Kontinuierliche Systeme und diskrete Systeme

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1 Kontinuierliche Systeme und diskrete Systeme home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/deckblatt.tex Seite 1 von 24. p.1/24

2 Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen 1. Einführung 2. Berechnung diskreter Systeme 3. Berechnung kontinuierlicher Systeme 4. Differentielle Formulierung 5. Randbedingungen home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/inhaltsverzeichnis.tex Seite 2 von 24. p.2/24

3 Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen Die Berechnung technischer oder natürlicher Systeme erfordert nachfolgend aufgeführte Schritte der Modellbildung Idealisierung des Systems auf eine Form, die berechnet werden kann Konzeptionelles Modell Aufstellung der Gleichungen bzw. der Bewegungsgleichungen, die das idealisierte System beschreiben Mathematisches Modell Lösung dieser Gleichungen Numerisches Modell Modellverifizierung und Modellvalidierung Interpretation der Ergebnisse home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/basic_einf_1.tex Seite 3 von 24. p.3/24

4 Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen Zunächst werden zwei Klassen von Systemen betrachtet Diskrete Systeme Kontinuierliche Systeme home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/basic_einf_1b.tex Seite 4 von 24. p.4/24

5 Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen Bei diskreten Systemen kann die jeweilige Systemantwort direkt mit einer endlichen Anzahl von algebraischen Zustandsgleichungen beschrieben werden. Im Gegensatz dazu werden bei kontinuierlichen Systemen die exakten Bilanzgleichungen durch (partielle) Differentialgleichungen (DGL) beschrieben. Die exakte Lösung der DGL, die alle Randbedingungen befriedigt, kann nur für relativ einfache Systeme aus einer diskreten Idealisierung, die dann wie ein diskretes physikalisches System berechnet werden kann, gewonnen werden. In der Vorlesung werden Verfahren (FEM, FDM, FVM) zur Reduktion von kontinuierlichen Systemen auf diskrete (finite/endliche) Systeme eingeführt. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/basic_einf_2.tex Seite 5 von 24. p.5/24

6 Berechnung diskreter Systeme Das wesentliche Kennzeichen eines diskreten System ist, dass sein Zustand direkt und mit ausreichender Genauigkeit durch die Werte einer endlichen Zahl von Zustandsgrößen beschrieben werden kann. Lösungsschritte: 1. Idealisierung des Systems: Das tatsächliche System wird durch einen Verband von Elementen idealisiert. 2. Gleichgewicht am Element: Die Gleichgewichtsbedingungen bzw. Bilanzgleichungen für jedes Element werden unter Verwendung der Zustandsgrößen aufgestellt. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_1.tex Seite 6 von 24. p.6/24

7 Berechnung diskreter Systeme 3 Verbund der Elemente: Die Bedingungen für den wechselseitigen Verbund der Elemente werden herangezogen, um ein Gleichgewichtssystem für die unbekannten Zustandsgrößen aufzustellen. 4 Ermittlung der Antwort: Das Gleichgewichtssystem wird nach den Zustandsgrößen aufgelöst. Dann lässt sich mit Hilfe der elementaren Gleichgewichtsbedingungen bzw. Bilanzgleichungen auch die Antwort für jedes Element ermitteln. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_1b.tex Seite 7 von 24. p.7/24

8 Berechnung diskreter Systeme Beispiel 1: Wärmeübertragungssystem Eine Wand, bestehend aus zwei homogenen Schichten. Sfrag replacements θ 1 θ 2 θ 3 θ 0 Gebiet I Gebiet II θ 4 Wärme übergangs zahl Wärme durchgangs zahl Wärme durchgangs zahl Wärme übergangs zahl 3K 2K 3K 2K Wir folgen den Schritten 1-4! Im statischen Zustand (ohne Zeiteinfluss) ist die Temperatur in der Wand durch die Temperatur θ 1 und θ 3 an den beiden Außenflächen und die Temperatur θ 2 an der Trennfläche bestimmt. Die Umgebungstemperaturen θ 0 und θ 4 sind bekannt. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_2.tex Seite 8 von 24. p.8/24

9 Berechnung diskreter Systeme Aufstellen des thermischen Gleichgewichtes stat. Wärmeleitungsgesetz q A = K θ l mit q = gesamter Wärmestrom A = Fläche θ = Temperaturgefälle in Richtung des Wärmestroms l K= Wärmedurchlässigkeit Zustandsgrößen Die Temperaturen θ 1, θ 2 und θ 3 Geometrische Größen Die Fläche A = 1m 2 und die Längen l 1 = l 2 = 1m home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_3.tex Seite 9 von 24. p.9/24

