Mathematik in Strömungen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik in Strömungen"

Hansl Grosse
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Mathematik in Strömungen Ein Rätsel und ein Paradoxon László Székelyhidi Jr.

2 Leonardo da Vinci

3 Tinte und Sirup

4 Tinte und Sirup Wirbelstürme

5 Tinte und Sirup Wirbelstürme Turbulenzen beim Fliegen

6 Wie groß ist der Luftwiderstand eines Balls?

7 Ein Tennisball im Windtunnel

8 R

9 Strömung U R Geschwindigkeit U Radius Dichte ρ R? Kraft F

10 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3

11 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3

12 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3

13 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ

14 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ

15 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2

16 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2

17 Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2 R 2

18 Strömung U R Newton (1687) : F proportional zu ρr 2 U 2

19 Strömung U R Newton (1687) : F = ρr 2 U 2 c w c w : Widerstandskoeffizient

20 F = c w ρr 2 U 2 Dreisatz: Wenn der Ball 2x größer/schneller ist, dann ist die Widerstandskraft 4x größer.

21 F = c w ρr 2 U 2 F R U ρ (bei konstanter Dichte )

22 F = c w ρr 2 U 2 F Falsch R U ρ (bei konstanter Dichte )

23 Das Paradoxon Experimente zeigen: Bei einer bestimmten kritischen Größe und Geschwindigkeit sinkt die Widerstandskraft mit wachsender Geschwindigkeit! G. Eiffel (1912)

24 F = c w ρr 2 U 2 Bei einer bestimmten kritischen Größe und Geschwindigkeit sinkt die Widerstandskraft mit wachsender Geschwindigkeit! Der Grund: c w nicht wirklich konstant c w RU

25 typische Größe und Geschwindigkeit eines Golfballs c w RU

26 typische Größe und Geschwindigkeit eines Golfballs c w RU

27 Mathematische Beschreibung der Strömung

28 Beschreibung der Strömung I.

29 Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen

30 Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen

31 Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen

32 Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen

33 Wir müssen gleichzeitig die Position von jedem Flüssigkeitsteilchen beschreiben

34 Wir müssen gleichzeitig die Position von jedem Flüssigkeitsteilchen beschreiben

35 Beschreibung der Strömung II.

36 Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung

37 Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit x u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung

38 Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit x u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung

39 Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung

40 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)?

41 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? u(x, t) = Geschwindigkeit der Strömung am Punkt x X(t) = Position eines Flüssigkeitsteilchens

42 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? u(x, t) = Geschwindigkeit der Strömung am Punkt x X(t) = Position eines Flüssigkeitsteilchens Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)

43 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)

44 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)

45 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)

46 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u

47 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u

48 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u

49 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u

50 Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u

51 Die Gleichungen der Strömungsmechanik

52 Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen

53 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen

54 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft

55 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ d2 X dt 2 = Kraft

56 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft

57 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft

58 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

59 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

60 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck p Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

61 Druck entsteht wegen dem Gesetz der Erhaltung der Masse

62 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

63 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

64 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p + u Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit

65 I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p + u drei Gleichungen für vier Unbekannten u =(u 1,u 2,u 3 ) und p

66 Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz ρ ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen

67 Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = (pro sekunden)

68 Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u 1 (pro sekunden)

69 Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u 1 (pro sekunden)

70 Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus =

71 Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u u 2

72 Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 div u = 1 u u u 3

73 Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz ρ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse div u =0

74 Die Navier-Stokes Gleichungen I. Das Newton sche Gesetz ρ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse div u =0 vier Gleichungen für vier Unbekannten

75 Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?

76 Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten?

77 Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten? z.b. immer schneller und schneller rotierende Wirbel...

78 Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten?

79 Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung? Millenium Preisfrage des Clay Mathematical Instituts in den USA Preis: $1 million

80 Wie reich auch immer die Fantasie des Menschen ist, Natur ist tausendfach reicher. Henri Poincaré (1897)

81 Tennis und Mathematik: Millenium Preisfragen:

Ähnliche Dokumente

Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-newton'sche Fluide

Daniel Janocha Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen e-fellows.net (Hrsg.) Band 1064 Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-newton'sche Fluide Weak solution of the Stokes equations