Physik 1 MW, WS 2014/15 Aufgaben mit Lösung 7. Übung (KW 05/06)

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1 7. Übung KW 05/06) Aufgabe 1 M 14.1 Venturidüse ) Durch eine Düse strömt Luft der Stromstärke I. Man berechne die Differenz der statischen Drücke p zwischen dem weiten und dem engen Querschnitt Durchmesser d 1 und d 2 )! ρ L = 1.30 kg m 3, I = 8.0 l s 1, d 1 = 100 mm, d 2 = 50 mm Aufgabe 2 M 14.2 Prandtlsches Staurohr ) Die Geschwindigkeit von Flugzeugen wird mit dem Prandtlschen Staurohr gemessen. Das Messinstrument zeigt eine der Geschwindigkeit entsprechende Druckdifferenz an. Welche Geschwindigkeit v hat das Flugzeug bei einer Druckdifferenz p? v p 1 p 2 p = 4.48 kpa, ρ L = 1.29 kg m 3 p Aufgabe 3 M 14.7 Rohrleitungssystem ) Gegeben ist das dargestellte Rohrleitungssystem. Der Wasserspiegel bleibt in der Höhe h 0 sehr großes Reservoir). Der äußere Luftdruck beträgt p a. a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v 1 und v 2 des Wassers an den Stellen 1) und 2)? b) Welchen Betrag hat die Stromstärke I im Rohrleitungssystem? c) Man berechne den statischen Druck p 1 und den Staudruck p 1Stau an der Stelle 1)! h 0 = 40.0 m, h 1 = 10.0 m, d 1 = mm, d 2 = 20.0 mm, p a = kpa d2 2) pa d1 1) 0) h1 h0 Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 6

2 Aufgabe 4 M 15.2 Kugel in Öl ) Eine Stahlkugel Radius r, Dichte ρ 1 ) wird in einem mit Öl Dichte ρ 2, dynamische Viskosität η) gefüllten Standzylinder fallengelassen. a) Welche Endgeschwindigkeit v E erreicht die Kugel? b) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit v E bei doppeltem Radius? c) Man leite die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion für den Fall her, dass die Kugel zur Zeit t 0 die Bewegung im Öl mit der Geschwindigkeit v 0 = 0 beginnt! r = 1.00 mm, ρ 1 = 8300 kg m 3, ρ 2 = 800 kg m 3, η = 1.50 Pa s Aufgabe 5 M 15.3 Ausflussgeschwindigkeit ) Wasser dynamische Viskosität η) fließt seitlich aus einem sehr großen Gefäß. Die Höhe h der Wassersäule über der Ausflussöffnung ist bekannt. Welche Ausflussgeschwindigkeit v hat das Wasser, wenn es a) die Öffnung A verlässt, b) erst noch das Rohr mit der Länge l und der lichten Weite d durchfließen muss? h = 60 cm, l = 120 cm, d = 2.0 mm, η = mpa s h l A d Aufgabe 6 W 1.2 Schwingung ) Bei der Schwingung xt) = x m cosω 0 t + α) sind zum Zeitpunkt t 0 = 0 die Elongation x 0 und die Geschwindigkeit v x0 gemessen worden. Welche Werte haben der Nullphasenwinkel α und die Amplitude x m? ω 0 = 90 s 1, x 0 = 2.00 cm, v x0 = 3.00 m s 1 Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 6

