Tutorium Hydromechanik I und II

Transkript

1 Tutorium Hydromechanik I und II WS 2016/2017 Vorlesung Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 1

2 Aufgabe 1 Gegeben ist ein Manometer mit zwei Behältern, die mit Wasser gefüllt sind. Im Rohr befindet sich eine Flüssigkeit mit s Öl = 0,80. Gegeben sind ebenso h 1 = 300 mm, h 2 = 200 mm und h 3 = 600 mm. Die Wichte von Wasser beträgt γ W = 10 kn/m³. Bestimmen Sie die Druckdifferenz zwischen den Pnkten A und B. 2

3 Aufgabe 1 - Lösung Wir wissen: P = h γ und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W Somit erhalten wir: P A h 1. γ W h 2. γ Öl + h 3. γ W = P B P A P B = h 1. γ W + h 2. γ Öl - h 3. γ W und γ Öl = s Öl. γ W P A P B = h 1. γ W + h 2 S Öl γ W - h 3. γ W = γ W ( h 1 + h 2 S Öl - h 3 ) P A P B = N/m³ ( 0,3 + 0,2. 0,80-0,6 ) = N/m³. ( - 0,14 m) P A P B = N/m 2 = Pa 3

4 Aufgabe 2 Gegeben ist ein Manometer mit zwei Behältern, die mit Wasser gefüllt sind. Im Rohr befindet sich eine Flüssigkeit mit s Öl = 0,80. Gegeben sind ebenso h 1 = 300 mm, h 2 = 200 mm und h 3 = 600 mm. Die Wichte von Wasser beträgt γ W = 10 kn/m³. Bestimmen Sie die Druckdifferenz zwischen den Pnkten A und B. 4

5 Aufgabe 2 - Lösung Wir wissen: P = h γ und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W Somit erhalten wir: P A + h 1. γ W h 2. γ Öl - h 3. γ W = P B P A P B = - h 1. γ W + h 2. γ Öl + h 3. γ W und γ Öl = s Öl. γ W P A P B = - h 1. γ W + h 2 S Öl γ W + h 3. γ W = γ W ( - h 1 + h 2 S Öl + h 3 ) P A P B = N/m³ ( - 0,3 + 0,2. 0,80 + 0,6 ) = N/m³. ( 0,46 m) P A P B = 4600 N/m 2 = 4600 Pa 5

6 Aufgabe 3 Das Rohr ist mit Öl gefüllt. Bestimmen Sie den Druck an A und B in Meter von Wasser. 6

7 Aufgabe 3 - Lösung Wir haben das Bezugsniveau so ausgewählt, dass es freie Luft am Bezugsniveau gibt. Wir wissen: P = γ. h = γ W. h W = γ Öl. h Öl und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W h W = γ Öl γ. h Öl = S Öl. h Öl W Somit: h W, A = S Öl. h Öl, A und h W, B = S Öl. h Öl, B => h W, A = 0,85. ( - 0,5 2,0 ) = -2,125 m H 2 O Und h W, B = 0,85. ( - 0,5 ) = -0,425 m H 2 O 7

8 Aufgabe 4 Der Behälter enthält Wasser und Luft. Bestimmen Sie den Druck an den Punkten A, B, C und D. Die Wichte von Wasser ist γ W = 9806 N/m 3. 8

9 Aufgabe 4 - Lösung Pnkt A: P A = γ W h = 9806 N/m 3. (0,30 + 1) m = 12747,8 N/m 2 12,75 KPa Punkt B: P A - γ W h = P B P B = P A - γ W ( 1 + 0,3 + 0,3 ) P B = 12747,8 N/m N/m 2 (1,6) m P B = ,8 N/m 2-2,94 KPa Punkt C: Im Behälter gibt es Luft von B bis C. Deshalb ist Druck im B und C gleich. P C = P B = ,8 N/m 2-2,94 Kpa Punkt D: P C - γ W h = P D P D = P C - γ W ( 0,30 + 0, ) P D = ,8 N/m N/m 2 (1,6) m = ,4 N/m 2-18,63 Kpa 9

10 Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Druck an den Punkten A, B, C und D. Die Wichte von Wasser ist γ W = 9806 N/m 3. 10

11 Aufgabe 5 - Lösung Wir haben das Bezugsniveau so ausgewählt, dass es freie Luft am Bezugsniveau gibt. Pnkt A: P F - γ W h = P A und P F = P Luft = 0 ; Die relative Druck an der Oberfläche der Flüssigkeit bzw. die relative Luftdruck ist null. => P A = P F - γ W h = N/m 3. ( 0,3 + 0,3 ) m = -5883,6 Pa Pnkt B: P F + γ W h = P B => P B = N/m 3. 0,6 m = 5883,6 Pa 11

