Schweredruck von Flüssigkeiten

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Rüdiger Egger
vor 7 Jahren
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1 Schweredruck von Flüssigkeiten Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel. Kompressibilität κ: Typische Werte: Wasser: ºC Quecksilber: ºC Pentan: ºC Dichte ändert sich vernachlässigbar wenig bei Druckausübung 1 κ V dv dp 0 oben F r Druck Betrachten scheibenförmiges Massenelement in einer Flüssigkeit (Fläche A, Dicke dx). Auf dieses wirken von oben und unten Druckkräfte (die von der Seite heben sich gerade auf), zusätzlich die Gewichtskraft. Kräftebilanz: x dx G r unten F r Druck r F oben Druck + r G r F unten Druck 0 p( x) A + ρ( x) Vg p( x + dx) A 0

2 Schweredruck von Flüssigkeiten 0 ρ( x ) ga dx p( x + dx) A p( x) A oben F r Druck ρ( x) gdx p( x + dx) p( x) x dx G r unten F r Druck p( x + dx) p( x) ρ( x ) g p ( x) dx Da die Dichte als konstant betrachtet werden kann, hat man die Differentialgleichung: p ( x) ρ g p ( x) ρ g x + p integriert: 0 der Druck nimmt, vom Luftdruck p 0 ausgehend, linear mit der Tiefe zu Für Wasser: Mit der Dichte von Wasser von 1 kg/l nimmt der Druck mit der Wassertiefe um 1 bar pro 10 m Tiefe zu.

3 Wassergefäße Die Zunahme des Schweredruckes führt zu einer Abhängigkeit der Ausströmgeschwindigkeit des Wassers von der Füllhöhe Die Flüssigkeit muss in kommunizierenden Röhren überall gleich hoch stehen. Sonst wäre der Druck in dem waagrechten Verbindungsrohr unter den Steigrohren an verschiedenen Stellen verschieden groß. Dieser Druckunterschied würde die Flüssigkeit in Bewegung setzen, bis sie in allen Steigrohren gleich hoch stünde.

4 Hydrodynamisches Paradoxon A A A Hydrodynamisches Paradoxon: In Gefäßen mit gleicher Füllhöhe h und gleicher Grundfläche A, aber verschieden großem Inhalt übt die Flüssigkeit stets denselben Druck auf den Boden aus Die Gewichte sind aber verschieden, da die Flüssigkeitsmengen verschieden sind. Die Druckkräfte auf die Wand führen im mittleren Bild zu einer Nettokraft auf das Gefäß nach unten, die genau der Gewichtskraft der Masse im Überhang entspricht: F F W sin( α) 1 p( h) A sin( α) 1 g ρ h A sin( α) g ρ V g m Überhang Überhang h α A F α F W

5 Hydrodynamisches Paradoxon Die Gewichtskraft der Zusatzmasse wird daher von der Seitenwand aufgenommen und wirkt nicht als Druckkraft auf den Gefäßboden. A A A Situation rechts im Bild: Die Druckkräfte bewirken eine nach oben gerichtete Nettokraft auf die Gefäßwand. Die Flüssigkeit erfährt als reactio eine nach unten gerichtete Gegenkraft, die der fehlenden Gewichtskraft entspricht. Auf den Boden wirkt als Summe von Gewichtskraft und Gegenkraft der Wand die gleiche Druckkraft wie in den beiden anderen Fällen.

6 Schnorchel-Physik Situation: Sie sind im Urlaub am Meer und wollen Schnorcheln gehen. Der Sportwarenhändler vor Ort macht Ihnen ein interessantes Angebot. Er bietet Ihnen Schnorchel der Länge 1 m, 1.5 m und m an. Kaufen Sie? 1. Frage: Ist die Lunge stark genug, gegen die Druckkraft anzukommen? 0 h p 0 gρh+p 0 Druck im Schnorchel, dem Mund, der Lunge: p 0 Druck von außen auf den Körper und damit auch die Lunge: gρh+p 0 x Man muss durch Muskelkraft die Druckdifferenz gρh überwinden, um Luft einatmen zu können. Herr Schaun schafft beim Saugen 50 mbar. Damit kann er (mit großer Anstrengung) noch in.5 m Tiefe einatmen. Langer Schnorchel wäre o.k.

