Hydrodynamik y II - Viskosität

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1 Physik A VL9 (..0) Hydrodynamik y II - Viskosität Die Viskosität ität Das Gesetz on Hagen-Poiseuille Die Stokes sche Reibung Die Reynolds-Zahl

2 Viskose Fluide Viskosität bisher: Kräfte zwischen dem strömenden Medium und den Wänden oder Kräfte zwischen den Teilchen des Mediums ernachlässigt Bernoulli-Gleichung: Druck in einem sehr langen Rohr ist konstant Beobachtung: Druckabfall: Adhäsionskräfte bremsen! Reale Flüssigkeiten und Gase besitzen eine innere Zähigkeit: Viskosität p p Ad Beobachtung: bei Rohrströmungen ist die Geschwindigkeit in der Mitte am größten, an der Wand ist sie nahezu Null: Adhäsionskräfte bremsen! p 3

3 Vi k Fl id D k bf ll Viskose Fluide - Druckabfall nach der Bernoulli-Gleichung gilt für den Druckabfall zwischen zwei Bereichen ) ( ) ( h h g p p p + Δ ρ ρ 0 und Δ p h h Für ideale Medien (Bernoulli-Gleichung gültig): reale Medien: andere Ursache für den Druckabfall: Massestrom ist abhängig on Ort, om Material ΔV Δ A t V t m I Δ Δ Δ Δ ρ ρ Massestrom 3

4 Viskose Fluide Herleitung der Viskosität ität (Newton) t Modellsystem: Zwei ebene Platten mit den Flächen A im Abstand d, zwischen denen sich eine dünne Schicht einer Flüssigkeit befindet. Einer der Platten wird gegen die andere durch eine Kraft F mit der Geschwindigkeit 0 erschoben. Durch Adhäsionskräfte zwischen den Plattenoberflächen und der Flüssigkeit werden diese aneinander haften. Betrachtung: Zerlegung der gesamten Flüssigkeitsschicht in ebene Schichten, welche sich bei Bewegung der Platten gegeneinander erschieben können. 4

5 Viskose Fluide Herleitung der Viskosität ität (Newton) t Adhäsion: die Flüssigkeitsschichten direkt an den Platten haben die Geschwindigkeit der jeweiligen Platte unten: 0, oben: 0 Die (schwächeren) h Khäi Kohäsionskräfte käft zwischen den Schichten ht (innere Reibung) ) werden die unteren die Bewegung der darüber liegenden Schichten erzögern. Geschwindigkeitsprofil (z) der Flüssigkeitsschichten in Abhängigkeit om ertikalen Abstand z on der ruhenden Platte. 5

6 Viskose Fluide Herleitung der Viskosität ität (Newton) t Die Viskosität ist definiert über die Kraft F, welche notwendig ist, die obere Platte mit konstanter Geschwindigkeit 0 gegen die untere e Platte zu erschieben. F ist proportional zur Fläche A der Platten und dem Geschwindigkeitsgefälle d/dz: Newton sches Rib Reibungsgesetz F d A dz Die Proportionalitätskonstante wird als Viskosität bezeichnet und gibt den Widerstand an, den die Flüssigkeitsschichten gegen die relatie Verschiebung gegeneinander leisten. 6

7 Viskose Fluide Herleitung der Viskosität ität (Newton) t Annahme: Bei relati geringen Geschwindigkeiten und kleinem Plattenabstand ist das Geschwindigkeitsprofil als lineare Funktion on z darstellbar: ( z) d 0 d eingesetzt in F A ergibt sich: dz Einheit der Viskosität: N s kg m m s [ ] Pa s z Viskosität 0 F d F A d A Von der Viskosität i abgeleitete Größen: Auch heute noch ielfach Fluidität erwendet wird die cgs- Einheit Poise (P) bzw. Kinematische Viskosität V kin Zentipoise (cp): 0 ρ g P 00 cp 0,Pa s cms 7

8 Viskose Fluide Die Viskosität ität Viskosität einiger Stoffe: je höher die Viskosität, desto zäher fließt der Stoff Flüssigkeiten: die Viskosität nimmt mit steigender Temperatur ab. Gase: die Viskosität nimmt bei Gasen mit steigender Temperatur zu. Ursache: zunehmende Verzahnung benachbarter Gasschichten bei zunehmender kinetischer Wärmebewegung der Gasteilchen. 8