12 Aufgabe 5 - Lösung Pnkt C: Im Behälter gibt es Luft von B bis C. Deshalb ist Druck im B und C gleich. P C = P B = 5883,6 Pa Pnkt D: P C + γ Öl h = P D, s Öl = γ Öl γ W => γ Öl = s Öl. γ W P D = P C + s Öl. γ W h = 5883,6 Pa + 0, N/m 3. ( 0,3 + 0,6 + 1 ) m P D = 5883,6 Pa ,26 = 22651,86 Pa 12

13 Aufgabe 6 Klausuraufgabe SS 2015 Bei einer Temperatur von 25 C sind 200 g Luft in einem Zylinder mit einem Volumen von V zyl. = 20L eingeschlossen. (a) Wie groß ist der Druck im Zylinder? (b) Wie groß ist die Dichte der Luft? Gegeben: allgemeine Gaskonstante R=8,31 /. o 13

14 Aufgabe 6 - Zur Erinnerung Die algemeine Gaskonstante R ist die Unterschied der Wärmekapazität eines Gases bei gleichem Druck C P zur Wärmekapazität bei gleichem Volumen C V, bezogen auf die Stoffmenge Mol: R = C P(mol) C V(mol) [ J/mol.K] Ebenso R = N A. K B Avogadro-Konstante: N A 6, J/K Boltzmann-Konstante: K B 1, J/K R = 8,31 [ J/mol.K] Ebenso R = R S. M R S : spezifische (individuelle) Gaskonstante M M : molare Masse ; M = = M Luft 0,029 kg/mol, M Wasser 18,01528 g/mol 0,018 kg/mol => R S,Luft = R, J/ ol.k M = = 286,55 J/K.kg, kg/ ol 14

15 Aufgabe 6 - Zur Erinnerung Allgemeines Gasgesetz: P = ρ R S T, ρ = V P = V R S T P V = V V R S T P V = m R S T bzw. P V = n R T R S = R M Umrechnung von Kelvin in Grad Celsius: T K = 273,15 + T C 15

16 Aufgabe 6 - Lösung a) P V = m R S T R S,Luft = R, J/ ol.k M = = 286,55 J/K.kg, kg/ ol V zyl. = 20L = m 3 = 0,02 m 3 T = 25 C = ( 273, ) K = 298,15 K P = R, k V S T =,. 286,55 J/K.kg. 298,15 K = ,825 Pa b) ρ =, k = V, = 10 kg/ m 3 16

17 Aufgabe 7 Klausuraufgabe WS 2014/2015 Ein Fluid mit einem Kompresssionsmodul K von 2000 MPa wird in einem Zylinder komprimiert. Es nimmt bei einem Druck von 10 MPa ein Volumen von 1000 cm³ ein. a) Wie hoch ist der Druck, wenn das Fluid auf ein Volumen von 995 cm³ komprimiert wird? b) Wie groß ist die Kompressibilität κ des Fluids? 17

18 Aufgabe 7 - Zur Erinnerung Kompressionsmodul: K = -V ΔP ΔV Kompressionsmodul beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Kompressibilität: κ = K Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die Kompressibilität. 18

19 Aufgabe 7 - Lösung a) K = -V ΔP ΔV ΔP = - K ΔV V ΔV = V 1 V 0 = 955 cm cm 3 = -5 cm 3 ΔP = MPa. = 10 Mpa P 1 = P 0 + ΔP P 1 = 10 Mpa + 10 Mpa = 20 Mpa b) Kompressibilität: κ = K = 1/(2000 Mpa) = 0,0005 MPa-1 = 0,5 GPa -1 19

20 Aufgabe 8 Klausuraufgabe WS 2014/2015 a) Bei welcher Temperatur in C nimmt ein Gas unter konstantem Druck das doppelte Volumen ein, wenn das Gas eine Anfangstemperatur von 15 C hat? b) Für den Fall, dass es sich bei dem Gas um Stickstoff (N2) handelt, wie groß ist seine Dichte bei dieser Temperatur unter normalen atmosphärischen Bedingungen? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R=8,31 /. o 20

