Chaos im getriebenen nicht-linearen Pendel

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1 Chaos im getriebenen nicht-linearen Pendel Alle drei Ingredienzen: Nichtlinearität, Reibung, treibende Kraft 2 d θ g dθ = sinθ q + F sin 2 dt L dt ( t) D Ω D Das ist ein so genanntes physikalisches Pendel dω g = sinθ dt L dθ = ω dt q dθ + dt FD sin ( Ω t) D

2 für jeden Zeitschritt i (mit i= beginnend), berechnen Sie ω und θ ω θ if t g = ωi sinθi + L = θ + ω Δt t + Δt qω is out of range [ π, π ] substract 2π to keep it in this range θ = i i i F D sin ( Ω t ) add D i or Δt wiederholen für N--Schritte wichtige Unterschiede ) das Pendel kann den ganzen Weg um seinen Pivot-Punkt schwingen θ π 2) Werte von θ, die sich um 2π unterscheiden, entsprechen derselben Position des Pendels 3) Deshalb ist es günstig, θ im Bereich -π zu +π zu behalten

3 ) F D =0 übliche Dämpfung 2) F D =0.5, schwingendes Verhalten mit Dämpfung und Eigenfrequenz, Ω, dann getriebene Schwingungen mit Ω D 3) F D =.2, das Verhalten ist sogar für große Zeiten nicht einfach Vertikale Linien - wegen unseres Rücksetzens des Winkels, um innerhalb des Intervalls [-π, π] zu bleiben Pendel lässt sich in keiner Sorte des sich wiederholenden Verhaltens nieder chaotisches Verhalten Intuitiv: Chaotisches Verhalten ist zufällig und unvorhersehbar Wieso war unser Computerprogramm im Stande das chaotische Verhalten vorauszusagen? Aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen wissen wir: Wenn die Anfangsbedingungen gegeben sind, ist die Lösung Für alle zukünftigen Zeiten völlig bestimmt Wie kann das Verhalten gleichzeitig sowohl deterministisch als auch unvorhersehbar Zeit sein?

4 Stabilität der Lösungen zu unserer Pendel-Bewegung zwei identische Pendel: dieselbe Zeit, dieselben treibenden Kräfte, Längen, und Dämpfungsfaktoren der einzige Unterschied: Geringfügig verschiedene Anfangswinkel Δθ = θ θ 2 ) F D =0.5, scharfe kurze Abnahmen (Dips), die regelmäßig vorkommen Δθ = θ θ 2 Pendel erreicht Wendepunkt verschwindet an diesem Punkt, weil θ und θ 2 sich dann treffen müssen Was ist mit dem Plateau? Die Plateau-Werte stellen eine unveränderliche und ziemlich schnelle Abnahme mit der Zeit dar die Bewegung der zwei Pendel wird immer ähnlicher. Die Bewegung ist voraussagbar die Bewegung ist von den Anfangswerten unabhängig

5 ) F D =.2, Δθ nimmt schnell und unregelmäßig mit der Zeit zu die zwei Bahnkurven weichen sehr schnell von einander ab Δθ erreicht für große Zeiten einen konstanten Wert. Das liegt daran, dass es 2π erreicht und einfach nicht mehr größer werden kann Wiederholen der Berechnung für verschiedene θ (Δθ(t=0) gleich bleibend) Allgemeine Tendenz log ( ) λt Δ θ ~ λt Δθ e λ Lyapunov Exponent

6 Lyapunov-Exponent beschreibt sowohl chaotische als auch nicht-chaotische Regime λ < 0 λ > 0 λ = 0 nicht-chaotische Bewegung chaotische Bewegung Übergangspunkt λ > 0 das System ist sowohl deterministisch als auch unvorhersehbar! Sollten wir die Hoffnung aufgeben, das chaotische Fälle zu beschreiben?

7 Es ist klar, dass die Art, wie wir die Ergebnisse bis jetzt präsentierten, nicht sehr aufschlussreich ist ω(t) θ (ω) auch chaotisch Phasen-Raum Graph ) F D =0.5, für kurze Zeiten gibt es ein Verhalten, das von den Anfangsbedingungen abhängt das Pendel lässt sich schnell auf einer regelmäßigen Bahn im Phasen-Raum nieder, diese Endbahn ist von den Anfangsbedingungen unabhängig 2) F D =.2, viele Bahnen, die für einen oder zwei Kreise bestehen, das Verhalten ist nicht völlig zufällig

8 Der Phasen-Raum Graph für Zeiten, die in Phase mit der treibenden Kraft sind Wann ΩDt = 2nπ Wobei n eine ganze Zahl ist Das ist ein sogenannter Poincare-Schnitt Wir studieren ein Objekt (Vynil Scheibe), das mit einer hohen Geschwindigkeit rotiert, Das Objekt rotiert zu schnell, um etwas zu sehen Die Lösung ist, das Licht nur mit der Frequenz der treibenden Kraft einzuschalten ) F D =0.5, nach kurzer Zeit ist der Poincare-Schnitt um einen Punkt verteilt 2) F D =.2, nach kurzer Zeit wird der Poincare-Sektion die Trajektorie setzen, die Trajektorie wird stark von den Anfangsbedingungen nicht abhängen diese Oberfläche wird Attraktor genannt ) der Attraktor im nichtchaotischen Regime ist ein Punkt 2) der Attraktor im chaotischen Regime hat eine komplizierte (fraktale) Struktur

9 ) die numerische Lösung des nichtlinearen Pendels gibt eine Beschreibung des chaotischen Verhaltens (das sowohl deterministisch als auch unvorhersehbar ist) analytisch ist das nicht erreichbar 2) das Verhalten im chaotischen Regime ist nicht völlig zufällig, aber es kann durch einen Seltsamen Attraktor im Phasen-Raum beschrieben werden