Dulong Petit s Regel T Θ D T 0 c v = 12 5 Rπ4 ( T Θ D ) 3 T 3 Einführung in die Struktur der Materie 218

32 Spezifische Wärme Element Θ D (K) Element Θ D (K) Li 400 Ar 85 Na 150 Ne 63 K 199 Cu 315 Be 1000 Ag 215 Mg 318 Au 170 Ca 230 Zn 234 C (Diamand) 1860 Pb 88 Θ D ist ein Maß für die Härte des Materials Diamand ist sehr hart Pb sehr weich Einführung in die Struktur der Materie 219