D. Bestle Technische Mechanik III Schwingungen und Hydromechanik
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- Miriam Roth
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1 D. Bestle Technische Mechanik III Schwingungen und Hydromechanik Arbeitsunterlagen zur Vorlesung Oktober 2009 Lehrstuhl Technische Mechanik und Fahrzeugdynamik Prof. Dr. Ing. habil. D. Bestle
2 Prinzip der virtuellen Arbeit W e k F e T k r k 0 von d Alembert k mk a k F e k T r k 0 Langrange sche Gleichungen zweiter Art (konservative Systeme) Bewegungsgleichungen d L L 0, i 1(1) f dt ẏ i y i mit kinetische Energie T T k k, T k 1 2 m k vt Ck v Ck 1 2 T k I Ck k potentielle Energie Lagrange Funktion U U k k U k 1 2 c s2 (Feder), U k m g z (Gewicht) L : T U Bewegungsgleichungen nichtlinear M(y) ẏ. k(y, ẏ) 0 linear M ẏ. K y h(t) Eigenwertproblem M 2 K y ~ 0 charakteristische Gleichung det M 2 K 0 Eigenfrequenzen k, k 1(1) f Eigenvektoren ( M 2 k K) y~ 0 ~ y k, k 1(1) f massenorthogonal ~T y k M y~ k! 1 ~T y k K y~ k 2 k steifigkeitsorthogonal ~T y k K y~ k! 1 ~T y k M y~ k 1 2 k Modaltransformation (massenorth. EV) y Y y^, Y : y ~ 1 y~ 2 y~ f, Y T M Y E homogen 2 y^ 0 inhomogen y^.. 2 y^ h^ (t), h^ Y T h Anfangsbedingungen y^(0) Y T M y 0, y^.(0) Y T M ẏ 0 Lösung homogen y h (t) f k 1 a k y ~ k cos k t k partikulär f. harm. Erregung y p (t) M 2 K 1 h 0 cos t Kontinuierliche Systeme Randwertproblem Wellengl. ẇ. c 2 w q(x, t) + hom. RB für w, w Saite c Längsschwingung c E Torsion c G Balken ẇ. (EI A) w IV q(x, t) + hom.rb für w, w, w, w Anfangsbedingungen w(x,0) w 0 (x), ẇ(x,0) ẇ 0 (x)
3 inh. RB hom. RB w w H w R, w R erfüllt RB Eigenwertproblem Modaltransformation Wellengl. ẇ. H c2 w H q(x, t), q c 2 w R ẇ. R Balken ẇ. H EI A wiv H q(x, t) 0 q ẇ. R EI wiv A R Ortsdgl. Wellengl. W (x) c 2 W(x) 0 + RB Balken W IV (x) 4 W(x) 0, 4 : 2 A EI Eigenfrequenzen k, k 1(1) Eigenformen W k (x) mit L 0 für i j W i (x) W j (x) dx 1 für i j homogene Dgl., hom. RB ẏ. 2 y 0 inhom. Dgl., hom. RB Anfangsbedingungen + RB w(x, t) W T (x) y(t), W T : W1 (x) W n (x) ẏ. 2 y h(t), h(t) L y(0) L W w 0 (x) dx, ẏ(0) L 0 W(x) q(x, t) dx W ẇ 0 (x) dx Wellenausbreitung 0 w(x, t) f 1 (x c t) f 2 (x c t) x c t 1 2 [w 0 (x c t) w 0 (x c t) 1 c 0 ẇ 0 (x) dx] speziell: verschw. Geschw. f 1 (x) f 2 (x) 1 2 w 0 (x) x c t Fluidstatik Druck allgemein grad p f im Schwerefeld p p 0 g z Wandkraft horizontal F p A gha vertikal gekrümmt F gz C A, y D I yz z C A, z D z C I Cy z C A F [ gz c A v 0 g V] T Schwimmen Auftriebskraft Metazenterhöhe F A g V h M I x V s Strömung (stationär, inkompressibel) Kontinuitätsgleichung A 1 v 1 A 2 v 2 Bernoulli-Gleichung v2 2 2 p 2 g h 2 v2 1 2 p 1 g h 1 Toricelli sche Ausflussformel v 2gH dynamische Kraft F ṁ v2 v 1, ṁ A1 v 1 A 2 v 2
