Lösungen Aufgabenblatt 10

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Nicole Baum
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1 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungen Aufgabenblatt 1 Übungen E1 Mechanik WS 217/218 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisfragen i.) Gemäß dem Archimedischen Prinzip ist die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten (vdr) Mediums. Im Gleichgewicht gilt daher: m Eis g m vdr g ρ Eis V Eis ρ W asser V vdr V vdr V Eis ρ Eis.917 ρ W asser (1) Um die Einsinktiefe zu berechnen, bedienen wir uns der Formel für ein Kugelsegment V seg πh 2 (r h 3 ). Die Höhe der Kugel, welche aus dem Wasser herausragt, kann aus V vdr V Eis V Kugel V seg V Kugel 1 h2 (3r h) 4r berechnet werden. Es folgt h.354 r. Somit ist die Einsinktiefe gerade d 2r h 1.646r. Bei Sprudel würde das Eis etwas weniger tief eintauchen, da die Blasen für zusätzlichen Auftrieb sorgen. ii.) Der hydrostatische Druck ist proportional zur Tiefe des Loches in Bezug zur Wasseroberfläche. Die Ausflussgeschwindigkeit des Wassers nimmt deshalb mit größerer Tiefe zu. Die erreichte Weite des Strahls hängt aber von der Geschwindigkeit und der Höhe über dem Boden ab. Für gleiche Ausflussgeschwindigkeiten nimmt die Weite mit der Höhe über dem Boden zu. Daher kommt das Wasser aus dem mittleren Loch am weitesten. iii.) Die Seife verringert die Oberflächenspannung des Wassers. Damit breitet sich das Wasser weiter auf der Oberfläche aus und der Kontaktwinkel wird kleiner. iv.) Da Öl hydrophob ist, wird die Kontaktfläche mit dem Wasser minimiert. Der Kontaktwinkel vergrößert sich also im Vergleich zu iii.). Aufgabe 1 (Hydrostatischer Druck) a) Der hydrostatische Druck im Gehirn der Giraffe ist: p G p H ρgh 34 Pa kg/m 3 9,8 m/s 2 1,8 m 34 Pa Pa Pa (2) 1

2 b) Der hydrostatische Druck in den Füßen der Giraffe ist p F p H + ρgh 34 Pa kg/m 3 9,8 m/s 2 2 m 34 Pa Pa Pa (3) c) Der Blutdruck würde sich um p p F p G Pa Pa Pa (4) erhöhen. Es bleibt zu bemerken, dass der reale Druckanstieg tiefer ist und wohl kaum tödlich wäre. Die Giraffe muss aber diese Stellung beim Trinken einnehmen, da sie sonst das Wasser gar nicht erreichen kann. Die Beine sind 2 cm länger als der Hals. Dies wäre hingegen sehr wohl tödlich. Aufgabe 2 (Balkenbiegung) a) Aus dem Diagramm lässt sich für das Biegemoment (äußeres Drehmoment) folgendes ableiten (P ist als Kraft eingetragen): M a (x) P x (5) (Bemerkung: zur Wahl des Vorzeichens ist zu bedenken, dass x und P als Vektoren aufgefasst werden können.) Dieses muss durch das innere, durch die Biegung erzeugte, Drehmoment im Material M i, welches durch EI d2 y M dx 2 i (x) gegeben ist, kompensiert werden. Es muss also M a + M i gelten. Daraus folgt: EI d2 y P x (6) dx2 Zum Lösen der Differentialgleichung, werden beide Seiten erst zweimal nach x integriert. Dies führt zu: EI dy P x2 + C 1 (7) dx 2 EIy P x3 6 + C 1 x + C 2 (8) Die Randbedingungen sind dy dx bei x L und v bei x L. Werden diese auf die Gleichung eq. 7 & eq. 8 angewandt, kommt man auf die Gleichungen: P L2 2 + C 1 (9) 2

