Ergänzungsübungen zur Physik für Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker(SoSe 14)

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1 Ergänzungsübungen zur Physik für Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker(SoSe 14) Prof. W. Meyer Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28) Ergänzung E Flüssigkeiten In der Hydrostatik wird das Verhalten von ruhenden Flüssigkeiten beschrieben. Zunächst vereinfachen wir die Problematik wie in den anderen Teilgebieten auch. Dazu betrachten wir erst eine ideale Flüssigkeit und heben nach und nach einige Beschränkungen wieder auf. Eine ideale Flüssigkeit zeichnet sich u.a. durch folgende Eigenschaften aus: konstante Dichte Inkompressibilität keine Oberflächenspannung keine Wärmeleitfähigkeit Druck / Schweredruck Der Druck ist eine Größe, welche die ausgeübte Kraft in Bezug zu der Angriffsfläche setzt. p = F A [p] = N m 2 = Pa F A p Übt man z.b. mit einem Stempel der Fläche A auf eine Flüssigkeit die Kraft F auf, so erzeugt man einen Druck p, welcher sich allseitig ausbreitet und in der gesamten Flüssigkeit gleich groß ist. hydrostatischer Druck Ein Beispiel dafür wäre die Luft, welche auf die Meeresoberfläche eine Kraft ausübt (die Gewichtskraft der Luft, m Atmosphäre t). Auf Meereshöhe entspricht dies einen Druck von ca Pa (oder 1 bar) 1 und dieser Druck ist im gesamten Meer vorhanden. Allerdings kennen wir das Phänomen beim Tauchen, dass der Druck mit der Tiefe zunimmt und nicht konstant bleibt! Genau wie die Luft hat auch Wasser ein Eigengewicht und je tiefer man taucht, desto mehr Wasser lastet auf einem; somit ist auch der Druck größer. Dies bezeichnet man als Schweredruck. Wir stellen uns zunächst einen Wasserzylinder vor; die Form jedoch ist letztendlich egal. Um den Gesamtdruck p in einer bestimmten Tiefe h zu erhalten schaut man sich die Kräftebilanz an. Sollte die Flüssigkeit ein Eigengewicht haben, so muss die Differenz der oberen und der unteren Kraft auf den Zylinder gleich der Gewichtskraft der Wassersäule sein. F F 0 = F G 1 Gewichtskraft der Erdatmosphäre auf die Erdoberfläche p = F A = mg 4πR Pa = 10t pro m 2 1

2 Die Gewichtskraft kennen wir aus früheren Vorlesungen; wir müssen nur die Masse durch die Dichte und das Volumen ersetzen. F G = m g = ρ V g = ρ A h }{{} V g F 0 A Die Kräfte ersetzen wir nun durch die jeweiligen Drücke F = p A. p A p 0 A = ρ A h g h Fläche kürzen und umstellen nach p, Gesamtdruck p = p 0 + ρ g h F p 0 ist ein Anfangsdruck (z.b. der Luftdruck) und ρgh der Schweredruck. Zu bemerken ist, dass der Druck unabhängig von der tatsächlich belasteten Fläche ist. Auch hängt dieser Druck nicht von der absoluten Flüssigkeitmenge ab. In einem Pool auf 3 m ist der Druck genau so groß wie in der Ostsee auf 3 m. Der Druck hängt nur von der Höhe der Wassersäule ab. In der Abbildung erkennt man, dass der Schweredruck linear mit der Tiefe zunimmt. Ein eventueller Anfangsdruck, z.b. der Luftdruck, addiert sich einfach auf. p 0 p Achtung! Diese lineare Beziehung gilt streng genommen nur für eine inkompressible Flüssigkeit mit konstanter Dichte. Änderungen in diesen Eigenschaften entlang der Tiefe/Höhe führen zu einer Abweichung vom linearen Verhalten. (z.b. der Luftdruck barometrische Höhenformel) h Mit dem Wissen um den Schweredruck lassen sich bereits viele Phänomene der Hydrostatik beschreiben und erklären. Beliebte Beispiele sind u.a. Messungen von Gasdrücken in geschlossenen Behältern oder die Dichtebestimmung einer unbekannten Flüssigkeit. Dabei ist die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben fast immer dieselbe. Stellen wir uns dazu ein U-Rohr oder einen gebogenen Schlauch vor und füllen diesen mit einer Flüssigkeit, so werden wir feststellen, dass die Flüssigkeitsoberfläche in den verschiedenen Armen genau auf gleicher Höhe sind. kommunizierende Röhren p 0 p 0 Dies lässt sich auch mit Hilfe der Formel für den Gesamtdruck zeigen. Zunächst unterteilt man das Problem an einer geeigneten Stelle in zwei Teile. Für die geeignete Stelle werdet ihr schnell ein Gefühl bekommen. Bei dem U-Rohr ist es der untere Scheitel, denn nun müssen wir nur ein Gleichgewichtsproblem lösen. Im Scheitel treffen die linke und die rechte Flüssigkeitssäule aufeinander und es wirken Kräfte auf der linken sowie auf der rechten Seite, die sich im Gleichgewicht halten. Die Flächen an denen die Kräfte angreifen sind auf beiden Seiten gleich groß und somit auch der Druck p. Dies hätten wir auch direkt voraussetzen können, da in einer Flüssigkeit in gleicher Tiefe auch der gleiche Druck herrscht. 2