3 Lösung zu Aufgabe 5 a) Wir wenden die Bernoulli-Gleichung an, indem wir die Drücke an zwei Orten im Leitungssystem vergleichen. Ein Ort 1) soll sich an der Wasseroberfläche im Vorratsbehälter und der andere Ort 2) soll sich an der Ausflussöffnung befinden: 1 2 ϱv2 1 + ϱgh 1 + p 1 = 1 2 ϱv2 2 + ϱgh 2 + p 2. Die statischen Drücke p 1 und p 2 entsprechen dem Umgebungsluftdruck an der Wasseroberfläche bzw. unmittelbar hinter dem Ausfluss, welche sich in verschiedenen Höhen befinden. Der Luftdruck hängt im Allgemeinen von der Höhe ab barometrische Höhenformel), aber bei einem Höhenunterschied von l = 60 cm ist der Luftdruckunterschied vernachlässigbar klein, so dass wir p 1 = p 2 = p L setzen können, wodurch sich die Bernoulli-Gleichung zu vereinfacht. 1 2 v2 1 + gh 1 = 1 2 v2 2 + gh 2 Der Querschnitt des Gefäßes ist sehr viel größer als der Querschnitt der Ausflussöffnung, weswegen die Geschwindigkeit v 1 des Wassers am Ort 1) sehr viel kleiner ist als die Geschwindigkeit v 2 am Ort 2) man beachte die Kontinuitätsgleichung v 1 A 1 = v 2 A 2 ). Wir vernachlässigen daher den Staudruck am Ort 1) und erhalten die vereinfachte Gleichung 2gh 1 = v gh 2, die wir nach der gesuchten Geschwindigkeit v 2 auflösen: v 2 = 2gh 1 h 2 ) = 2gh = m s m = 3.42 m s 1. b) Sobald das Rohrstück am Ausfluss befestigt ist, ändert sich die Situation dahingehend, dass der statische Druck am Ort 2) nicht mehr dem Luftdruck entspricht. Stattdessen herrscht der Luftdruck am Rohrende 3), während bei 2) der statische Druck um p gegenüber dem Luftdruck erhöht ist. Die Druckerhöhung p ist eine Folge der Reibung im engen Rohrquerschnitt und berechnet sich nach dem Gesetz von Hagen-Poiseuille mittels p = F R A = 8πηl v π = 32 ηl 4 d2 d v. 2 Das Gesetz von Hagen-Poiseuille gilt für Newtonsche Fluide, wenn diese laminar strömen. Newtonsche Fluide sind solche, bei denen die dynamische Viskosität von der Strömungsgeschwindigkeit unabhängig ist. Neben Wasser gehören viele weitere Fluide Gase, Öle, Metallschmelzen, Ethanol) zu den Newtonschen Flüssigkeiten. Ob das Wasser im Rohr laminar fließt oder turbolent, gilt es später noch zu prüfen. Zunächst nehmen wir laminare Strömung an und verwenden daher das Gesetz von Hagen-Poiseuille. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 6

4 Aufgrund der inneren Reibung ist die Strömungsgeschwindigkeit eine Funktion vr) des Abstandes von der Rohrwand. Die Größe v im Gesetz von Hagen-Poisouille bezeichnet die über den Rohrquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit. Mit dem statischen Druck p 2 = p L + p ergibt sich nun folgende Bernoulli-Gleichung zwischen den Orten 1) und 2): 1 2 ϱv2 1 }{{} 0 + ϱgh }{{} 1 ϱgh + p 1 }{{} = 1 2 ϱv2 2 + ϱgh }{{}}{{} 2 p L ϱ v 2 0 = ϱgh = 1 2 ϱ v2 + p = ϱgh = 1 2 ϱ v ηl d v. 2 + p 2 }{{} p L + p Diese in v quadratische Gleichung lösen wir nach v auf: v ηl ϱd v + 2 ϱgh = 1 2 ϱ v ηl d v 2 v ηl v = 2gh ϱd2 32 ηl ) 2 = 2gh + 32 ηl v + 32 ηl ) 2 = 2gh + 32 ηl ϱd 2 ) 2 ) 2 ηl v + 32 = 2gh + 32 ηl ) 2 v = 32 ηl ϱd ± 2gh + 2 v = 32 ηl 1 ± v>0 = v = 32 ηl = 0.56 m s ηl ) 2 ) ϱd gh 32ηl ) ϱd gh 32ηl Wir berechnen jetzt noch die Reynoldszahl Re. Überschreitet diese einen kritischen Wert Re krit, so ist zu erwarten, dass die Strömung turbolent wird, d. h. kleinste Störungen können den laminaren Fluss in einen turbolenten umschlagen lassen. Ist Re kleiner als der kritische Wert, so können kleine Störungen zwar immer noch Turbolenzen hervorrufen, diese zerfallen dann aber aufgrund der inneren Reigung sehr schnell, so dass eine stabile laminare Strömung vorliegt. Re = ϱdv 2 η = 103 kg m m 0.56 m s Pa s = 1052 < 2300 = Re krit. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 6