4 1 Inhalt Inhalt Literatur Methoden der Analytischen Mechanik Bisheriges Vorgehen in der Technischen Mechanik Ideale Bindungen Prinzipe der Mechanik Diskrete Schwingungssysteme Lagrange sche Gleichungen zweiter Art Konservative Schwingungssysteme Lineare Bewegungsgleichungen konservativer Schwingungssysteme Freie Koppelschwingungen konservativer Schwingungssysteme Eigenschwingungen Freie Schwingungen Orthogonalität der Eigenvektoren Erzwungene Schwingungen konservativer Schwingungssysteme Modaltransformation der homogenen Bewegungsgleichung Modaltransformation der inhomogenen Bewegungsgleichung Harmonische Erregung Kontinuierliche Schwingungssysteme Transversalschwingungen einer Saite Longitudinalschwingungen eines Stabes Torsionsschwingungen eines Rundstabes Biegeschwingungen eines Balkens Eigenschwingungen der eindimensionalen Wellengleichung Eigenlösungen Orthogonalität der Eigenfunktionen Eigenschwingungen Eigenschwingungen des Balkens Eigenlösungen Orthogonalität der Eigenfunktionen Eigenschwingungen Freie Schwingungen kontinuierlicher Systeme Superposition der Eigenlösungen Matrizendarstellung
5 2 9 Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte Kontinuierliche Systeme mit verteilten Kräften Erzwungene Schwingungen der eindimensionalen Wellengleichung Erzwungene Schwingungen des Balkens Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen Eindimensionale Wellengleichung Balkenbiegung Zusammenfassung und Anmerkungen Wellenausbreitung in eindimensionalen Kontinua D Alembert sche Lösung der eindimensionalen Wellengleichung Einfluss von Anfangs- und Randbedingungen Wellenausbreitung im Balken Fluidstatik Fluideigenschaften Statischer Druck Kräfte auf Behälterwände Resultierender Kraftwinder Ebene Behälterwände Gekrümmte Flächen Auftrieb und Schwimmstabilität Vollständig eingetauchte Körper Schwimmende Körper Eindimensionale Strömungen Beschreibung von Strömungen Strömungsgeschwindigkeit Strömungskräfte
6 3 Literatur 1. DUBBEL: Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, D. Gross, W. Hauger, und W. Schnell: Technische Mechanik, Band 1 Statik. Berlin: Springer, D. Gross, W. Hauger, W. Schnell und P. Wriggers: Technische Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Berlin: Springer, P. Hagedorn: Technische Mechanik, Band 1 Statik. Frankfurt a. M.: Verlag Harri Deutsch, P. Hagedorn: Technische Mechanik, Band 2 Festigkeitslehre. Frankfurt a. M.: Verlag Harri Deutsch, P. Hagedorn: Technische Mechanik, Band 3 Dynamik. Frankfurt a. M.: Verlag Harri Deutsch, W. Hauger, W. Schnell und D. Gross: Technische Mechanik, Band 3 Kinetik. Berlin: Springer, R. C. Hibbeler: Technische Mechanik 3 Dynamik. München: Pearson Education Deutschland GmbH, K. Magnus und H.H. Müller Slany: Grundlagen der Technischen Mechanik. Stuttgart: Teubner, W. Nachtigall: Biomechanik. Braunschweig: Vieweg, J.A. Roberson and C.T. Crowe: Engineering Fluid Mechanics. New York: Wiley & Sons, W. Schnell, D. Gross, und W. Hauger: Technische Mechanik, Band 2 Elastostatik. Berlin: Springer, 2006.