9 Viskose Fluide Der Reibungskoeffizient i Ein iskoses Medium übt auf die sich darin bewegenden Teilchen einen Reibungswiderstand aus, welcher durch den Reibungskoeffizienten f charakterisiert wird. Der Reibungswiderstand tritt in Form einer auf das Teilchen wirkenden Kraft, der Reibungskraft F R, auf, die proportional zur Geschwindigkeit des Teilchens ist: F R f f FR Der Proportionalitätsfaktor ist der Reibungskoeffizient f. Die Einheit ist [ f ] N s s m kg s Stoke sche Gesetz 9

10 Das Gesetz on Hagen-Poiseuille ill - Strömung durch enge Rohre im Inneren eines Rohres (Radius R) wird ein Flüssigkeitszylinder mit Radius r bewegt die Reibungskraft zwischen dem Zylinder und der angrenzenden Flüssigkeitsschicht ist proportional zur Mantelfäche A und dem Geschwindigkeitsgefälle d/dr: F R d A A π r l dr F R π rl d dr r R Der Betrag der Reibungskraft ist gleich der Druckkraft, die auf den Zylinder wirkt F p AΔp π R ( p p) 0

11 Das Gesetz on Hagen-Poiseuille ill - Strömung durch enge Rohre Gleichsetzen on Reibungskraft F R und Druckkraft F p F R d π rl F p A Δp π R ( p p) dr d π rl π R ( p p ) dr und nachfolgende Integration ergibt für die Geschwindigkeit ( r) p p ( R r 4 l Die Geschwindigkeitserteilung (r) ergibt ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil für laminare Strömungen p p ( r 0) R R 4 l ) Geschwindigkeit proportional p zu R ( r R) ) 0 Geschwindigkeit direkt an den Wänden ist Null!

12 Das Gesetz on Hagen-Poiseuille ill - Strömung durch enge Rohre Massestrom/Massefluß im Hohlzylinder (Radius R, Länge l) I Δm Δt differentiell di dm dt mit dem Ausdruck für die Geschwindigkeit ρ da ρ π R dr p p 4 l R ergibt sich: I π ρ ( p 8 l p ) R 4 R 4 Gesetz on Hagen-Poiseuille Massestrom proportional zu R 4

13 Das Gesetz on Hagen-Poiseuille ill Beispiel: Pipeline (z.b. Erdgas) Der iskose Massefluss ist Viskosität - proportional zur Druckdifferenz -umgekehrt proportional p zur Länge des Rohres lange Pipelines brauchen Pumpstationen, um den Druckabfall zu kompensieren! I π ρ ( p p ) 4 R 8 l 3

14 Die Stokes sche Reibung mit der Definition des Massestroms und dem Kräftegleichgewicht zwischen Reibung und Außendruck folgt für eine mittlere Geschwindigkeit F R 8π l Reibungskraft bei der Rohrströmung: proportional zur mittleren Geschwindigkeit einen ähnlichen Ausdruck erhält man für die Reibungskraft bei der Umströmung einer Kugel F R 6π R Stokes sches Reibungsgesetz: Kraft proportional zu Die Reibung ist gleich, egal ob die Kugel in Ruhe ist und on der Flüssigkeit umströmt wird oder sich mit der Geschwindigkeit durch eine ruhende Flüssigkeit bewegt. 4

15 Die Stokes sche Reibung Frage: wie schnell sinkt eine Kugel aufgrund der Stokes schen Reibung? Idee des Kugelfalliskosimeters ll i (Stokes): Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit Gleichgewicht zwischen Schwerkraft, Auftrieb und Reibungskraft: ( σ Kugel σ 9 Flüssigkeit ) R g Sinkgeschwindigkeit einer Kugel Das Stokes sches Gesetz und der Reibungskoeffizient: Für kugelförmige Teilchen mit Radius R gilt das Stoke sche Gesetz: F 6π R F R und es ergibt sich mit F R -f f - F R / für den Reibungskoeffizienten: f 6π R 5

