V 1. pdv mit p = = p 0 V 0 ln p 1. m = C H2 O T ln p 1. = P a 150m J 8K ln P a

Transkript

1 2 Lösungen Lösung zu 46. Nutze den 1. Hauptsatz du = Q + W = Q pdv. Bei einem isothermen Prozess ändert sich die innere Energie nicht: du = 0, was wir schon in mehreren Aufgaben zuvor benutzt haben. Also folgt Q = = V 1 V 0 pdv mit p = V 1 V 0 p 0 V 0 V dv p 0 V 0 V = p 0 V 0 ln V 0 V 1 = p 0 V 0 ln p 1 p 0 Dies muss nach Aufgabenstellung gleich der vom Wasser aufgenommenen Wärmemenge Q H2 O = mc H2 O T sein. Q H2 O = mc H2 O T = p 0 V 0 ln p 1 p 0 p 0 V 0 m = C H2 O T ln p 1 p 0 = P a 150m J 8K ln P a P a g K = 1053kg Lösung zu 47. Die Beziehungen zwischen R, c p und c V müssen allen klar sein! Diese Aufgabe ist dann nur Wiederholung und Verinnerlichung. Benutze nun 1k 2 BT pro Freiheitsgrad f, c V = f R,c 2 p = ( 1 + 1f) R und κ = c p 2 c V = Dann ergibt sich f folgende Tabelle: Gas f Lit. c p Lit. c V Lit. κ c p c V κ He H CO Lösung zu 48. Die mittlere freie Weglänge ist l = 1 2nσ. Die Teilchenzahldichte n ist für ideale Gase proportional zum Druck über n = p k B. Also gilt: T l = k BT 2σp

2 Der Molekülradius sei 0.2nm. Also ist der Stossquerschnitt σ = πr 2 = m 2. Zunächst rechne ich das mal aus für Normaldruck 1013hP a. l = k B 300K m hP a = m = 229nm Jetzt fordern wir, dass nur mit den Wänden gestoßen wird: l 0.5m. p k B 300K m 2 0.5m = 0.046P a = hp a = mbar Um diesem Druck zu erreichen, reichen einfache Drehschieberpumpen nicht mehr aus. Vielmehr muss eine Kombination zwischen einer Vorpumpe und einer Diffusions- oder Turbomolekularpumpe benutzt werden. Hiermit lassen sich dann Drücke bis hp a erzielen. Solche Vakuumpumpsysteme sind von immenser Bedeutung nicht nur für die Grundlagenforschung. Zum Beispiel wird jede Beschichtung eines Brillenglases hergestellt unter einem Vakuum von ca hp a. Lösung zu 49. Die Stosswahrscheinlichkeit P auf der Strecke d ist gleich dem Flächenbruchteil, den die Moleküle ausfüllen, also P = A Molekuel A Gesamt = πr2. Dann ist der Kehrwert davon die Anzahl der Strecken d, die in eine freie Weglänge passen. Also d 2 ist die mittlere freie Weglänge l = d d2. Die Teilchenzahldichte n ist aber gerade proportional zu 1. Daraus ergibt sich dann der Ausdruck l = 1 = 1. d 3 n πr 2 nσ πr 2 Hierbei ist jetzt noch nicht berücksichtigt worden, dass ja alle möglichen Stosspartner in Bewegung sind. Herr Marti hat Ihnen in der Vorlesung hergeleitet (siehe Skript), wie man auf den zusätzlichen Faktor von 1 2 kommt, so dass insgesamt gilt l = 1 2nσ. Lösung zu 50. Zunächst wird die Höhe von der Erde bestimmt. 1 2 mv2 z > G M E m R + h 2G ME v z > R + h mit M E = kg und R = 6371km und G als Gravitationskonstante. Also fehlt noch die Höhe h zur Bestimmung der Fluchtgeschwindigkeit. Diese ist bekanntlich ca. 11km/s, was man aus der Bedingung ungestoßen ins all ableiten kann. 3

3 4 Die weitere Lösung gibt es hier als Kopie aus Gerthsen Physik, 18. Auflage.