10 Berechnung diskreter Systeme Wärmeflüsse aus dem Wärmeleitungsgesetz linke Oberfläche q 1 = 3K(θ 0 θ 1 ) linke Schicht q 2 = 2K(θ 1 θ 2 ) rechte Schicht q 3 = 3K(θ 2 θ 3 ) rechte Oberfläche q 4 = 2K(θ 3 θ 4 ) Die Gleichgewichtsbedingungen (Konti-Gleichungen) für den Wärmestrom liefern die Gleichungen für die Zustandsgrößen. q 1 = q 2 = q 3 = q 4 3K(θ 0 θ 1 ) = 2K(θ 1 θ 2 ) 2K(θ 1 θ 2 ) = 3K(θ 2 θ 3 ) 3K(θ 2 θ 3 ) = 2K(θ 3 θ 4 ) home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_4.tex Seite 10 von 24. p.10/24

11 Berechnung diskreter Systeme In Matrizenform : 5K 2K 0 2K 5K 3K 0 3K 5K θ 1 θ 2 θ 3 = 3Kθ 0 0 2Kθ 4 Die Temperaturen θ 0 und θ 4 sind bekannte Randbedingungen und werden deshalb auf die rechte Seite geschrieben. Die Matrix enthält also alle Systemeigenschaften, der Vektor links die unbekannten Zustandsgrößen und die rechte Seite die bekannten Werte, die entweder durch die Randbedingungen oder als Quellen und Senken vorgegeben sind. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_disk_sys_4b.tex Seite 11 von 24. p.11/24

12 PSfrag replacements Berechnung diskreter Systeme Beispiel 2: elastisches Federsystem Drei starre Wagen auf einer horizontalen Ebene sind durch ein System von linear elastischen Federn gekoppelt. U 1, R 1 U 2, R 2 U 3, R 3 K 1 K 2 K 3 R 3 = F 3 bekannt Wir folgen den Schritten 1-4! Als Zustandsgrößen werden U 1 U 3 gewählt. Die Auslenkungen kennzeichnen die Antwort des Systems. Zur Aufstellung der Gleichungen für die Zustandsgrößen werden die Bedingungen für den Verbund der Elemente ausgeschöpft. Dies sind die statischen Gleichgewichtsbedingungen. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/bsp_federsys_1.tex Seite 12 von 24. p.12/24

13 Berechnung diskreter Systeme U 1 R 1 R K F (1) 1 1 F (2) 3 = F 3 1 K 1 U 1 = F 1 Der obere Index in Klammern bezeichnet die Feder und der untere Index den Wagen. 1 PSfrag replacements F (1) 1 + F (2) 1 = R 1 F (2) 2 + F (3) 2 = R 2 F (3) = R 3 U 1 U 2 F (2) 1 K 2 F (2) 2 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/bsp_federsys_2.tex Seite 13 von 24. p.13/24

14 Berechnung diskreter Systeme ( ) ( 1 1 K U 1 U 2 ) = ( ) F (2) 1 F (2) 2 Mit Bezug auf die Verschiebungen U 1, U 2 und U 3 gilt fuer das erste Element oder: K (1) U = F (1). K } 0 0 {{ 0 } K (1) U 1 U 2 U 3 }{{} U = F (1) 1 0, } 0 {{ } F (1) home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/bsp_federsys_3.tex Seite 14 von 24. p.14/24

15 Element 2: Berechnung diskreter Systeme K 2 K 2 0 K 2 K 2 0 } 0 0 {{ 0 } K (2) U 1 U 2 U 3 }{{} U = F (2) 1 F (2) 2 } 0 {{ } F (2) oder: K (2) U = F (2) Der Elementverbund wird auf die folgende Gleichung reduziert: K U = F. K 1 + K 2 K 2 0 K 2 K 2 + K 3 K 3 } 0 K 3 {{ K 3 } K U 1 U 2 U 3 }{{} U = F (1) 1 + F (2) 1 F (2) 2 + F (3) 2 F (3) 3 } {{ } F home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/bsp_federsys_4.tex Seite 15 von 24. p.15/24

