Klausur Strömungsmechanik 1 Frühjahr März 2015, Beginn 16:30 Uhr

Transkript

1 Prüfungszeit: 90 Minuten Zugelassene Hilfsmittel sind: Klausur Strömungsmechanik Frühjahr März 205, Beginn 6:30 Uhr Taschenrechner (nicht programmierbar) Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex) Mitgebrachtes Papier Andere Hilfsmittel, insbesondere: Alte Klausuren Übungen der Vorlesung Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner sind nicht zugelassen. Weitere Hinweise: Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Aufgabe Punkte. Verständnisfragen 2 2. Inkompressible Strömungen Kompressible Strömungen 8,5 Gesamt 49,5 Name, Vorname:... Matrikelnummer:... Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Prof. Dr.-Ing. J. Seume B. Drechsel, C. Hamann, T. Hauptmann

2 . Verständnisfragen (2 Punkte) 00 Kreuzen Sie richtige Aussagen an. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein. (Nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet.) Oberflächenspannung U-Rohr-Manometer () Das gezeigte System sei durch σ = 0.072N/m α = 45 ρ = 000kg/m 3 h g = 9.8m/s 2 d = 6mm g beschrieben. Welche Aussagen sind richtig? h= m h= m h= Nm h= Nm Strömungsvisualisierung () Welche Aussagen sind richtig? Stromröhren sind normal zur Strömungsrichtung massendicht. Stromröhren sind durch Stromlinien begrenzt. Stromröhren weisen stets einen kreisförmigen Querschnitt auf. Seite von 3

3 Hydrostatik () Der Druck am Boden von Gefäß > Gefäß 2 Der Druck am Boden von Gefäß 2 > Gefäß 4 Der Druck am Boden von Gefäß 3 < Gefäß 4. Der Druck am Gefäßboden ist unabhängig von der Fluiddichte. Ausfluss aus Behälter () Der Behälter ist unendlich groß. Der Untergrund ist reibungsfrei. c > c 2. Das Gefäß bewegt sich in positive x-richtung. c (Fluid=Wasser) > c (Fluid=Ethanol) p amb c c 2 p amb Fluid y x Seite 2 von 3

4 Reynoldszahl () Welche der Aussage über die Reynoldszahl stimmt? Re Trägheitskräfte Reibungskräfte. Ist die Re-Zahl größer als die kritische Reynoldszahl, ist die Strömung laminar. Wenn die Re-Zahl gegen unendlich geht, können Reibungseffekte vernachlässigt werden. Rohrströmung (2) Zeichnen und benennen Sie ein laminares sowie ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil übereinander in den gegebenen Rohrquerschnitt y u Moody-Diagramm () Welche der Aussagen stimmen für eine Rohrströmung mit Mittlere Geschwindigkeit c m = 20m/s; Radius r = 0mm; Kinematische Viskosität ν = m 2 /s; Sandkornrauheit k s = m Die Strömung ist laminar. Die Strömung ist turbulent. Das Rohr ist als hydraulisch glatt anzusehen. Das Rohr ist als hydraulisch rauh anzusehen. Seite 3 von 3

5 Umströmte Kugel () Der Widerstandsbeiwert c W einer Kugel wird bei einer kritischen Reynoldszahl plötzlich kleiner (von A -> B). Was ist die Ursache dafür? Der Ablösepunkt der Strömung verschiebt sich stromaufwärts. Der Reibungswiderstand wird infolge des laminar-turbulenten Umschlags der Grenzschicht kleiner. Die Rauigkeit der Körperoberfläche hat keinen Einfluss mehr. Der Druckwiderstand wird geringer. Auftriebskraft am Tragflügel () Was ist die Voraussetzung für eine Auftriebskraft an einem Tragflügel? Der statische Druck oberhalb des Flügels ist größer als unterhalb. Abriss der Strömung auf der Saugseite. Der statische Druck unterhalb des Flügels ist größer als oberhalb. A B Seite 4 von 3

6 Grenzschicht an umströmtem Zylinder (2) Ordnen Sie die dargestellten Geschwindigkeitsprofile den Positionen am umströmten Zylinder zu. Die jeweiligen Geschwindigkeitsprofile können nur einer Position zugeordnet werden. x krit A B C D Seite 5 von 3

7 2. Inkompressible Strömungen 2.. Strahlwinkel im Freistrahldiffusor ( Punkte) 00 In den skizzierten Freistrahldiffusor strömt Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit c ein. Ein Teil der einströmenden Flüssigkeitsmenge wird bei [3] als Freistrahl unter dem Winkel α in die Umgebung (Druck p 0 ) ausgeblasen. Innerhalb des Rohres sei die Strömung reibungsfrei, sodass die Bernoulli-Gleichung entlang jeder Stromlinie gilt. Die auf die Anordnung ausgeübte Kraft in y-richtung, F y, ist aus Symmetriegründen gleich null, die Kraft in x-richtung, F x, ist wegen reibungsfreier Strömung gleich null. Gegeben: Gefragt: Abb. Strahlwinkel im Freistrahldiffusor c c 2 c 3 A A 2 ρ (a) Wie groß ist der Querschnitt A 3 an der Stelle [3]? p 0 Symbolschreibweise A 3 2 ( c c 3 A c 2 c 3 A 2 ) (b) Wie groß ist die Druckdifferenz p -p 0? Symbolschreibweise p p 0 ρ 2 (c2 3 c2 ) Seite 6 von 3