3 Also gilt die folgende Gleichung p links = p rechts Hintereinander geschaltete Drücke addieren sich auf, so wie Kräfte auch (außer den vektoriellen Charakter). Somit besteht die eigentliche Herausforderung darin, auf beiden Seiten die Drücke zusammenzurechnen und zu vergleichen. p 0 p 0 Auf beiden Seiten wirkt der gleiche Luftdruck p 0 h l h r p links = p 0 + ρgh l p rechts = p 0 + ρgh r Also p 0 + ρgh l = p 0 + ρgh r h l = h r F links p links A = p F rechts rechts Somit folgt, dass die Flüssigkeit in den Rohren gleich hoch stehen muss, sofern die Dichte der Flüssigkeit in den Rohren gleich groß ist. Ein Tipp für den ambitionierten Heimwerker, mit diesem Prinzip lässt sich recht einfach aus einem Schlauch und etwas Wasser eine Wasserwaage konstruieren, die beliebig lang sein kann. Schlauchwaage Was man sich merken sollte: Die Aufgabe in Teilprobleme zerlegen; dort wo der Druck gleich groß sein muss. Die Drücke jeweils aufsummieren und gleichsetzen Nach der gesuchten Größe umformen Auftrieb Mit der Formel für den Gesamtdruck lässt sich auch der Auftrieb beschreiben. F Auftrieb F Gewicht flüssig Geht man schwimmen, so fühlen wir uns leichter, jedoch haben wir immer noch die gleiche Masse. Im Wasser erfahren wir eine zusätzliche Kraft, die wir als Auftriebskraft bezeichnen. Die Auftriebskraft wirkt der Schwerkraft entgegen, sodass unsere effektive Gewichtskraft kleiner wird. F G,eff = F G F A Die Auftriebskraft lässt sich natürlich messen, aber man kann sie auch berechnen. Dazu schauen wir uns die Kräfte an, die auf einen Körper in einem Wasserbad wirken. Wir wissen, dass die Kräfte in einer Flüssigkeit allseitig wirken Druck. Dieser Druck ist nur von der Tiefe abhängig und somit unter dem Körper größer als über ihm. 3