21 Aufgabe 8 - Lösung a) Allgemeines Gasgesetz: P V = m R S T => P V / T = m R S => P V T = P V T P = konstant => T = T => T V V = V. T V und T = 15 C = 273, = 288,15 K => T = 2. T = ,15 K = 576,3 K = 303,15 C b) P V = n R T, M = => n = M => P V = PM M R T => R T = PM V => ρ = R T V V = 2, M N2 = 2. 14,007 = 28,014 g/mol 0,028 kg/mol Bei den normalen atmosphärischen Bedingungen: P Luft Pa = 101,3 Kpa Pa., kg/ ol Somit: ρ T1 = = 1,184 kg/m 3, /. o., K Pa., kg/ ol ρ T2 = = 0,592 kg/m 3, /. o., K 21

22 Aufgabe 9 Klausuraufgabe WS 2014/2015 In einer hessischen Wetterstation wurde um 19 Uhr neben einem Luftdruck von 1029 hpa der Taupunkt mithilfe eines Taupunktspiegelhygrometers bei 10 C bestimmt. Die Maximaltemperatur von 17 C wurde an diesem Tag um 14Uhr gemessen. Wie hoch war die relative Luftfeuchtigkeit bei gleichem Wasserdampfgehalt a) um 19Uhr? b) um 14Uhr? e S (T) = e 0. exp ( e 0 = 6,112 hpa,., C+ ) [hpa], T in C 22

23 Aufgabe 9 - Lösung Der Taupunkt ist diejenige Temperatr, die bei konstantem Druck unterschritten werden muss, damit sich Wasserdampf als Tau oder Nebel aus feuchter Luft abscheiden kann. Am Taupunkt beträgt die relative Luftteuchtigkeit 100 % bzw. die Luft ist mit Wasserdampf gesättigt. a) relative Luftfeuchtigkeit ist 100%, da Taupunkt erreicht ist. b) e S (T) = e 0. exp ( e 0 = 6,112 hpa,., C+ => e S (10 C) = 6,112 hpa. exp ( e S (17 C) = 6,112 hpa. exp ( ) [hpa], T in C,., C+,., C+ ) = 12,26 hpa ) = 19,33 hpa Hr = es(t 0 )/es(t) Hr = es(10 C)/es(17 C) Hr = 12,26 hpa/19,33 hpa Hr = 0,634 Hr = 63,4% 23

24 Aufgabe 10 - Klausuraufgabe WS 2012/2013 Der bekannte Bergsteiger Reinhold Messner befindet sich mal wieder auf Himalaya Tour und mochte einen weiteren 8000-er Berg bezwingen. In einem Basiscamp in einer Höhe von etwa 7000 m kocht er sich noch einen Tee. Frage: Bei welcher Temperatur beginnt in dieser Höhe sein Wasser zu kochen? Gegeben: Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve (Magnus-Formel) e S (T) = e 0. exp (,., C+ ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa R i = individuelle Gaskonstante der Luft = 289,6 /. g Hinweis: Berechnen Sie erst den isothermen (bei mittleren 0 C über die gemittelte Höhe) Standardluftdruck im Basiscamp mittels der barometrischen Höhenformel. 24

25 Aufgabe 10 Zur Erinerrung Der Sättigungsdampfdruck (auch Gleichgewichtsdampfdruck) eines Stoffes ist der Druck, bei dem der gasförmige Aggregatzustand sich mit dem flüssigen oder festen Aggregatzustand im Gleichgewicht befindet. Der Sättigungsdampfdruck ist von der Temperatur abhängig. Der Sättigungsdampfdruck für Wasserdampf kann mit Hilfe der Magnus- Formel berechnet werden. Über ebenen Wasseroberflächen: e S (T) = e 0. exp (,., C+ ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa; für -45 C < T < +60 C Über ebenen Eisoberflächen: e S (T) = e 0. exp (,., C+ ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa; für -65 C < T < +0,01 C In den Magnus-Formeln ist zu beachten, dass für T die Temperatur in Grad Celsius und nicht in Kelvin einzutragen ist. Tutorium Tutorium Hydromechanik I + I II + WS II SS 2016/

26 Aufgabe 10 - Lösung Wasser kocht, wenn der Sättigungsdampfdruck e s gleich dem externen Luftdruck P in der jeweiligen Höhe h ist: e s = P(h) Die barometrische Höhenformel lautet: P(h) = P 0. exp [( g. h) / (R i.t)] R i = individuelle Gaskonstante der Luft = 289,6 /. g T = 0 C = 273,2 K, 273,2 K, g = 9,81 m/s 2 P 0 = 1013,25 hpa P(7000) = exp[ 9, ) / (289,6. 273,2) ] e s = P(7000) = 425,275 hpa 26

