1 Näherung quasistatische Temperaturverteilung

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1 1 Näherung quasistatische Temperaturverteilung Behandelt wird das Braten von Fleisch, insbesondere das Braten einer Gans Die Gans wird als kugelförmig mit dem Radius r a angenommen Im Anfangszustand habe die Gans die einheitliche Anfangstemperatur T i gleich der Gartemperatur Die Oberfläche der Gans wird durch das Backrohr auf die Temperatur T a erwärmt Beim Garvorgang handelt es sich um einen Phasenübergang von ursprünglich rohem Zustand in den Zustand gebratenen Fleisches Rohes und gegartes Fleisch sind durch eine kugelflächenförmige Trennfläche mit dem Radius r i (t) - die Garfront - voneinander separiert Innerhalb der Garfront herrscht ungeändert die Temperatur T i Durch Wärmeleitung wird der Garfront die für das Garen notwendige Wärme zugeführt Dadurch bewegt sich diese Garfront beginnend von der Oberfläche ins Innere der Gans hinein Beendet ist der Garvorgang, wenn die Garfront das Zentrum der Gans erreicht Mit der Wärmestromdichte q i an der Garfront und der Garwärme pro Masseneinheit ergibt sich folgende Energiebilanz: 4 r i π q i dt = 4 r i π dr Wie üblich bezeichnet ρ die Dichte des Fleisches, von der angenommen wird, dass sie unabhängig vom Zustand des Fleisches - roh oder gar - ist Bei bekannter Wärmestromdichte q i gestattet diese Energiebilanz die Berechnung der Geschwindigkeit der Garfront: dt = 1 q i Unter der Annahme, dass im Bereich r i r r a eine näherungsweise stationäre Temperaturverteilung T = r ir a r Ta T i + T ar a T i r i

2 vorliegt, ergibt sich für die Wärmestromdichte q i = λ r a r i Ta T i Für die Geschwindigkeit der Garfront gilt dann die gewöhnliche Differentialgleichung dt = λ r a (T a T i ) 1 r i ( ) Das Integral r i r a r3 i 3 = λ r a (T a T i ) t + B dieser Differentialgleichung enthält eine Integrationskonstante B, die sich aus der Bedingung ermitteln lässt, dass die Garfront zum Zeitpnkt t = 0 mit der Oberfläche der Gans zusammenfällt: Man erhält r i (t = 0) = r a B = r3 a 3 Für die Position der Garfront in Abhängigkeit von der Zeit ergibt sich damit schließlich λ r a (T a T i ) t = r3 a 6 + r3 i 3 r i r a Der Garvorgang ist nun genau zu der Zeit t = τ beendet, zu der die Garfront das Zentrum der Gans r i (τ) = 0 erreicht Man erhält τ = r a 6 λ (T a T i) Drückt man den Radius r a der Gans durch ihre Masse m aus ergibt sich endlich die gesuchte Endformel für die Garzeit einer Gans: τ = 1 6 ( 3 4 π )/3 ρ1/3 m /3 λ (T a T i ) Im Unterschied zur Formel für die Garzeit im Buch Die Gourmetformel von DrWerner Gruber tritt die Differenz ΔT max = (T a T i ) von Backrohrtemperatur und Innentemperatur der Gans nicht im Quadrat, sondern nur linear auf

3 Dimensionsanalytische Überlegungen zur Garzeit Ohne die Annahme einer quasistatischen Temperaturverteilung und unter Verwendung der im vorigen Abschnitt eingeführten Größen zuzüglich der spezifischen Wärmekapazität c des gegarten Fleisches gilt für die gesuchte Garzeit ganz allgemein: τ = f(r a, ΔT max,, λ,, c) Die konkrete Gestalt der Funktion ist dabei unbekannt Da die Wahl des konkreten Einheitensystems keinen Einfluss auf die funktionale Abhängigkeit haben kann, muss sich diese Beziehung als Beziehung zwischen dimensionslosen Größen schreiben lassen Mittels dimensionsanalytischer Methoden lässt sich zeigen, dass es genau drei qualitativ verschiedene, dimensionslose Größen Π 1, Π und Π 3 gibt Ein möglicher Satz solcher Größen lautet: Π 1 = τ λ ΔT max r a, Π = c ΔT max und Π 3 = r a c λ Bei der Größe Π handelt es sich um das Verhältns der Wärmemenge, die pro Masseneinheit für eine Temperaturerhöhung ΔT erforderlich ist, zur Garwärme Unter Verwendung dieser drei dimensionslosen Größen, nimmt die Beziehung für die Garzeit die allgemeine Form Π 1 = f(π, Π 3 ) an Da Missverständnisse nicht zu befürchten sind, wurde wieder derselbe Funktionsname verwendet In den ursprünglichen physikalischen Größen bedeutet dies τ λ ΔT max r a = f( c ΔT max, ra c ) λ Nimmt man an, dass die Garwärme wesentlich größer ist, als die Wärmemenge c ΔT max - die Größe Π ist dann näherungsweise gleich Null - vereinfacht sich die Beziehung für die Garzeit zu τ = r a λ ΔT max f( r a c λ ) Wieder ergibt sich - im Einklang mit Abschnitt 1 - eine lineare Abhängigkeit der Garzeit vom Kehrwert der Temperaturdifferenz ΔT max 3 Überlegungen zum instationären Fall Für den allgemeineren Fall nicht quasistatischer Verhältnisse gilt es, die im gegarten Bereich gültige partielle Differentialgleichung ΔT t = a ΔT r (r r r ) mit a = λ ρ c für die Temperaturdifferenz ΔT (r)) = T (r) T i, zu lösen Zu dieser Gleichung gehören noch die Randbedingungen

4 ΔT (r = r a ) = ΔT max = T a T i ΔT (r = r i ) = 0 und die Anfangsbedingung ΔT (r < r a ) 0 Für den Radius r i der Garfront ergibt sich, wieder mit Hilfe der schon angeführten Energiebilanz, dt = λ ρ [ T r ] r=ri Durch die Einführung folgender Größen kann das Problem in dimensionslose Form gebracht werden: ˆT = ΔT ΔT max ˆr = r r a ˆt = t τ Dabei ist τ wieder die gesuchte Garzeit Das obige Gleichungssystem nimmt dann folgende Form an: ˆT ˆt = â ˆT ˆr (ˆr ˆr ˆr ) mit â = a τ ra ˆT (ˆr = 1) = 1 Tˆ(ˆr = ˆr i ) = 0 ˆT (r < 1) 0 dˆr i dˆt = ˆk[ ˆT ˆr ]ˆr=ˆri mit ˆk = λ ΔT max τ r a Wie man sieht, hängt die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung neben ˆr und ˆt noch von genau zwei dimensionslosen Parametern â und ˆk ab: ˆT = ˆT (ˆr, ˆt, â, ˆk) und ˆr i = r i (â, ˆk, ˆt) Die Garfront erreicht das Zentrum ˆr i = 0 zur Zeit ˆt = 1 Es gilt also ˆr i (ˆt = 1, â, ˆk) = f(â, ˆk) = 0 Wegen

5 f(â, ˆk) = f(â ˆk ˆk, ˆk) = g( â ˆk, ˆk) = 0 folgt daraus ˆk = h(â ˆk ) mit der durch Lösung der Differentialgleichung zu bestimmenden Funktion h( â ) In physikalischen Größen ˆk ausgedrückt bedeutet das: τ = r a λ ΔT max h( c ΔT max ) In der Grenze c ΔTmax 1 ergibt sich wieder die quasistationäre Lösung des ersten Abschnittes