8 (c) Wie groß ist die Druckdifferenz p 2 -p 0? Symbolschreibweise p 2 p 0 ρ 2 (c2 3 c2 2 ) (d) Berechnen Sie aus der Forderung F x =0 den Winkel α, den die Freistrahlen mit der x-achse bilden a) Strahldicke A 3 Die Kontinuitätsgleichung lautet: b) Druckdifferenz p -p 0 α Symbolschreibweise arccos([ + ( c 2 c 3 ) 2 ] A2 4A 3 [ + ( c c 3 ) 2 ] A 4A 3 ) c A = c 2 A 2 + 2c 3 A 3 () A 3 = 2 (c A c 2 A 2 ) (2) c 3 c 3 An der Stelle [3] ist der Druck im Freistrahl p 3 gleich dem Umgebungsdruck p 0, da die Krümmung der Stromlinien verschwindet. Die Bernoulli Gleichung formuliert für die Punkte [] und [3] lautet: p + ρ 2 c2 = p 0 + ρ 2 c3 2 a (3) c) Druckdifferenz p 2 -p 0 Für die Punkte [] und [2] erhalten wir: p p 0 = ρ 2 (c2 3 c 2 ) (4) p 2 + ρ 2 c2 = p + ρ 2 c2 b (5) p 2 p 0 = ρ 2 (c2 c 2 2) + (p p 0 ) (6) bzw. mit (4) p 2 p 0 = ρ 2 (c2 3 c 2 2) (7) Seite 7 von 3

9 d) Strahlwinkel α Impulssatz in x-richtung: Aufteilung: Abb. 2 Strahlwinkel im Freistrahldiffusor ρ c e x ( c n )ds = t ex ds (8) S S S = S F + S W + S + S 2 + S 3 c eq : f ormel f (9) Das Integral des Impulsflusses über die Wandfläche SW und die Freistrahlränder verschwinden, da in beiden Fällen der Flächennormalenvektor senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor steht. Die Gleichung (??) ausgewertet pro Tiefeneinheit wird zu ρc 2 A + ρc 2 2A 2 2 ρc 2 3A 3 cosα = p A p 2 A 2 + p 0 (A 2 A ). (0) Druckkräfte (an, 2) d Druckkraft (an 3) e Impulskräfte (an, 2) f Impulskraft (an 3) g Seite 8 von 3

10 2.2. Zierbrunnen mit Wasserfontäne (8 Punkte) 00 Sie planen, einen neuen Zierbrunnen mit Wasserfontäne in Ihrem Garten zu bauen. Um diesen mit Wasser zu versorgen, wollen Sie Ihren alten Gartenbrunnen mit Saugpumpe und vorhandenem Rohrsystem (D = 7.5cm) nutzen. Dafür schließen Sie den Zierbrunnen mit einem weiteren Rohr (D 2 = 5.0cm) an das vorhandene System an. Um auch Ihren neidischen Nachbarn zu beeindrucken, soll die Wasserfontäne eine Höhe von h Fontäne = 4.0m erreichen (siehe Abb. 3). 0,3 Üm 4,0Üm 0,5 Üm Gegeben: Gefragt:,5 Üm 4,0Üm PunktÜA Zierbrunnen c Pumpe Schieber FontäneÜ Überlauf ζ K D ζ S D 2 ζ E Gartenbrunnen D 9,0Üm Abb. 3 Gartenbrunnen mit Rohrsystem und Zierbrunnen Fontäne 0,5Üm ζ K h Fontäne Ü=Ü4Üm D = 7.5cm D 2 = 5cm h Fontäne = 4m ρ W = 000kg/m 3 g = 9.8m/s 2 ν = 0 6 m 2 /s ζ E = 0,3 ζ K = 0,4 ζ S = 0,5 k s,rohr = 0.5mm η = 0,8 (a) Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit c Fontäne des Wassers, die erforderlich ist, um die gewünschte Höhe der Fontäne h Fontäne = 4m zu erreichen. Wert c Fontäne 8.86m/s 0,5 (b) Berechnen Sie die installierte Pumpenleistung, die erforderlich ist um die Fontäne zu betreiben Hinweis : Der Schieber wird mit derselben Geschwindigkeit wie das zweite Rohrsegment durchströmt. Wert P inst 7.54kW 0,5 Seite 9 von 3