16 Berechnung diskreter Systeme Hier sei angemerkt, dass die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix K auch aus 3 K = gewonnen werden, wobei K i die Element-Steifigkeitsmatrix ist. i=1 K i Folgerungen: Bemerkenswert ist die Analogie zwischen der Temperatur- Wärme-Strom-Analogie und der Verschiebungs-Kraft- Analogie. Bei beiden Berechnungen sind die Koeffizientenmatrizen sehr ähnlich und sie können beide auf die gleiche systematische Weise gewonnen werden. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/analogie_matrix.tex Seite 16 von 24. p.16/24

17 Berechnung kontinuierlicher Systeme Ziel: DGL s zu gewinnen, die die Gleichgewichtsbedingungen bzw. Bewegungsgleichung für das Element, Grund-bzw. Materialgesetz und Bedingungen für den Verbund der Elemente ausdrücken und im ganzen Gebiet gültig sind. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_kont_sys.tex Seite 17 von 24. p.17/24

18 Berechnung kontinuierlicher Systeme Zur endgültigen Ermittelung der Systemantwort müssen Randbedingungen formuliert werden, Anfangsbedingungen formuliert werden und Gleichgewichtsbedingungen bzw. Bewegungsgleichung und das Materialgesetz für ein typisches differentielles Element aufgestellt werden. Daraus erhält man DGL-Systeme für die Zustandsgrößen. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/berech_kont_sys_2.tex Seite 18 von 24. p.18/24

19 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/diff_formul_1.tex Seite 19 von 24 Differentielle Formulierung Beispiel: Idealer Staudamm auf durchlässigem Boden stat. Strömung undurchlässiger Rand X Y h Sickerströmung undurchlässige Staumauer Sfrag replacements p ρg z. p.19/24

20 Differentielle Formulierung PSfrag replacements q x dx dy q y+dy q x+dx q y Für ein typisches Element der Kantenlängen dx und dy (sowie dz = 1) muss die gesamte hineinströmende Flüssigkeit pro Zeiteinheit gleich der gesamten herausströmenden sein. (q y q y+dy )dx + (q x q x+dx )dy = 0 oder q y y dydx q x x dxdy = 0 (a) home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/diff_formul_2.tex Seite 20 von 24. p.20/24

21 Differentielle Formulierung Mit dem Darcy-Gesetz lässt sich die Durchflussmenge q auf das Gesamtpotential h zurückführen: q x = k h x, q y = k h y Annahme : gleichförmige Permeabilität Einsetzen von Gleichung (b) in Gleichung (a) (b) K( 2 h x h y 2 ) = 0 Laplace Gleichung Anzumerken ist: Man erhält gleiche partielle DGL bei Wärmeleitung, elektrostatischen Feldern. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/diff_formul_3.tex Seite 21 von 24. p.21/24

22 Randbedingungen Randbedingungen undurchlässiger Rand Randbedingung ist eine Stromlinie v x = v y = 0 q = 0 durchlässiger Rand Randbedingung ist Standrohrspiegelhöhe (Potential) oder Geschwindigkeit v bzw. Q = v n A. h wesentliche Randbedingung, geometrische Randbedingung, Dirichlet Randbedingung q natürliche Randbedingung, Last-Randbedingung, Neumann Randbedingung Die DGL und die Randbedingungen legen die stationäre Antwort für die lineare Strömung fest. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/diff_formul_rb.tex Seite 22 von 24. p.22/24

23 Mathematische Modellbeschreibung (ρ C) t + (V ρ C) + (F m + F t + F D ) + r = 0 Speicherterm Advektion Molekulare Diffusion Turbulente Diffusion Dispersion Quelle / Senke Strömungsmodell - Massenerhaltung - Impulserhaltung - Energieerhaltung Molekulare Diffusion F m = D m C Turbulente Diffusion F t = D t C Dispersion F D = D D C - Adsorption an Boden / Gestein - Biologischer Abbau - Wärmequellen home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/mathe_modell.tex Seite 23 von 24. p.23/24

24 Reaktiver Stofftransport c Stationäres Strömungsfeld A d v e k t i o n c A d v e k t i o n + D i f f u s i o n / D i s p e r s i o n u x Substanz b z.b. O2 u t 1 u t 2 Substanz a z.b. CH 4 (Methan) x c Substanz b Substanz a A d v e k t i o n + D i f f u s i o n / D i s p e r s i o n + R e a k t i o n (schnelle Reaktion) Substanz b Substanz a Substanz c x home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/1_disk_kont_sys/transportii.tex Seite 24 von 24. p.24/24