16 Die Reynolds-Zahl Viskosität Frage: Wo liegt bei iskosen Medien die Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung? Ein Maß für diese Grenze ist durch das Verhältnis on Dichte und Geschwindigkeit zur Viskosität gegeben, die Reynolds-Zahl Re ρ l l ist eine für den jeweiligen Strömungsorgang charakteristische Länge: Beispiele: Strömung durch Rohr l Durchmesser des Rohres Kugel in Strömung (Kugelfalliskosimeter) l Durchmesser der Kugel Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Kenngröße Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis on Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar. 6

17 Die Reynolds-Zahl Viskosität physikalische Bedeutung der Reynolds-Zahl: Die Reynolds-Zahl ist proportional zum Quotienten aus -der kinetischen Energie eines Volumenelementes mit Kantenlänge l (oder hier: kugelförmiges Flüssigkeitsteilchen mit Durchmesser lr): und E kin m 3 4 ρ π l 3 ρπ l 3 Reynolds-Zahl Re ρ l -der Reibungsarbeit, die beim Verschieben des Teilchens aufgebracht werden muss (Produkt aus der Reibungskraft nach Stokes schem Gesetz und der Strecke l): E R ( 6π l ) l 3πl E E kin R 3 ρπ l 3πl 36 ρ l Re 36 E E kin R 7

18 Die Reynolds-Zahl und ähnliche h Strömungen Eine Strömung erläuft laminar bei kleinen Re und turbulent t bi bei großen Re Reynolds-Zahl ρ l Re klein und groß sind relati und stark abhängig om jeweiligen Experiment bei Strömungen in Röhren laminarer Fluss bei Re < bei fallenden Kugeln in Flüssigkeiten laminarer Fluss bei Re < 0,! Übergang zwischen laminarem und turbulentem t Fluss bei kritischer Reynolds-Zahl Re krit Ähnliche Strömungen : Geometrisch ähnliche Körper erzeugen hydrodynamisch ähnliche Strömungen, wenn ihre Reynolds-Zahlen gleich sind bei Modellierung on Strömungen zu beachten: Verhältnis on kinetischer Energie des strömenden Mediums und der Reibungsarbeit muss wie beim Original sein zusätzlich muss geometrisches Ähnlichkeitserhältnis orhanden sein 8

19 Die Reynolds-Zahl und ähnliche h Strömungen Beispiel: Reynolds-Zahlen für Komponenten on Rohrleitungssystemen Reynolds-Zahl ρ l Re Über die Reynolds Zahlen der Komponenten on Rohrleitungssystemen kann deren Strömungserhalten und damit z.b. Drücke und Durchflussraten an beliebigen Stellen berechnet werden. Beispiel-Frage: Bei welcher kritischen Geschwindigkeit tritt in einer Kapillare mit d mm turbulente Wasserströmung auf? 0,00Pa s ; Re 300 H 0 O krit Rekrit ρ dd m s 3 krit 3,3 m/s 9

20 Die Reynolds-Zahl und ähnliche h Strömungen Beispiel : Anwendung in der Medizin Frage: Kann im Blutkreislauf (Aorta: d A 0 - m; Kapillargefäße d K m) Turbulenz auftreten? Aorta: A m/s Kapillargefäße K m/s ρ Blut 0 3 kg/m 3 ; Pas ρb d A A Re A, krit 5000 ρ B d A A Re K, krit 0,00 Aorta: Turbulenzen möglich Kapillargefäße: keine Turbulenz Abhilfe der Natur: Windkesseleffekt Dehnung der Aorta - Dehnung: Mittel zur Unterdrückung der Turbulenz - falls dies nicht mehr funktioniert: Herzflimmern! 0

21 Zusammenfassung Kraft beim Verschieben on Platten erzeugt Scherung im Medium d Newton sches Reibungsgesetz F A dz Geschwindigkeitserteilung: (r) parabolisches Geschwindigkeitsprofil in Röhren p p ( r 0) R R 4 l Massestrom: im Hohlzylinder (Radius R, Länge l) strömt der Massenstrom π ρ ( p I 8 l p ) R Reibungskraft bei der Rohrströmung: Kraft proportional zu F R 4 R 8π l 4 Gesetz on Hagen-Poiseuille Stokes sches Reibungsgesetz: Reibungskraft auf eine Kugel in Strömung proportional F R 6π R Die Reynolds-Zahl als dimensionslose Kenngröße für Strömungen laminar s. turbulent Re ρ ll