11 (c) Bestimmen Sie die Druckdifferenz p 0 p A zwischen dem Punkt A direkt vor der Pumpe und der Umgebung. Wert p 0 p A Pa 0,5 a) Zunächst wird die erforderliche Austrittsgeschwindigkeit über die Bernoulli-Gleichung im freien Wasserstrahl berechnet. Dabei ist Punkt 0 auf Höhe der Austrittsöffnung der Fontänendüse und Punkt befindet sich am Scheitelpunkt der Fontäne. mit b) c 2 Fontäne 2g + p 0 ρg + z 0 = c2 2g + p ρg + z a () p 0 = p (2) z 0 = 0 (3) c = 0 (4) z = h Fontäne jew. 0,25 (5) c Fontäne = 2g h Fontäne c = 8.86m/s (6) Bernoulli-Gleichung zwischen Grundwasserspiegel und Scheitelpunkt Fontäne ρ c p 0 + g ρ z 0 + Ẇ2 V = ρ c2 Fontäne + p + g ρ z + p Verlust 2 2d (7) Die Verluste p Verlust lassen sich gemäß Gl. 6.2 der FS in Rohrreibungsverluste und Verluste durch Rohreinbauten (Krümmer usw.) unterteilen: p 2 = 2 ρc2 k λ k Für das vorliegende System ergibt sich daher k l k d k + i 2 ρc2 i ζ i (8) mit der Geschwindigkeit p 2 = 2 ρc2 λ l d + 2 ρc2 2λ 2 l 2 d ρc2 (ζ E + ζ K ) + 2 ρc2 2(ζ S + ζ K ) (9) jew. 0,5 > 2e (20) c 2 = c Fontäne (2) Seite 0 von 3

12 im zweiten Rohrabschnitt und A 2 m = m 2 0,5f c = c Fontäne = 3.938m/s (22) A im ersten Rohrabschnitt. Die Rohrreibungszahl λ wird mithilfe des Moodydiagramm bestimmt: Rohr : Rohr 2: Re = c D = ν g (23) k s,rohr /D = (24) λ = h (25) Re 2 = c 2 D 2 = ν i (26) k s,rohr /D 2 = (27) Damit ergeben sich die Strömungsverluste in dem Rohrsystem zu Die erforderliche installierte Pumpenleistung beträgt daher λ 2 = j (28) p 2 = Pa (29) Ẇ 2 = (ρ g h 2 + p 2 ) c π D 2 4η 2k (30) h 2 ist hier die Höhendifferenz zwischen Wasseroberfläche und Scheitelpunkt der Fontäne cy) Bernoulli-Gleichung zwischen Grundwasserspiegel und Punkt A: Mit den Verlusten ergibt sich c 2 0 g + p 0 ρ + z 0 g = c2 2 + p A ρ + z A g + p Verlust l (3) p Verlust = 2 ρc2 λ l d m + 2 ρc2 (ζ E + ζ K ) n (32) (p 0 p A ) = ρ c2 2 + (z A z 0 ) g ρ + 2 ρc2 λ l d + 2 ρc2 (ζ E + ζ K ) = Pa (33) Seite von 3

13 3. Kompressible Strömungen 3.. Gasbehälter mit Kolben (8,5 Punkte) 00 Ein sehr großer zylindrischer Gasbehälter wird gegenüber der Atmosphäre von einem Kolben vollkommen abgedichtet. Der Kolben mit der Masse m erzeugt im Behälter einen homogenen Druck p. An der Stelle 2 im Behälterboden strömt das Gas aufgrund des Drucks p mit der Geschwindigkeit c 2 ins Freie. Zwischen Kolben und Behälterwand sollen keine Haft- oder Reibungskräfte wirksam werden. Gegeben: Gefragt: m 2 c 2 p B p B Abb. 4 Gasbehälter mit Kolben D = 300mm T = 27 C c 2 = 00m/s p B = bar κ =,4 R i = 287NmK/kg (a) Geben Sie die Gleichung für den resultierenden Druck p in Symbolschreibweise an! p Symbolschreibweise pb + 4g m πd 2 (b) Geben Sie die Gleichung für die Kolbenmasse m an, die erforderlich ist, um die Austrittsgeschwindigkeit c 2 zu erzeugen? m Symbolschreibweise π 4 D 2 pb g ( ) κ c2 2 2 (κ ) κ κ R i T 2 Seite 2 von 3

14 (c) Wie groß ist die Kolbenmasse m sowie der Innendruck p unter Verwendung der oben genannten Größen? Wert p 06030Pa 0,5 m kg 0,5 a) Kräfteggw. am Kolben b) mit F z = 0 = F p F G F pb a (34) F p = p A (35) F G = g m (36) F pb = p B A jew. 0,5 >,5b (37) p = p B + 4g m Bei der vorgegebenen Austrittsgeschwindigkeit c 2, die bei dem isentropen Strömungsvorgang entscheidend vom Druck p und somit wiederum von der gesuchten Kolbenmasse m abhängt, ist als Ansatz Gl aus der FS zu verwenden: mit sowie p aus Aufgabenteil a) πd 2 ( p 2 = κ ρ ( c 2 p 2κ p 2 c 2 ) ) κ κ (38) (39) d (40) c = 0 (4) p 2 = p B jew. 0,5 > (42) ergibt sich die Masse des Gewichtes zu: m = π 4 D2 pb g p = p B + 4g m πd 2 ( ) κ c2 2 2 (κ ) κ κ R i T (43) (44) Seite 3 von 3