9.Vorlesung EP WS2009/10

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1 9.Vorlesung EP WS2009/10 I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität 6. Hydro- und Aerodynamik a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung b) Viskosität Versuche: Messung der Oberflächenspannung Büroklammer auf Wasser Druck in Seifenblasen Kapillaren Bernoulli (Druckänderung bei Änderung des Rohrdurchmessers) Abdecken eines Hauses Turbulente und laminare Strömungen Magnuseffekt in Wasser

2 c) Oberflächenspannung u. Kapillarität Grenzflächen zwischen flüssig, fest und gasförmig Beobachtung: Oberfläche einer Flüssigkeit an Gas verhält sich wie eine elastische Haut. Beispiele: Wassertropfen, Seifenblase F=0 F E pot Kraft F r zwischen zwei Molekülen F r Moleküle einer Flüssigkeit ziehen sich an! Kohäsion = Anziehung zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit - Im Inneren einer Flüssigkeit hat jedes Molekül viele Nachbarn (keine resultierende Anziehung, geringe Energie) - An der Oberfläche zum Gas gibt es weniger Nachbarn, d.h. es muß Arbeit geleistet werden um die Oberfläche zu vergrößern, d.h. um Moleküle an die Oberfläche zu bringen.

3 Oberflächenspannung: Bei der Vergrößerung einer Flüssigkeitsoberfläche um A muß Arbeit W verrichtet werden. Oberflächenspannung σ W A J m = 2 Beispiel: Benötigte Arbeit W beim Herausziehen einer Lamelle, siehe Bilder rechts u unten. Vernachlässigung von Schwerkraft und resultierender Hubarbeit. W F s =σ A =σ (2L s) c) Oberflächenspannung σ = F / 2L In diesem Fall bildet sich eine Oberfläche A auf beiden Seiten, deshalb Randlänge = 2 Bügellänge L. F Querschnitt des Bügels mit beidseitigen Flüssigkeitsoberflächen. Oberfläche nspannung σ= am Rand angreifende Kraft Länge des Randes N m (alternative Definition) Versuch Messung der Oberflächenspannung mit Lamelle

4 σ: eine Konstante, in begrenztem Bereich der äusseren Spannung (wie bei E,G,K), abhängig von Temperatur, evtl. gelösten Stoffen und von Umgebung (Außenmedium) Beispiele: Wasser : J/m 2 Benzol : J/m 2 Quecksilber : J/m 2 Tenside verringern die Oberflächenspannung drastisch. Ungestörte Oberflächen nehmen immer die kleinstmögliche Gesamtfläche ein (Minimalflächen). Wenn keine äußeren Kräfte wirken Kugelgestalt, weil Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat.

5 h Versuch Büroklammer

6 Versuch mit Seifenblasen Innendruck einer Seifenblase mit Kugelradius r als Folge der Oberflächenspannung σ : p = p innen p aussen = 2 σ / r Verbindet man verschieden große Seifenblasen, dann schluckt die große die kleine

7 Kapillaren Grenzflächen zwischen fest und flüssig: Abhängig davon, ob die Anziehungskraft (Adhäsion) zwischen Flüssigkeits- und Festkörpermolekülen oder die Kohäsion der Flüssigkeitsmoleküle stärker ist. Bei vollständiger Benetzung ist ϕ=0 Bei Kapillaren führt unterschiedliche Adhäsion entweder zu Kapillar-Attraktion oder Kapillar- Depression Bsp.: Glas - Wasser Bsp.: Glas - Quecksilber

8 Kapillaren Steighöhe: h = r 2σ ρ Flüss g (Herleitung: Glaskapillare vollständig benetzt F 0 = Randlänge σ = 2πr σ F G =(V ρ) g = π r² h ρ g F 0 =F G 2r σ= r² h ρ g obige Formel)

9 6. Hydro- und Aerodynamik: 6. Hydro- und Aerodynamik (Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen) blaue Linien im linken Bild Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit Dichte der Linien ist ein Maß für die Geschwindigkeit Strömungsfeld charakterisiert durch Geschwindigkeitsverteilung im Raum stationär = nicht zeitabhängig (zunächst ohne Reibung, Viskosität)

10 a) Kontinuitätsgleichung Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung : Volumenstrom durch eine Fläche A i I = V t Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles, ideales Fluid) I = V t = Ai vi = const. v 1 /v 2 = A 2 /A 1 Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an einer Engstelle zu, Ursache der Beschleunigung?

11 a) Bernoulli -Gleichung Energiebilanz an der Engstelle: Beschleunigung Kraft auf Strecke (Arbeit) Druckdifferenz (p 2 > p 1 ) Aus Energieerhaltung: kinetischer Energie + Stempelarbeit p V= const. folgt ( ρ v 2 2) + p = const = Gesamtdruck Bernoulli Gleichung Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const. Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlich der Schweredruck berücksichtigt werden: ( ρ gh) + ( ρ v 2 2) + p = const.

12 (Detaillierte Herleitung der Bernoulli-Gleichung E kin = ½ M v 1 ² < ½ M v 2 ², weil wegen der Kontinuitätsgleichung v 1 /v 2 = A 2 /A 1. Energie-Erhaltung: ½ M v 2 ² - ½ M v 1 ² = Arbeit durch Druck F 1 x 1 F 2 x 2 =p 1 A 1 x 1 p 2 A 2 x 2 =p 1 V p 2 V ½ M v² 2 + p 2 V = ½ M v² 1 +p 1 V = const. (d.h. überall). Geteilt durch V: ρ v 2 + p const. 2 =

13 Folgen der Bernoulli-Gl.: Hydrodynamisches Paradoxon: In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein reduzierter statischer Druck Bunsenbrenner Haus im Sturm Innendruck > stat. Druck oben Zerstäuber Tragfläche

14 Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in Regionen hoher Geschwindigkeit: Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehen An den Seiten der Scheibe ( Drehmoment im mittleren Bild) Beispiel: fallende Blätter

15 Magnus-Effekt bei Umströmung eines rotierenden Körpers Wegen Adhäsion an der Kugeloberfläche führt Kugel eine Wasserschicht mit sich herum*. (*Superposition der Geschwindigkeiten, s. z.b. Bergmann-Schäfer Bd I) Dadurch ist Strömungsgeschwindigkeit des Wassers rechts größer als links. Der gleiche Effekt tritt bei rotierenden Bällen in Luft auf.