3 P L3 6 + C 1 L + C 2 (1) Daraus folgt C 1 P L2 2 und C 2 Einsetzen in eq. 7 & eq. 8 liefert: P L3 3. θ dy dx y P 2EI (L2 x 2 ) (11) P 6EI (3L2 x 2L 3 x 3 ) (12) Die maximale Auslenkung bekommt man für den Fall A(x ). daraus folgt: θ A P L2 2EI (13) b) Geometrie a) y A P L3 3EI Der Flächenträgheitsmoment für ein Rechteck bezüglich der gegebenen Achse (hier x-achse) gilt I 1 12 bh3. Mittels des Satz von Steiner bekommt man für die Rechtecke A,D: I x Ī x + Ad 2 y (14) 1 12 (1)(3)3 + (1)(3)(2) 2 mm 4 (15) 1, m 4 und für das Rechteck B, I x 1 12 (6)(1)3 mm 4,5 1 3 m 4 (16) Kombiniert man die vorherigen Ergebnisse, kommt man auf ein gesamt Flächenträgheitsmonent bezüglich der x-achse von: I x 2 1, m 4 +,5 1 3 m 4 2,9 1 3 m 4 (17) Geometrie b) Gemäß der Zeichnung wird ein Differenzialelement parallel zur x-achse gewählt. Dieses hat die infinitesimale Dicke dy, damit ist das Flächenelement da (1 x) dy. Die Integration über y, von y, bis 2mm liefert, 3

4 I x y 2 da A 2mm 2mm [ 1y 3 3 2mm y 2 (1 y2 4 ) dy (1y 2 y4 4 ) dy y m 4 ] 2mm y 2 (1 x) dy (18) c) Bei einem Biegemodul von E 2 GPa und einer Kraft von P 1 N erhält man durch Einsetzten in die Gleichungen, die in a) für die maximale Ablenkung hergeleitet wurden: Für die Geometrie a) Nm 3 y A Pa m 4 (19) und Für die Geometrie b) und 5, m θ A Nm Pa m 4 8, rad Nm 3 y A Pa m 4 1, m θ A Nm Pa m 4 2, rad (2) (21) (22) Aufgabe 3 (Archimedes Prinzip) a) Die Auftriebskraft F A und die Gewichtskraft F G sind hier im Gleichgewicht, so dass gilt: F A F G (23) Also ρ MW V g m E g (24) 4

5 wobei V das Volumen des verdrängten Meerwassers bezeichnet und m E die Masse des Eisbergs. Also kann nach L aufgelöst werden: ρ MW Lb(d h)g ρ E Lbdg (25) d b) Der Schweredruck p s ist gegeben durch ρ MW h ρ MW ρ E 612 m (26) p S ρ SW g(h s) 5,4 1 5 Pa (27) Es gilt die Bernoulli-Gleichung sowie die Annahme, dass der statische Druck innen und außen annähernd gleich sind: c) Der Massenstrom I SW ist gegeben durch: p ρ SW v 2 SW + ρgs p + ρ SW gh (28) 1 2 ρ SW vsw 2 ρ SW g(h s) p S (29) 2ps v SW ρsw 2g(h s) 32,8 m s 1 (3) I SW ρ SW v SW q 3,3 1 6 kg s 1 (31) d) Die Rückstoßkraft ist natürlich bestimmt durch die Impulsänderung: e) Man verwendet hier das Ergebnis aus d): Aufgabe 4 (Oberflächenspannung) F R dp dt d dt (mv SW ) v SW I SW 1,9 1 8 N (32) v E at F R m t v SW I SW t lbdρ E 1, m s 1 (33) a) dv 1 4πR 2 dr (34) dv 2 dv 1 (35) da 8πR dr (36) dw 4πR 2 dr (P 1 P 2 ) + 8πγR dr (37) 5

6 b) dw impliziert, 4πR 2 dr (P 1 P 2 ) + 8πγR dr (38) Daraus folgt, P 1 P 2 8πγR dr 4πR 2 dr (39) P P 1 P 2 2γ R (4) c) Atmosphärendruck P 2 ist P N m m 36 N m 2 36 Pa (41) P Pa (42) Daraus folgt, P 1 P + P Pa (43) 6

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