Maxwell-Boltzmann Verteilung. Mykola Zotko Frankfurt am Main

Transkript

1 Maxwell-Boltzmann Verteilung

2 James Clerk Maxwell Ludwig Boltzmann Maxwell-Boltzmann Verteilung 1860

3 Geschwindigkeitsverteilung - eine Verteilungsfunktion, die angibt, mit welcher relativen Häufigkeit eine bestimmte Geschwindigkeit im System zu finden ist Maxwell-Boltzmann Verteilung - Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases

4 N Molekülanzahl (Häufigkeit) V Geschwindigkeit

5 Geschwindigkeit Vektor Vektorbetrag Gesamtgeschwindigkeit Bruchteil der Moleküle, die eine Geschwindigkeit zwischen v x und v x + d v x aufweisen

6 Verteilungsfunktion der Geschwindigkeitskomponente v x Fläche gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit zwischen v x und v x + d v x zu finden Die gesamte Fläche/Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1 Eindimensionale Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen

7 Im dreidimensionalen Fall: Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten In Gasen sind die Flugrichtungen der Teilchen regellos verteilt, so dass dreidimensionale Verteilung nur vom Geschwindigkeitsbetrag abhängt

8 Die Gleichung kann erfüllt werden, wenn für die eindimensionalen Geschwindigkeitsverteilungen jeweils gilt wo a und b ermittelt werden müssen Die Fläche unter der Kurve von f(v x ) ist auf 1 normiert

9 Präexpotentiellen Faktor a Die Unbekannte b ist über eine Betrachtung des Gasdruckes p erhältlich (Seitenfläche) Mittlere quadratische Geschwindigkeit (Kantenlänge) Zeitintervall

10 Würfelvolumen In der Zeit τ treffen insgesamt 1/6 N Teilchen im Würfel auf die Fläche A und werden dort elastisch reflektiert Jedes Gasteilchen der Masse m erteilt der Wand den Impuls, denn sein Impuls ändert sich von nach Gesamtimpuls aufgenommen von der Wand

11 Die Ableitung des Impulses nach der Zeit τ ist die Kraft F, die auf die Fläche A wirkt Grundgleichung der kine schen Gastheorie Die Geschwindigkeitsverteilungen in x-, y- und z- Richtungen gleich sind =

12 Wenn p = Nk B T/V und = 3/(2b), dann Die eindimensionale Verteilungsfunktion der Teilchengeschwindigkeiten Die dreidimensionale Verteilungsfunktion der Teilchengeschwindigkeiten

13 Das Produkt dv x dv y dv z das sich auf kartetischen Koordinaten bezieht, kann als Volumenelement des Geschwindigkeitsraums aufgefasst werden, das in Kugelkoordinaten dem Produkt aus Kugeloberfläche 4πv 2 und Kugeloberfläche dv entspricht oder P( v) 4 ( M 2 RT ) 3/ 2 v 2 e Mv 2 / 2RT

14 Die Geschwindigkeitsverteilung für hohe Temperaturen und kleine Molare Massen breiter wird

15 Aus der Maxwell-Boltzmann Verteilung ergeben sich drei charakteristische Teilchengeschwindigkeiten: die mittlere quadratische Geschwindigkeit die mittlere quadratische Geschwindigkeit die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, bei der F(v) maximal ist

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17 Schallwellen sind Druckwellen und bewegen sich dadurch fort, daß die Gasmoleküle Gebiete hohen und niedrigen Druckes bilden. Daher sollte man erwarten, das die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen ähnlich der mittleren Geschwindigkeit der Gasmoleküle.

18 Schematische Darstellung einer Apparatur zur Messung von Gasteilchengeschwindigkeiten

19 Apparatur zur Messung von Gasteilchengeschwindigkeiten

20 Eine Folge der Maxwell schen Geschwindigkeitsverteilung ist die Diffusion und die Osmose Brown sche Molekularbewegung bei der thermischen Molekülbewegung wandern die Teilchen in Gasen und Flüssigkeiten, bei hohen Temperaturen auch in Festkörpern Daher durchmischen sich verschiedenartige Substanzen, sie diffundieren ineinander, wodurch z.b. Dichteunterschiede ausgeglichen werden

21 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit