Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmar.marti@uni-ulm.de Institut für Experimentelle Physik Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

2 Wärmeleitung Typen der Wärmeleitung Transport von Materie Wärme wird durch Teilchen transportiert, zum Beispiel durch Elektronen oder durch Gasmoleküle. Transport durch Schwingungen Schwingende Atome in einem Festkörper transportieren Energie. Die transportierten Energiequanten heissen Phononen. Transport durch Strahlung Elektromagnetische Wellen, also Licht, transportiert Energie. Ohne diesen Energietransport von der Sonne wäre Leben auf der Erde nicht möglich. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

3 eindimensional Wärmeleitung Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

4 Wärmeleitung Wärmestrom dreidimensional j = λ T z j = λ grad T Wärmeleitfähigkeit [λ] = W K m Wärmestromdichte [j] = W m 2 Wärmestrom P = A j d a Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

5 Wärmeleitung Lineare Wärmeleitung Wärmeleitung durch einen Stab Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

6 Wärmeleitung Wärmeleitung in einem Prisma j(x) = const T y = T z = 0 j x = λ T x Lösung: T (x) = T 1 + (T 2 T 1 ) x l Leistung: P = Aλ T 2 T 1 l dt Kontinuitätsgleichung: dt = Ṫ = 1 ρ c div j Temperaturverteilung: Ṫ = λ ρc div grad T = λ ρc T Temperaturverteilung mit Quellen: Ṫ = 1 ρc ( div j + η) = λ ρc T + η ρc stationäre Temperaturverteilung: T = η λ Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

7 Wärmeleitung Wärmeübergang Wärmeübergang zwischen zwei Körpern Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

8 Wärmeleitung Wärmeübertrag P = αa (T 1 T 2 ) α: eine beliebige Proportionalitätszahl Seien die c i die Wärmekapazitäten und m i die Massen der beiden in Kontakt gebrachten Körper 1 und 2. T 2 = const, mit der Wärmekapazität c 2 = P = m 1 c 1 Ṫ 1 Ṫ 1 = αa m 1 c 1 (T 1 T 2 ) Die Temperatur des Körpers 1: T 1 T 2 = (T 10 T 2 ) e t τ mit τ = c 1m1 αa. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

9 Wärmeleitung Wärmeleitung in einem Gas Anzahl Moleküle, die auf eine Fläche treen. 1 bezeichnet den Ort des letzten Zusammenstosses vor dem Eintreen auf der Fläche da. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

10 Wärmeleitung Integration Anzahl Atome auf einer Kugeläche Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

11 Wärmeleitung Wärmeleitung in Gasen Anzahl Atome auf einer Kugeläche N = 2πr sin ϑ r dϑ 4πr 2 = 1 sin ϑdϑ 2 Dabei ist 2π r sin ϑ der Umfang beim Winkel ϑ. Der Fluss durch die Fläche da in der Zeit dt ist v cos ϑdt wobei ϑ der Einfallswinkel der Teilchen zum Lot ist. Mit Teilchendichte n wird der Fluss durch die Fläche A A n v cos ϑ 1 sin ϑdϑ 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

12 Wärmeleitung Wärmeleitung in Gasen Die freie Flugstrecke ist dann proportional zur mittleren freien Weglänge l. Wir setzen T (x 0 ) = T 0. An der Stelle des letzten Zusammenstosses 1 berechnen wir die Temperatur über das erste Glied der Taylor-Reihe T 0 dt dx x0 Die transportierte kinetische Energie ist ( 3 2 k T 0 dt dx Insgesamt wird also transportiert. l cos ϑ x0 de = 1 2 A n v cos ϑ sin ϑdϑ 3 2 k ( l cos ϑ ) T 0 dt dx x0 l cos ϑ Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25 ) dt

13 Wärmeleitung Wärmeleitung in Gasen Daraus können wir die Leistung des Wärmetransportes berechnen, indem wir über die Halbkugel integrieren P = de dt = 1 2 A n v 3 2 k T 0 π/2 Die beiden Teilintegrale ergeben 0 sin ϑ cos ϑdϑ dt dx π/2 0 π/2 sin ϑ cos ϑdϑ = 1 2 sin ϑ cos 2 ϑdϑ = 1 3 x0 l π/2 0 sin ϑ cos 2 ϑdϑ Othmar Marti (Universität Ulm) 0Schwingungen und Wärmelehre / 25

14 Wärmeleitung Wärmeleitung in Gasen P l r = 3 4 n v k A ( 1 2 T und in der umgekehrten Richtung P r l = 3 4 n v k A ( 1 2 T In der Summe ist die Wärmeleistung dq dt = P l r P r l = 1 2 Die Wärmeleitfähigkeit wird damit λ = 1 n v kl 2 dt dx dt dx x0 x0 l l n v k Al dt dx ) ) x0 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

15 Wärmeleitung Wärmeleitung in Gasen die mittlere freie Weglänge und l = 1 πd 2 n 2 ( 8kt v = πm die mittlere Geschwindigkeit aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Damit bekommen wir ) 1 2 λ = 1 ( ) 1 8kT 2 2 nk 1 πm πd 2 n 2 = T unabhängig von n und proportional zu. m k ( kt πd 2 πm ) 1 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

16 Perpetuum Mobile Reusenmaschine Reusenmaschine (analog zur Fischreuse) Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

17 Perpetuum Mobile Reusenmaschine Reusenmaschine mit Dämpfung Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

18 Perpetuum Mobile Ratschenmaschine Ratschenmaschine nach Feynman Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

19 Perpetuum Mobile Wechselstrom-Elektromotor Perpetuum Mobile mit Wechselstrom-Elektromotor Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

20 Perpetuum Mobile Ideale Diode Perpetuum Mobile zweiter Art mit idealer Diode. Rechts ist die Kennlinie einer idealen Diode. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

21 Entropie Statistische Deutung Nach dem Önen verteilen sich die Moleküle auf beiden Kästen. Der Umkehrprozess ist nicht beobachtbar. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

22 Entropie Mikrozustände Mikrozustand links rechts 1 1, 2, 3-2 1, , , , , , 3 8-1, 2, 3 Tabelle: Aufzählung der 8 möglichen Zustandskombinationen (Mikrozustände) von 3 Teilchen verteilt auf zwei Kompartimente. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

23 Entropie Makrozustände links rechts 1 2,3 2 1,3 3 2,3 Tabelle: Drei Mikrozustände, die einen Makrozustand bilden Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

24 Entropie Makrozustände Anzahl Teilchen Zustand links Zustand rechts Gewicht usw. Tabelle: Binominalverteilung, 2 Kompartimente und 2-4 Teilchen Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

25 Entropie Statistische Gewichte Makrozustand Anzahl Mikrozustände statistisches Gewicht Summe 8 Tabelle: Makrozustände bei drei Teilchen und zwei Zuständen Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25

26 Entropie 0.3 Statistisches Gewicht e 010 Statistisches Gewicht (links) 50 (links) 150 (links) 10 (rechts) 50 (rechts) 150 (rechts) 1e 020 1e 030 1e e e m/n Statistisches Gewicht, oder Wahrscheinlichkeit, für Makrozustände mit m = 0 bis m = 10, 50, 150 und N = 10, 50, 150, links lineare Skala und rechts logarithmische Skala. Die extremen Zustände haben Wahrscheinlichkeiten von < Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 25