27 Aufgabe 10 - Lösung e S (T) = e 0. exp ( e 0 = 6,112 hpa,., C+ ) [hpa], T in C 425,275 = 6,112. exp ( 425,275 / 6,112 = exp ( 69,58 = exp ( Iteration:,., C+ ),. ), C+,., C+ ),. Annahme: T = 80 C => exp ( ) = 78,45, C+,. T = 60 C => exp ( ) = 32,71, C+,. T = 75 C => exp ( ) = 63,70, C+,. T = 77,1 C => exp ( ) = 69,57 69,58, C+ => T = 77,1 C 27

28 Aufgabe 11 - Klausuraufgabe WS 2011/2012 In einem vertikalen Glaszylinder stehen 900 ml Wasser bei 20 C 90 cm hoch. Dann wird der Zylinder und das Wasser auf 80 C erhitzt. Wie hoch steht dann das Wasser im Zylinder? Gegeben: thermischer (linearer) Ausdehnungskoeffizient von Glas: α = 3, / C; von Wasser: γ = / C. 28

29 Aufgabe 11 - Lösung Lä ge ausdeh u gskoeffizie t α, Rau ausdeh u gskoeffizie t γ Grundfläche des Zylinders bei 20 C: A = V h =. = 0,001 m. 2 Radius des Zylinders bei 20 C: R 20 = ( A )0,5 = 0,01784 m Radius des Zylinders bei 80 C: R 80 = r α T =.. + 3, ) = 0, Fläche des Zylinders bei 80 C: A 80 =.r 80 2 =.. 2 = 0, m 2 Volumen des Wassers bei 80 C: V 80 = V 20. ( 1 + γ T ) =.. ( ) = 0, m 3 Standhöhe bei 80 C: h 80 = V A = 0, / 0, = m 29

30 Aufgabe 12 Man stelle sich zwei im Abstand d = 0,5 mm parallel angeordnete Platten der Fläche A = 1 m 2 vor. Zwischen diesen Platten befindet sich eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. Bestimmen Sie die Viskosität der Flüssigkeit, wenn die obere Platte mit der Geschwindigkeit V = 0,25 m/s bewegt. Im ideallfall ist die Kraft F = 2 N nötig, um die obere Platte sich mit der konstanten Geschwindigkeit V bewegen zu können. Die Geschwindigkeitsprofil zwischen der Platten ist auf der Abbildung sichtbar. 30

31 Aufgabe 12 - Lösung Das newtonsche Viskösitätsgesetz: τ = μ v Wir wissen: τ = F A F A = μ v F = μ v F dy = μ dv, A = 1 m 2 F dy = μ dv F d = μ v 2 N. 0,0005 m = μ. 0,25 m/s μ = 0,004 Pa/s v 31

32 Aufgabe 13 Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Scheitelpunkt in der freien Oberfläche einer Flüssigkeit. Bestimmen Sie die Kraft auf einer Seite durch Integration. 32

33 Aufgabe 13 - Lösung da = x. dy Wir wissen: P = F A => F = P. A df = P. da und P = γ. y df = γ. y. x. dy Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: = => x =. Y h h df = F = γ. h F = γ. h γ. y. h. y. dy y dy [ h ] h F = ⅓. γ. b. h 2 33

34 Aufgabe 14 Bestimmen Sie die Kraft auf einer Seite des rechtwinkligen Dreiecks durch Integration. 34

35 Aufgabe 14 - Lösung da = x. dy df = P. da df = γ. y. x. dy Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: =, +H H Flächeninhalt: A =,., = H., +, =, =, x = ( ) (,,.( => H = 0,48 m ) ) = => x = ( 2 y ) 35

36 Aufgabe 14 - Lösung Somit: F = df = γ. y. x. dy = γ. y. ( 2 y ) = 2y y ) dy = - y, + y2 2y y ) dy = 0, γ, 2y y ) dy => F = [ 0, ] = 3467,52 N 36

37 Aufgabe 15 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b. Der hydrostatische Druck wirkt stets aus der Flüssigkeit senkrecht auf das betrachtete seitliche Wandelement. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ. a) Bestimmen Sie das wirkende Moment M OO auf das seitliche Wandebene. b) Wie ändert sich die hydrostatische Druckkraft bei einer Höhenzunahme um 20 Prozent und gleichzeitig einer Reduktion der Breite um 20 Prozent. 37