5 Im Ausflussrohr haben wir es also mit laminarer Strömung zu tun, das Anwenden des Gesetzes von Hagen-Poiseuille ist somit gerechtfertigt. Anmerkung: Der kritische Wert für die Reynoldszahl hängt von der Wahl der charakteristischen Länge ab. Im Falle eines Rohres mit kreisrundem Querschnitt hätte man zum Beispiel auch den Innenradius anstelle des Innendurchmessers als charakteristische Länge festlegen können. In diesem Fall wäre der kritische Wert nicht 2300, sondern nur halb so groß. Lösung zu Aufgabe 6 Zunächst berechnen wir aus der Elongations-Zeit-Funktion xt) mittels Zeitableitung die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion vt), xt) = x m cosω 0 t + α) = vt) = ẋt) = ω 0 x m sinω 0 t + α) = v m sinω 0 t + α) mit der Geschwindigkeitsamplitude v m = ω 0 x m. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 sind die Elongation x 0 und die Geschwindigkeit v x0 bekannt; diese Randbedingungen setzen wir in die entsprechenden Gleichungen ein: xt 0 ) = x m cosω 0 t 0 + α) t 0=0 = x m cosα)! = x 0, 6.1) vt 0 ) = v m sinω 0 t 0 + α) t 0=0 = v m sinα)! = v x0. 6.2) Wir dividieren jetzt 6.2) durch 6.1) und verwenden tan α = sin α cos α : v m sinα) x m cosα) = v x0 x 0 tanα) = x m v m v x0 x 0 = v x0. 6.3) Wegen der Periodiziät der Tangensfunktion ist die Lösungsmenge dieser Gleichung unendlich: 6.3) α {arctan v ) x0 + kπ : k Z}. 6.4) Im Prinzip könnte man sich ein beliebiges k Z aussuchen, denn sämtliche durch 6.4) beschriebenen Nullphasenwinkel sind mit den Randbedingungen 6.1) und 6.2) verträglich. Allerdings führen die ungeraden k-werte zu negativen Amplituden x m, während die geradzahligen k-werte positive Amplituden hervorrufen. Beide Varianten sind korrekte Beschreibungen der gegebenen Schwingung, aber man hat sich darauf geeinigt, den Nullphasenwinkel immer so zu wählen, dass die Amplitude positiv ist, so dass wir uns für einen geradzahligen k-wert entscheiden: α {arctan v ) x0 + 2mπ : m Z}. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 6

6 Eine weitere Übereinkunft ist, dass man sich bei der Wahl des Nullphasenwinkels entweder auf das Intervall [ π, π) oder [0, 2π) beschränkt. Wir entscheiden uns für die erste Variante [ π, π) und erhalten somit für den gesuchten Nullphasenwinkel α = arctan v ) ) x m s 1 = arctan 2.00 cm 90 s 1 = 1.03 = Wenn hingegen der Nullphasenwinkel im Intervall [0, 2π) liegen soll, dann lautet das Ergebnis α = = Schließlich berechnen wir noch die Amplitude, indem wir den gefundenen Nullphasenwinkel in 6.1) einsetzen: x m = x 0 cosα) = 2.00 cm cos 1.03) = 3.89 cm. Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter naturwissenschaften/fachrichtung_physik/isp/lehrankuendigungen/ws_14_15/ physik_1_fuer_maschienenwesen Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 6