7 4
8 Sachverzeichnis 103 Sachwortverzeichnis A Amplitude, 53 Amplitudengang, 30 Anfangsbedingung, 33, 34, 35, 37 modale, 55, 60, 62 Anfangswertproblem diskreter Systeme, 20 kontinuierlicher Systeme, 52 Archimedisches Prinzip, 92 Auftrieb, 91, 92, 93 B Bahnlinie, 98 Balken, 36, 66, 76 Behälterwand, 85 eben, 87 gekrümmt, 89 horizontal, 87 vertikal, 88 Bernoulli sche Gleichung, 100 Bernoulli sche Lösung, 39 Bewegungsgleichung der Saite, 32, 58 des Balkens, 36, 58 des Dehnstabs, 34, 58 des Torsionsstabs, 35, 58 diskreter Systeme, 6, 13 Euler sche. Siehe Euler sche Bewegungsgleichung konservativer Systeme, 14 lineare, 15, 26 Biegeschwingung. Siehe Balken Bindung, 7 C charakteristische Gleichung diskreter Systeme, 18 kontinuierlicher Systeme, 41, 47 D d Alembert sche Lösung, 71, 72 Dehnstab, 34 Dichte, 79, 81 Differentialgleichung gewöhnliche, 44, 50 partielle, 31, 44, 50 Dispersion, 71 Drallsatz, 6 Druck, 79, 80, 82 hydrostatischer, 84 Druckpunkt, 85, 88 E Eigenform, 41, 48, 68 Eigenfrequenz, 17, 20, 39, 41, 44, 48, 50, 68 Eigenlösung, 68 der Wellengleichung, 40 des Balkens, 46 konservativer Systeme, 18 Eigenschwingung der Wellengleichung, 44 des Balkens, 45, 50 diskreter Systeme, 17, 18 Eigenvektor, 17, 19, 20 Eigenwertproblem, 17, 18 Energie kinetische, 12, 14 potentielle, 14 Erregung, harmonische, 28 Erstarrungsprinzip, 81, 90 erzwungene Schwingung, 57, 69 des Balkens, 61 diskreter Systeme, 23 Wellengleichung, 59 Euler sche Beschreibung, 97, 98 Euler sche Bewegungsgleichung, 99 F Fluid, 79 inkompressibles, 81 Newton sches, 79, 80 reibungsfreies, 80 Fluidstatik, 79 freie Schwingung diskreter Systeme, 20
9 104 Sachverzeichnis G kontinuierlicher Systeme, 51, 68 Gleichgewicht, 9, 15, 92 I Impulssatz, 6, 99 inhomogene Randbedingung, 69 K Kippstabilität Schwimmen, 94 Tauchen, 92 Kontinuitätsgleichung, 99 Koppelschwingung, 17 Kraftwinder, 85, 86, 86 L Lagrange sche Beschreibung, 97, 98 Lagrange sche Gleichungen, 11, 12 Lagrange Funktion, 11, 14 Linearisierung, 11, 15 Lösung homogene, 23 inhomogene, 23 M massenorthogonal, 17, 22 massenspezifische Volumenkraft, 79, 82 Metazenterhöhe, 96 Metazentrum, 91, 96 modale Entkopplung, 26 Modalmatrix, 24 Modaltransformation, 25, 26, 55, 59, 61 Mode. Siehe Eigenschwingung N Normalenvektor, 86 O Orthogonalität der Eigenfunktionen, 43, 49, 52, 55 der Reaktionen, 5 der Eigenvektoren, 22 P Partikulärlösung, 23, 28, 29 Phase, 53 Potential, 14 Prinzip der virtuellen Arbeit, 9 von d Alembert, 5, 9 Produktansatz, 39, 40, 46 R Randbedingung der Saite, 33 des Balkens, 37 des Dehnstabs, 34 des Torsionsstabs, 35 inhomogene, 63 Reflexion, 75 Resonanz, 23, 57 Rundstab, 35 S Saite, 32, 39 Schergeschwindigkeit, 80 Scherzähigkeit. Siehe Viskosität Schnittprinzip, 81, 90 Schubspannung, 79, 80 Schwebegleichgewicht, 92 Schwimmen, 93 Schwimmstabilität. Siehe Kippstabilität Schwingung erzwungene. Siehe Erzwungene Schwingung freie. Siehe Freie Schwingung Schwingungseigenform. Siehe Eigenschwingung Schwingungssystem diskretes, 11 konservatives, 11, 14, 17, 23 kontinuierliches, 31 steifigkeitsorthogonal, 22