38 Aufgabe 15 - Lösung a) P O = γ h F = ½. γ h. h. b = ½ γ h 2 b M OO = F x r = (½ γ h 2 b) x (h/3) => M OO = (1/6) γ h 3 b b) Die Druckkraft ist proportional zu der Breite, der Wichte und dem Quadrat der Höhe: F = ½ γ h 2 b Hinweis: F = V Prisma h 2 = 100 % h % h 1 = 120 % h 1 = 1,2 h 1 b 2 = 100 % b 1 20 % b 1 = 80 % b 1 = 0,8 b 1 F 2 / F 1 = ( b 2 / b 1 ). ( h 2 / h 1 ) 2 = ( 0,8 b 1 / b1 ). ( 1,2 h 1 / h 1 ) 2 F 2 / F 1 = 0,8. 1,44 = 1,152 F 2 = 1,152 F 1 38

39 Aufgabe 16 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b, der mit der Flüssigkeit gefüllt ist. Der hydrostatische Druck wirkt stets aus der Flüssigkeit senkrecht auf das betrachtete seitliche Wandelement ABCD. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ. Bestimmen Sie die wirkende hydrostatische Kraft auf das seitliche Wandebene ABCD. 39

40 Aufgabe 16 - Lösung P A = γ h 1 P D = γ h 2 F = ½. ( γ h 1 + γ h 2 ). h 2. b => F = ½. γ(h 2 + h 1 ). h 2. b 40

41 Aufgabe 17 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1m. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ = 10 kn/m 3. Bestimmen Sie Moment M A im Fußpunkt A. 41

42 Aufgabe 17 - Lösung Lösungsweg 1: Druck senkrecht zur gedrückten Fläche P A = γ h F = ½ γ h. ( h/sin α) b M A = F x r = ½ γ h. ( h/sin α). ⅓ h/si α) M A = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m ( 3,50/sin45) m. 1. ⅓. 3,50/sin45) m M A = 142,917 kn.m 42

43 Aufgabe 17 - Lösung Lösungsweg 2: Aufteilung in horizontale und vertikale Komponenten P A = γ h F H = ½ γ h. h H. b = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m. 3,50 m. 1 m = kn h V = h H. tan (45) = h H. 1 = 3,50 m F V = ½ γ h. h V. b = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m. 3,50 m. 1 m = kn a H = ⅓ h H, a V = ⅓ h V M = F H a H + F V a V = ⅓ F H h H + ⅓ F V h V = ⅓ F H h H + F V h V ) M = ⅓ 61,25 kn. 3,50 m + 61,25 kn. 3,50 m ) = ⅔ 61,25 kn. 3,50 m = 142,917 kn.m 43

44 Aufgabe 18 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1m. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ = 10 kn/m 3. Bestimmen Sie das Moment M A im Punkt A und die resultierende Kraft F res. 44

45 Aufgabe 18 - Lösung Sin α = ( h 1 h 2 ) / y => y = ( h 1 h 2 ) / Sin α cos (90 - α ) = h 2 / x => x = h 2 / cos (90 - α 45

46 Aufgabe 18 - Lösung P 1 = γ (h 1 h 2 ) = 10 kn/m 3 ( 5 3 ) m = 20 kn/ m 2 P 2 = γ h 2 = 10 kn/m 3. 3 m = 30 kn/m 2 P 3 = P 1 + P 2 = 50 kn/ m 2 A 1 = h h. b = sin α sin A 2 = h. b = 3. 1 = 3. 1 = 2,309 m2 a 1 = h / cos(90 α) + ⅓ h h sin α a 2 = h / 2 = 3 / 2 = 1,5 m a 3 = h / 3 = 3 / 3 = 1 m = 3 / cos (30) + ⅓ sin = 4,234 m F W1 = ½ P 1 A 1 = ½ ,309 = 23,094 KN F W2 = P 1 A 2 = = 60 KN F W3 = ½ P 2 A 2 = ½ = 45 kn 46

47 Aufgabe 18 - Lösung Die resultierende Kraft: F res = F V + F H F V = F W1 sin(30) = 23,094 kn sin(30) = 11,547 kn F H = F W1 cos(30) + F W2 + F W3 = 23,094 cos(30) = 124,999 kn F res =, kn +, kn = 125,532 kn Moment M A im Punkt A: M A = F W1 x a 1 + F W2 x a 2 + F W3 x a 3 => M A = 23,094. 4, , = 232,78 N.m 47

48 Vielen Dank für Ihre Aufmersamkeit 48