8. Deterministisches Chaos

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Tobias Dunkle
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1 8. Deterministisches Chaos Widerspruch: deterministisch <----> chaotisch Schmetterlingseffekt: Der Flügelschlag eines Schmetterlings entscheidet über die Entwicklung eines Sturms. Allgemein: kleinste Änderungen der Systemparameter (ggfs. unterhalb der Auflösungsgrenze von Messgeräten) haben in chaotischen Systemen drastische Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems! Deterministisches Chaos: Kurzzeitverhalten des Systems voraussagbar (deterministisch)! Langzeitverhalten des Systems nicht voraussagbar! 1

2 y 1 Die Bäckertransformation 1 Ausgangspunkt: Teigstück mit quadratischen Querschnitt der Länge l = 1 y 1 Das Teigstück wird bei x = 1 durchgeschnitten 3 y Während jedes Iterationsschritts (Knetschritt) wird folgende Prozedur abgearbeitet: Der Teig wird in y-richtung auf die Hälfte zusammengestaucht und gleichzeitig in x-richtung auf die doppelte Länge gestreckt x x 1 2 Das Stück x > 1 wird auf das andere Stück gelegt. Mathematische Beschreibung: Für x n < 1/2: x n+1 = 2 x n y n+1 = (1/2) y n Für 1/2 xn < 1: x n+1 = 2 x n - 1 y n+1 = (1/2) (y n + 1) 2 x

3 Ergebnis von 15 Bäckertransformationen. Das markierte Volumen Der Kantenlänge 0.02 Wurde in 10 4 im Teig Verstreute Teilchen zerteilt. 3

4 Eigenschaften der Bäckertransformation Die Bäckertransformation ist deterministisch - aus (x n, y n ) folgt in eindeutiger Weise (x n+1, y n+1 ) - aus (x n, y n ) läßt sich auch in eindeutiger Weise (x n-1, y n-1 ) bestimmen. Fortpflanzung des Positionsfehlers in x 0 : x 0 = x + ε x (0) x n = x n + ε x (n) Bei jedem Streckvorgang des Teigs verdoppelt sich der Fehler: ε x (n) = ε x (0) 2 n = ε x (0) e n ln(2) Anwachsrate des Fehlers (Lyapunov Exponent): ln(2) Beispiel: Positionsfehler zu Beginn: ε x (0) = 2-33 m m (atomare Auflösung) ==> Positionsfehler nach 33 Transformationen: ε x (33) 1m Position (x n, y n ) ist bei großem n aufgrund unvermeidbarer Messfehler von (x 0, y 0 ) nicht vorhersehbar! ==> Deterministisches Chaos 4

5 Die Logistische Abbildung Iteration: x n+1 = λ x n (1-x n ); nichtlineare rückgekoppelte Abbildung! Wertebereich: 0 λ 4 und 0 x 1 ==> 0 x 1 λ< λ 1 = 3: Folge konvergiert gegen einen Fixpunkt (Attraktor)! x Attr. = (λ - 1)/λ λ 1 = 3 < x < λ 2 = / : Aufspaltung (Bifurkation) des Fixpunktes in zwei Attraktoren. Folge oszilliert zwischen den Attraktoren (Periode: 2)! 5

6 λ 2 < x < λ 3 : Weitere Bifurkation der beiden Attraktoren Periode der Oszillation: 4 6

Die logistische Abbildung bei großem λ Vergrößerung von λ ==> weitere Bifurkationspunkte λ n Oszillationsperiode: 2 n Abstand der Bifurkationspunkte: λ n+1 - λ n = (λ n - λ n-1 )/δ

7 Die logistische Abbildung bei großem λ Vergrößerung von λ ==> weitere Bifurkationspunkte λ n Oszillationsperiode: 2 n Abstand der Bifurkationspunkte: λ n+1 - λ n = (λ n - λ n-1 )/δ Feigenbaumkonstante: δ 4.669: (universell für alle nichtlinearen Abbildungen mit qudratischem Maximum) n : λ ; λ > λ : chaotische Bewegung der Trajektorien Periodische Bewegung in bestimmten Intervallen von λ (z.b. λ 3.83) Trajektorien definieren einen seltsamen Attraktor seltsamer Attraktor bildet Cantor Satz - Cantor-Staub - nicht verbundenes Fraktal der fraktalen Dimension d f = log2/log3 7

8 Die logistische Abbildung Bifurkationswege 8

9 Die Mandelbrotmenge Iteration: Frage: z n+1 = z 2 n + c (z n = a n + i b n ) mit z 1 : = 0 ==> z 2 = c Wohin konvergiert die Folge z n für n? Mandelbrotmenge: Alle Punkte c in der komplexen Ebene, für die die Folge zn gegen einen Endlichen Wert konvergiert! Vereinfachte, schematische Darstellung der Mandelbrotmenge. 9

Z ATTR. 0.0816 + i 0.4171 Attraktor liegt innerhalb der Mandelbrotmenge c = 0.4 + i 0.