4 Wie wahrscheinlich es ist, ein Teilchen mit entsprechender Geschwindigkeit vorliegen zu haben, haben Sie für He schon einmal gerechnet! Das ist jedoch so unwahrscheinlich, dass mein Computerprogramm nur P = 0 herausbekommt. Lösung zu 51. 1mol Luft hat eine Masse von ca. 29g. Daraus ergibt sich eine Gesamtmasse des hüpfenden Systems von m ges = 109g. Um den Behälter mit der Luft 5cm springen zu lassen, muss an der Erdoberfläche die Energie E = mgh = 0.109kg 9.81 m s m = 0.053J aufgebracht werden. Die thermische Energie ist des Gases ist: E Gas = 5 2 RT = J mol K 293K = J Die thermische Energie ist des Behälters ist: E Beh. = m c T = 0.08kg 2 kj kg K 293K = J Daraus folgt die Gesamtenergie von J. Die thermische Energie ist also viel höher als die erforderliche Energie für den Sprung! Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Statistik. Für den Sprung muss weiterhin eine entsprechende Geschwindigkeit in z-richtung vorhanden sein. 5 m ges g h = 1 2 m Gas v0 2 z 2mges gh v 0z = m Gas = = 1.92 m s Im Mittel ist im thermischen Gleichgewicht natürlich < v z >= 0. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül v z > v z0 = 1.92m/s ist, ergibt sich aus: P (v z > v z0 ) = v 0 v 2 exp v2 z m dv 2k B T z v2 exp v2 zm dv 2k B T z Substitution: x 2 = mv2 z sich: 2k B T und daraus v2 = 2k BT m x2. Und mit x(v 0 ) 1 ergibt P = x0 x 2 e x2 dx + x 2 e x2 dx 0 0 x2 e x2 dx = x0 0 x 2 e x2 dx π 1 2 π

5 6 Die Taylorreihe von e x2 ist e x2 = ( 1) k k=0 x2k k! 1 x 2 + x4 2 Daraus folgt für P P = x0 x 2 (1 x 2 )dx π π = 1 3 x x π π mit x 0 = v z m 2k B T = 1.92m/s s/m = ergibt sich: P = (0.0047)3 0.2 (0.0047) π π π π = Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Moleküle gleichzeitig eine Komponente v z > v 0 sehr klein P Ges = Zum Schluss dieser Aufgabe nun noch eine Anmerkung aus Ch. Kittel, H. Krömer Physik der Wärme Oldenburg 1989, S 66/67 Die Bedeutung von niemals. Es ist behauptet worden, dass sechs Affen, die man dazu gebracht hat, ohne jede Einsicht auf Schreibmaschinen für Millionen und Abermillionen von Jahren herumzuklappern, zwangsläufig im Laufe der Zeit alle Bücher im Britischen Museum schrieben. Diese Feststellung ist ein irreführender Unsinn, da sie einen falschen Schluss aus sehr sehr großen Zahlen zieht. Hätten alle Affen der Welt ein einziges bestimmtes Buch innerhalb des Alters des Universums niederschreiben können? Nehmen Sie an, dass im Laufe des Alters des Universums (10 18 s) Affen an Schreibmaschinen gesetzt wurden. Diese Anzahl von Affen ist etwa größer als die gegenwärtige menschliche Bervölkerung der Erde. Ein Affe soll in der Lage sein, 10 Schreibmaschinentasten pro Sekunde anzuschlagen. Eine Schreibmaschine soll 44 Tasten haben; wir nehmen kleine Buchstaben anstatt großer an.

6 Werden die Affen zufällig auf Shakespeares Hamlet stoßen, wenn man annimmt, dass Hamlet aus 10 5 Buchstaben besteht? (a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der irgendeine gegebene Folge von 10 5 Buchstaben, die zufällig auf der Schreibmaschine angeschlagen werden, in der richtigen Reihenfolge (der Reihenfolge von Hamlet) auftritt ( ) = ist, wobei wir log = benutzt haben. (b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Affen-Hamlet innerhalb des Alters des Universums auf der Schreibmaschine geschrieben wird, näherungsweise ist. Die Wahrscheinlichkeit für Hamlet ist deshalb innerhalb jeglicher sinnvollen Vorstellung von einem Ereignis gleich Null, so dass die ursprüngliche Feststellung am Anfang der Aufgabe Unsinn ist: ein Buch, viel weniger eine Bibliothek, wird niemals in der gesamten literarischen Produktion der Affen vorkommen. Lösung zu 52. 1kg Luft wird isobar von 20 C auf 200 C erwärmt. 7 Q = mc p (T 2 T 1 ) = 1kg kj kg K = kJ (200 20)K Zwischenrechnung: m Luft mol 29g/mol. Also enthält 1kg Luft 34.48mol. W = p(v 2 V 1 ) = nr(t 2 T 1 ) = J 34.68mol mol K = 51.6kJ (200 20)K du = Q + W = kJ Also ergeben sich die Verhältnisse zu: Q : W : U = 1.4 : 0.4 : 1