7 Schnorchel-Physik. Frage: Bekommt man beim Einatmen auch genug frische Luft? Wenn man beim Ausatmen die verbrauchte Luft nicht oder nur in unzureichendem Maße aus dem Schnorchel ausblasen kann, erhält man keine Frischluftzufuhr. Annahme: Beim Ausatmen kann man ein Luftvolumen von max. 3 Litern austauschen. Ein Schnorchel von cm Radius hat bei einer Länge von 1 m ein Volumen von 1.57 l. Man kann also gar nicht mehr alle verbauchte Luft aus dem Schnorchel ausblasen. Erstickungsgefahr

8 Maxwell-Boltzmann-Verteilung Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen des idealen Gases: 1860 von Maxwell hergeleitet 1867 von Boltzmann gezeigt, dass die gefundene Verteilungsfunktion die Gleichgewichtsverteilung ist, die sich aus jedem beliebigen Anfangszustand beginnend einstellt. (Herleitung siehe Bergmann-Schaefer, Bd. 1, Kap. 39.5) Maxwell-Boltzmann-Verteilung f(v)dv gibt an, wieviel Prozent der Teilchen eine Geschwindigkeit in einem Intervall [v, v+dv] haben: f ( v) dv dn N ( v) 4 π v ( m π k B ) T 3 e mv kbt dv Die Funktion ist auf 1 normiert: 0 f ( v) dv 1 Boltzmann-Konstante: k B J/K Boltzmann-Faktor: e mv kbt e E k T B

9 Maxwell-Boltzmann-Verteilung in einem Geschwindigkeitsintervall dv 1 m/s um das jeweilige v: von:

10 Maxwell-Boltzmann-Verteilung in einem Geschwindigkeitsintervall dv 1 m/s um das jeweilige v:

11 Geschwindigkeiten 1.) Wahrscheinlichste häufigste Geschwindigkeit v W Maximum der Verteilungsfunktion (erreicht, wenn Exponent des Boltzmann-Faktors gleich 1 wird): v W kb m T.) Mittlere quadratische Geschwindigkeit v rms v rms rms root mean square v rms v 3k T m v rms B 1. 5 v v v W f ( v) dv 1 rms mv 3kBT m 3 k B T zu verwenden, wenn es um die kinetische Energie geht Mittlere kinetische Energie der Translation 3.) Durchschnittliche mittlere Geschwindigkeit <v> v 8k T π m 4 π B v f ( v) dv vw 1. 8 v W zu verwenden, wenn der Impuls die relevante Größe ist, z.b. bei Diffusion und Massentransport

12 Definition der Temperatur 1 rms mv 1 m v 3 k B T Mittlere kinetische Energie der Translation definiert die Temperatur es gibt einen absoluten Nullpunkt der Temperatur, für den <v > 0 ist Angepasste Maßeinheit: [T] K Kelvin, nach Lord Kelvin (beachte: nicht Grad Kelvin, also nicht wie Grad Celsius ) Temperaturunterschied: 1 K 1ºC, aber anderer Nullpunkt: 0ºC: 100ºC: Gefrierpunkt des Wassers bei 1013 mbar Siedepunkt des Wassers bei 1013 mbar. 0ºC K Raumtemperatur 0ºC K In USA verwendete Maßeinheit: [T] 1ºF Fahrenheit, T[ºF ] 9/5 T[ºC] +3 0ºF ºC: Gefrierpunkt einer Kältemischung 100ºF ºC: Temperatur des menschlichen Blutes

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