4 An den Seiten auf gleich Höhe/Tiefe ist der Druck gleich groß. Also: p 3 = p 4 = p 5 = p 6 p 2 > p 1 p 1 p 5 h 0 Die Kräftebilanz ergibt dann (p = F/A) F A = F 2 F 1 = p 2 A p 1 A (Die Flächen A können zunächst gleich bleiben, müssen sie aber nicht) p 3 p 4 h p 2 p 6 p 2 und p 1 erhalten wir aus der Gleichung für den Gesamtdruck p = p 0 + ρgh F A = (p 0 + ρg[h 0 + h]) A (p 0 + ρgh 0 ) A = ρgha Höhe mal Fläche ergibt das Volumen des Körpers Die gilt auch für unförmige Körper. F A = ρ fl gv K Als wichtige Aussagen über die Auftriebskraft erhält man: Die Auftriebskraft hängt nicht von dem Material des Körpers ab. Ein Würfel aus Styropor erfährt die gleiche Auftriebskraft wie ein gleichgroßer Würfel aus Stahl! Lediglich das Volumen des Körpers sowie die Dichte der Flüssigkeit ist für die Auftriebskraft relevant (neben der Schwerebeschleunigung). Ersetzt man die Dichte und das Volumen durch eine Masse (ρ = m/v ), F A = ρ fl gv K = m fl g so erhält man die Masse der Flüssigkeit, welche von dem Körper verdrängt wird. Auftriebskraft = Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit Nur das Volumen, welches in die Flüssigkeit eingetaucht ist trägt zum Auftrieb bei. Ob nun ein Körper schwimmt oder nicht, hängt von der Kräftebilanz zwischen der Auftriebskraft und der Gewichtskraft ab. In der folgenden Abbildung sind die möglichen Fälle dargestellt. steigen schwimmen schweben sinken F =F -F ( - ) res A G fl K Kräfte: Dichte: F A> FG F A= FG F A= FG F A< F fl > K fl K fl = K fl < K G 4

5 Desweiteren sollte man sich merken, ein schwimmender Körper verdrängt genau die Masse an Wasser wie er selber wiegt, denn es gilt F A = F G m fl g = m K g m fl = m K verdrängtes Wasser Mit diesem Prinzip ist es dann möglich Schiffe, die mehrere tausend Tonnen wiegen, zum Schwimmen zu bringen. Die Schiffsrümpfe sind so geformt, dass sie möglichst viel Wasser verdrängen. Die Formel für den Auftrieb lässt sich auch ohne Einschränkungen auf Gase anwenden, denn lediglich die Dichte ist eine andere. Alle Körper, die sich in einem Medium befinden, dessen Dichte größer als Null ist, erfahren eine Auftriebskraft. Auch während wir uns auf einer Waage stellen erfahren wir eine Auftriebskraft und somit sind wir immer schwerer als es die Waage anzeigt. Ob diese Abweichung relevant ist, könnt ihr euch selber mal überlegen. 5

6 Aufgaben Evangelista Torricelli s Vermächtnis In einer evakuierten Röhre (p = 0 Pa) steigt Quecksilber 777 mm hoch. Wie groß ist der Umgebungsdruck? ρ Hg = 13,545 g /cm 3. Dichtebestimmung In einem offenen U-Rohr befindet sich im unteren Teil Quecksilber (ρ Hg = 13,545 g/ cm 3 ), darüber auf der linken Seite eine h 1 = 30 cm hohe Wassersäule (ρ W = 1 g/ cm 3 ) und auf der rechten Seite eine h 2 = 20 cm hohe Säule einer unbekannten Flüssigkeit. Im Gleichgewicht stellt sich ein Höhenunterschied von h = 1 cm zwischen den Enden der Quecksilbersäulen ein. (Es gibt keine Vermischung der Flüssigkeiten) Welche Dichte hat die unbekannte Flüssigkeit? h 1 h 2 1,52" h 0,57" 0,58" Wetterballon Ein leerer Wetterballon (m Ballon = 1,1 kg) wird mit Helium gefüllt und hat anschließend ein Volumen von 2 m 3. Auf den Ballon wirkt daraufhin eine nach oben gerichtete Gesamtkraft von 10 N. (ρ Luft = 1,225 kg/ m 3, g = 10 m /s 2 ) Bestimmen Sie aus diesen Werten die Dichte des Heliums. 6