10 Trajektorien c = i 0.34 Punkt 1 (innerhalb der Mandelbrot menge) Konvergenz der Folge gegen den Attraktor, Z ATTR i Attraktor liegt innerhalb der Mandelbrotmenge c = i 0.34 Punkt 3 (innerhalb der Mandelbrotmenge aber in Randnähe) Lansamere Konvergenz der Folge gegen einen Attraktor im inneren der Mandelbrotmenge 10

54965 Punkt 5 (am Rand der Mandelbrotmenge) nach n = 100 Iterationen

11 c = i 0.59 Punkt 4 (außerhalb der Mandelbrot menge) Folge konvergiert gegen c = i Punkt 5 (am Rand der Mandelbrotmenge) nach n = 100 Iterationen keine eindeutige Aussage über Konvergenz der Folge möglich! Trajektorie könnte bei größeren n ins unendliche laufen! 11

12 Untersuchung des Randes der Mandelbrotmenge Frage: Wieviel Iterationen n werden benötigt, bis eine Trajektorie einen erreicht, für den z n > 2? Falls für irgendein n z n > 2 gilt, wird die Folge ins Unendliche laufewn! Die Zahl der benötigten Iterationen wird in der komplexen Ebene durch verschiedene Farben gekennzeichnet! Re min = -2 Re max = 0.5 Im min = -1.2 Im max = 1.2 N max =

13 Vergrößerte Ausschnitte aus dem Apfelmännchen Remin = -1.5; Remax = -1.2; Remin = -1.28; Remax = -1.22; Immin = -0.1; Immax = 0.1 Immin = ; Immax = 0 Nmax = Nmax =

Re min = -1.25 Re max = - 1.249 Im min = -0.02375 Im max = -0.

14 Re min = Re max = Im min = Im max = N max = Eigenschaften der Mandelbrotmenge Rand der Mandelbrotmenge ist eine fraktale Struktur! Selbstähnlichkeit Alle Punkte der Mandelbrotmenge sind verbunden! 14

Juliamengen Gleiche Iterationen wie bei Mandelbrotmenge: z n+1 = z n 2 + c Aber: c = const; z 1 variabel Juliamengen: Die Punkte z 1, für die die Folge z n bei festem c

15 Juliamengen Gleiche Iterationen wie bei Mandelbrotmenge: z n+1 = z n 2 + c Aber: c = const; z 1 variabel Juliamengen: Die Punkte z 1, für die die Folge z n bei festem c gegen einen endlichen Wert (innerhalb der Mandelbrotmengen) konvergiert! Verbundene Juliamengen Verbundene Juliamengen treten auf, falls c innerhalb der Mandelbrotmenge liegt! 15

Fatou Staub (nicht verbundene Juliamengen) c = -0.5 + i c = 0.

16 Fatou Staub (nicht verbundene Juliamengen) c = i c = 0.5 Fatou Stäube treten auf, wenn c außerhalb der Mandelbrotmenge liegt! 16

Das Doppelpendel Bewegungsgleichungen: dx dt = y dy dt = cν 2 sin(x u) y 2 sin(x u) cos(x u) + b sin(u) cos(x u) abc sin(x) ac cos 2 (x u) du dt = ν dν dt = ay2 sin(x u) + ν 2 sin(x u) cos(x u) + ab

17 Das Doppelpendel Bewegungsgleichungen: dx dt = y dy dt = cν 2 sin(x u) y 2 sin(x u) cos(x u) + b sin(u) cos(x u) abc sin(x) ac cos 2 (x u) du dt = ν dν dt = ay2 sin(x u) + ν 2 sin(x u) cos(x u) + ab sin(x) cos(x u) ab sin(u) ac cos 2 (x u) x: Auslenkungswinkel des großen Pendels y: Winkelgeschwindigkeit des großen Pendels u: Auslenkwinkel des # kleinen Pendels ν: Winkelgeschwindigkeit des kleinen Pendels a, b, c: Konstanten (abhängig von der Pendelmasse und -länge) Doppelpendel ist chaotisches System! 17