10 Sachverzeichnis 105 Stromlinie, 98, 99 Stromröhre, 97, 99 Strömung, 97 laminar, 80 turbulent, 80 Strömungskraft, 101 Superposition der Eigenlösungen, 20, 52 der inhomogenen Lösung, 26, 65, 67 der modalen Lösungen, 27, 28 Superpositionsprinzip, 20, 52 T Tilgung, 23, 30 Torsionsstab. Siehe Rundstab V verallgemeinerte Koordinaten, 7 verallgemeinerte Kraft, 12 virtuelle Arbeit, 8 virtuelle Verrückung, 5, 7 Viskosität dynamische, 79, 80 kinematische, 80 W Wellenausbreitung, 71 Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit, 39 Wellengleichung, 39, 58, 64, 72
11 D. Bestle Technische Mechanik III Schwingungen und Hydromechanik Übungen zur Vorlesung Oktober 2009 Lehrstuhl Technische Mechanik und Fahrzeugdynamik Prof. Dr. Ing. habil. D. Bestle
D. Bestle Technische Mechanik III Schwingungen und Hydromechanik
D. Bestle Technische Mechanik III Schwingungen und Hydromechanik Arbeitsunterlagen zur Vorlesung Lehrstuhl Technische Mechanik und Fahrzeugdynamik Prof. Dr. Ing. habil. Hon. Prof. (NUST) D. Bestle 1 Inhalt
9 Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte
57 9 Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte Wirken auf ein kontinuierliches System verteilte zeitveränderliche Kräften bzw. Momente, entstehen erzwungene Schwingungen. In diesem Fall sind die partiellen
10 Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen
63 10 Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen Schwingungen eines kontinuierlichen Systems lassen sich nicht nur durch verteilte Kräfte, sondern auch durch zeitveränderliche Bindungen an
8 Freie Schwingungen kontinuierlicher Systeme
51 Freie Schwingungen sind Lösungen der partiellen Differentialgleichung gegebene Anfangs- und Randbedingungen. Das Vorgehen ist die eindimensionale Wellengleichung und die Balkenbiegung einheitlich und
6 Eigenlösungen der eindimensionalen Wellengleichung
39 Kontinuierliche Systeme lassen sich als Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden interpretieren. Daher ist ein ähnliches ösungsverhalten wie bei linearen diskreten Systemen zu erwarten, d.h. die
Lösungen der Übungsaufgaben TM III
L Lösungen der Übungsaufgaben TM III Methoden der Analytischen Mechanik a) z l cos x l sin cos b) W e Gl cos Sl sin cos c) S G cot cos 4 a) W e (mg 4cx)x b) x mg 4c a) x x b) W e (Mg mg sin )x m M sin
4 Erzwungene Schwingungen konservativer Schwingungssysteme
23 4 Erzwungene Schwingungen konservativer Schwingungssysteme Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Schwingungsgleichung findet man durch Überlagerung der homogenen Lösung (freie Schwingungen)
5 Kontinuierliche Schwingungssysteme
31 Die bisher betrachteten diskreten Schwingungssysteme bestehen aus konentrierten massebehafteten Körpern, die an diskreten Stellen über Bindungen gekoppelt sind und damit über eine endliche Zahl f von
3 Freie Koppelschwingungen konservativer Schwingungssysteme
17 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme Das Eigenschwingungsverhalten ungedämpfter Systeme ohne äußere Erregung ann durch trigonometrische Funtionen beschrieben werden, deren Frequenzen
12.1 Fluideigenschaften
79 Als Fluide bezeichnet man Kontinua mit leicht verschieblichen Teilen. Im Unterschied zu festen Körpern setzen sie langsamen Formänderungen ohne Volumenänderung nur geringen Widerstand entgegen. Entsprechend
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