15 Eindimensionale Strömungen

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1 97 Durch Druckunterschiede entstehen Strömungen, die sich auf unterschiedliche Weise beschreiben lassen. Bei der Lagrange schen oder materiellen Beschreibung betrachtet man das einelne Fluidteilchen, das auch als materieller Punkt beeichnet wird, und verfolgt dessen Bahn. Zur Charakterisierung des materiellen Punktes wählt man seine Lage X für einen definierten Anfangseitpunkt. Geschwindigkeit und Beschleunigung des materiellen Punktes ergeben sich dann analog ur Kinematik des Massenpunkts durch Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit. Im Unterschied dau beschreibt man bei der Euler schen oder räumlichen Betrachtung das gesamte Strömungsfeld, d.h. man beschreibt die Eigenschaften der Strömung in Abhängigkeit eines räumlichen rtes, der vom Fluid durchströmt wird. Damit entspricht beispielsweise die Strömungsgeschwindigkeit an diesem rt der Geschwindigkeit des Fluidteilchens, das diesen rt gerade passiert. Zeitliche Ableitungen des Feldes kenneichnen jedoch nicht eitliche Änderungen von Eigenschaften des Fluidteilchens, da dieses inwischen aufgrund der Strömung seinen rt verändert hat. Um beispielsweise die Beschleunigung eines Fluidteilchens aus dem Geschwindigkeitsfeld u gewinnen, muss man neben der eitlichen Feldänderung einen konvektiven Term berücksichtigen, der die rtsänderung des Fluidteilchens widerspiegelt. In vielen technischen Anwendungen genügt eine eindimensionale Betrachtung stationärer Strömungen, die durch eitinvariante Geschwindigkeitsfelder gekenneichnet sind. Bahnlinien sind dort gleicheitig Stromlinien, die sich durch tangentiales Anschmiegen von Kurven an die Geschwindigkeitsvektoren finden lassen. Alle Stromlinien durch eine vorgegebene geschlossene Kurve bilden eine Stromröhre, die usätlich durch eine Eintritts- und eine Austrittsfläche in Strömungsrichtung begrent werden kann. Solche Abschnitte von Stromröhren eignen sich als Kontrollvolumina für Bilanen. Bei konstanter Dichte müssen beispielsweise ein- und austretender Massenstrom gleich groß sein, woraus die Kontinuitätsgleichung folgt. Die Differen von eintretendem und austretendem Impuls entspricht der Kraft auf das Fluid im Kontrollvolumen, die entgegengesett gleich große Kraft beinhaltet die dynamische Wirkung auf die Berandung des Kontrollvolumens. Eine Impulsbetrachtung eines einelnen materiellen Punktes führt auf die Euler sche Bewegungsgleichung, welche Veränderungen der Strömung aufgrund von massenspeifischen Volumenkräften und Druckunterschieden beschreibt. Durch Integration über einen Stromlinienabschnitt erhält man daraus die Bernoulli Gleichung, die einen einfachen Zusammenhang wischen den Geschwindigkeiten und Drücken an verschiedenen Abschnitten einer Strömung herstellt.

2 Beschreibung von Strömungen Vereinfachungen Ideale Flüssigkeit, d.h. reibungsfrei: 0 inkompressibel: const. Begriffe Lagrange sche (materielle) Beschreibung: Verfolgung eines einelnen Flüssigkeitsteilchens (materiellen Punkts X [ 0 y 0 0 ] T ) Lage: r r(x, t) Geschwindigkeit Beschleunigung v(x, t) dr dt a(x, t) dv dt r(t 0) X r(x, t) v(x, t) Bahnlinie Bahn r(t) r(x, t) eines einelnen Fluidteilchens X Euler sche (räumliche) Beschreibung: räumliche Beschreibung von Strömungseigenschaften,.B. Geschwindigkeitsfeld v(, t) v(, t) Stromlinie Kurve mit örtlicher Geschwindigkeit v(, T) als Tangentenrichtung bei festgehaltener Zeit T Zusammenhang: bei stationärer Strömung fallen Bahnlinien und Stromlinien usammen ein Flüssigkeitsteilchen X hat am momentanen rt r(x, t) die Geschwindigkeit v(, t) der Strömung Beschleunigung eines Fluidteilchens am rt : a(, t) dv (X, t), t v ẋ v dt t v(, t) v(, t) v(, t) t

3 Strömungsgeschwindigkeit Betrachtung einer stationären Strömung entlang einer Stromlinie Leitstromlinie Kontinuitätsgleichung Massenerhaltung s C Stromröhre raumfester Kontrollraum V A 2 A 1 v1 v2 A 1 v 1 A 2 v 2 const. Q 1 Q 2 const. Euler sche Bewegungsgleichung Impulssat für einen materiellen Punkt y dm p p d p f v v t v f 1 grad p

4 100 Bernoulli sche Gleichung Ann. stationäre Strömung, vt 0 inkompressibel, const. Schwerefeld, f [00g] T 1 d v dt v Integration der Euler schen Gleichung entlang einer Stromlinie 2 v2 2 2 p 2 gh 2 v2 1 2 p 1 gh 1 const.

5 Strömungskräfte Dynamische Kräfte von strömenden Flüssigkeiten auf ihre Berandungen A 2 Impulssat dp dt F v1 A dm v 2 v2 2 V(t+dt) materielles Kontrollvolumen V(t) F ṁ v2 v 1 mit ṁ A 1 v 1 A 2 v 2

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