Übungsblatt 1 ( )

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1 Experimentalphysik für Naturwissenschaftler Universität Erlangen Nürnberg SS 11 Übungsblatt 1 ( ) 1) Wasserstrahl Der aus einem Wasserhahn senkrecht nach unten ausfließende Wasserstrahl verjüngt sich nach unten. (a) Begründen Sie zunächst qualitativ, warum sich der Strahldurchmesser ändert. Hinweis: Beachten Sie, dass Wasser eine weitgehend inkompressible Flüssigkeit ist, die aufgrund der Oberflächenspannung bei laminarem Fluss auch versucht, ein zusammenhängendes Volumen ohne ufteinschluss auszufüllen. Der Massendurchfluss I A v durch eine Fläche A bleibt erhalten (Kontinuitätsgleichung). Es gilt: I A v const. A v 1 Da sich die Geschwindigkeit des Wassers durch den freien Fall erhöht, verjüngt sich der Strahl nach unten. (b) Mit welcher Geschwindigkeit tritt der Wasserstrahl aus einem Wasserhahn mit Durchmesser d 17mm aus, wenn die Wasserstromstärke I Wasser 4l/min beträgt? r 8, m; A r π m ; I 4l/min 1/ m 3 /s I V t x t A v A v I A, 9m/s (c) Berechnen Sie den Strahldurchmesser d S als Funktion der Entfernung h von der Mündung des Wasserhahns. Wie groß ist d S beim Auftreffen auf dem Waschbeckenboden (h 4cm)? 1

2 I v 1 A 1 v A A A 1v 1 v A 1v 1 v 1 + gt h v 1 t + 1 gt 1 gt + v 1 t h t v 1 ± v 1 +gh g v v 1 + gt ± v 1 +gh v v 1 +gh A A 1 v 1 v 1 +gh 3, m π ds d S 5, 4mm ) Crashtest mit einem Zug Nehmen Sie an, es soll ein Crashtest mit einem Zug durchgeführt werden. Dabei tritt eine Verzögerung a auf. Der Zug habe eine änge und sei ausschließlich mit uft gefüllt. Nehmen Sie weiterhin an, dass die Hülle des Zuges bei dem Crash nicht deformiert wird, sodass die Verzögerung in allen Zugteilen gleichgroß ist und keine uft entweicht oder einströmt. (a) Geben Sie die Druckverteilung p(x, a, ρ,p,p()) innerhalb des Zuges während des Crashes an. p und ρ seien die Dichte und der Druck innerhalb des Zuges vor dem Crash. Hinweis: Nehmen Sie p(z) const. sowie T const. an. Hierbei gilt die barometrische Höhenformel, da die Temperatur konstant bleibt. Weiterhin gilt ρ p p ρ. Für die Druckverteilung ergibt sich schließlich: p(x) p() exp ρ() p() ax p() exp ρ ax p ρ() p(), da (b) Bestimmen Sie p(m) und p(1m) für einen 1m langen Zug bei einer Verzögerung von a 1 g. Druck und Dichte vor dem Crash unterliegen Standardbedingungen und sind ρ 1,3 kg/m 3 und p 11,3 kpa. Hinweis: Berücksichtigen Sie, dass die Gesamtmasse der uft innerhalb des Zuges vor und während des Crashes erhalten bleibt. (1) Da die Gesamtmasse erhalten bleibt (sofern der Zug nicht auseinander fliegt), ergibt sich: M vor ρ V ρ A dv ρ(x) A dx ρ(x) M waehrend ρ ρ ρ(x) p p(x) ρ() p() dx ρ(x) () ρ(x) ρ() p(x) (3) p()

3 (1) und (3) in () eingesetzt ergibt: ρ() ρ (3) exp ρ() p() ax ρ() (1) p(x) dx ρ() p() p() x x Für den Druck p() ergibt sich: ρ() p() a p() 1 p() exp ρ() p() ax p() a 1 exp ρ() ρ() p() a ρ a 1 exp ρ 17, 8 kpa a p Den Druck p(1m) erhält man durch einsetzen von p() und x 1m in (1) : p(1m) p() exp ρ a 1m 95, kpa p exp ρ() p() ax (3) p() a (c) An welchem Ort k des Zuges bleibt der Druck vor und während des Crashes konstant? Hinweis: Falls Sie für p() in (b) keine haben, nehmen Sie p() 11 kpa an. 1 exp ρ a p Damit der Druck vor und während des Crashes konstant bleibt, muss p p(k) gelten: p p(k) p() exp ρ p p p() exp ρ p p() ln ρ p p k p p() ρ a ln 49, 4 m Ersatzloesung : k 65, 4 m p 3) Crashtest mit einem Güterzug Nun soll ein Crashtest mit einem mit Wasser gefüllten Container gemacht werden. (a) Welchen qualitativen Unterschied gibt es für die Druckverteilung bei einem mit uft bzw. Wasser gefüllten Container und worauf ist dieser zurückzuführen? 3

4 uft: exponentieller Abfall des Drucks mit der Höhe, da uft kompressibel und somit ρ p Wasser: linearer Anstieg des Drucks mit der Tiefe, da Wasser inkompressibel und somit ρ const. (b) Geben Sie die Druckverteilung p(x, z) innerhalb des Containers mit den Ausmaßen 1m (x-richtung), B,5m (y-richtung) und H,5 m (z-richtung) vor und während des Crashes bei einer Verzögerung a,5 g an. p Crash z (z) p Vor z (z) ρgz; p Crash x (x) ρax; p Vor x (x) p Crash ges (x, z) p Crash x (x)+p Crash z (z) ρgz + ρax ρg(z +, 5x) p Vor ges (x, z) p Vor x (x)+p Vor z (z) ρgz (c) Welche Kraft wirkt vor und während des Crashes auf die Stirnseite des Containers? ösen Sie durch Integration. Hinweis: Die Dichte von Wasser beträgt ρ Wasser 1 3 kg/m 3. F Crash, 5m ρg F Vor,5m z,5m,5m dy z,5m z,5m dy dz p Crash ges (x 1m, z), 5m ρg +[, 5 1m z] z,5m z 445kN dz p Vor ges (z), 5m ρg 77kN, 5m ρg (entspricht 45 Tonnen),5m (entspricht 8 Tonnen),5m (, 5m) zdz, 5m ρg (z +, 5 1m) dz +, 5 1m, 5m z z,5m z 4) Heliumballon In einem Ballon befinden sich n,5 mol Heliumatome. Für alle Rechnungen soll vereinfachend angenommen werden, dass die Spannung des Gummis des Ballons keinen Beitrag zum Druck im Inneren des Ballons leistet. (a) Wie groß ist die Gesamtmasse der Heliumatome im Ballon? molare Masse M von Helium ist 4g/mol. m M n 1g 4

5 (b) Bestimmen Sie das Volumen des Ballons bei o C auf Meereshöhe (p N/m ). Wie groß ist die mittlere kinetische Energie und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit eines Heliumatoms? Wie groß ist die Rotationsenergie der Atome? p N/m ; T 73, 16K; R 8, 31J/(mol K); k B 1, J/K V nrt p 1 5, 7l m a M/N a E kin 3 k BT 5, J 4 g mol 6, 1 3 mol 1 6, g 6, kg v E kin 1, m m a s E kin v 1311 m m a s Heliumatome haben keine Rotationsenergie, weil sie keine Moleküle bilden (Edelgas) und daher keine Rotationsachse haben. (c) Der Ballon ist nun auf 1 km Höhe aufgestiegen. Der Druck beträgt dort p, N/m und die Temperatur 3 o C. Welches Volumen hat der Ballon jetzt? p, N/m ; T 43, 16K; n, 5mol; R 8, 31J/(mol K) V nrt, l p (d) Bestimmen Sie den Druck auf 1 km Höhe mittels barometrischer Höhenformel. Wieso weicht das Ergebnis von dem tatsächlichen Druck p ab? Die Dichte von uft auf Meereshöhe ist ρ uft 1,93 kg/m 3. p(h) p() exp ρ gh 1 5 Nm p exp 1, 93kg/m3 9, 81m/s 1 4 m, N 1 5 N/m m Bei der barometrischen Höhenformel wird von konstanter Temperatur ausgegangen. 5