Lernbereich 8: Deterministisches Chaos Experimente, Simulationen und Begriffsbildungen

Transkript

1 Lernbereich 8: Deterministisches Chaos Experimente, Simulationen und Begriffsbildungen

2 Inhaltsangebote Lernbereich Deterministisches Chaos Einführender Überblicksvortag Wir bauen EXPERIMENTIERPHASE 1 Modellierung und Moebius Populationsdynamik Theoretische Hintergründe für Beispiele aus Mechanik und Elektrik EXPERIMENTIERPHASE 2 Wege ins Chaos Herzrhythmus und Physik

3 1. Lineare und nichtlineare Systeme Linearer Federschwinger Drehpendel x Ebenes Federpendel m x+ k = 0 m y+ F ( x, y) = 0 Drehpendel mit Unwucht x m x+ F l( x, y) y l( x, y) Feder Feder ( x, y) = 0 Elektrischer Schwingkreis Elektrischer Schwingkreis mit nichtlinearem Blindelement Fadenpendel mit geringer Auslenkung Fadenpendel mit beliebiger Auslenkung 2 m l ϕ+ m g l ϕ = 0 (Stabpendel) 2 m l ϕ+ m g l sinϕ = 0 Parabelförmige Kugelmulde Kugelschale mit Mulden Magnetpendel, Doppelpendel,

4 2. Nichtlineare Systeme Dissipative Systeme (Energiedurchströmung) Konservative Systeme (Energieerhaltung) Lorenzmodell Getriebenes Drehpendel mit Unwucht und Wirbelstromdämpfung Getriebener nichtlinearer elektrischer Schwingkreis mit ohmschem Widerstand Getriebenes Einfachpendel mit Reibung Einfach- und Doppelpendel Magnetpendel (ohne Dämpfung) Planetensystem (Dreikörperproblem) Begriffe: Bifurkation Intermittenz Seltsamer Attraktor

5 3. Nichtlineare Rückkopplung 3.1. Logistische Abbildung x 2 n+ 1 = r xn ( 1 xn) = r xn r xn 3.2. Pohlsches Drehpendel 3.3. Elektrischer Schwingkreis

6 3.1. Logistische Abbildung N a N n = c*n a Populationsmodell aktuelle Tierzahl nächste Generation c : Reproduktionsfaktor c > 1 => Überbevölkerung c < 1 => Aussterben Dämpfungsfaktor (N max N a )/N max =(1- N a /N max ) N max maximal ernährbare Tierzahl mit N a /N max = x a 0<x a <1 N n /N max = x n 0<x n <1 c = r*(1-x a ) folgt die Gleichung für die logistische Abbildung x n = r*x a *(1-x a ) oder x n+1 = r*x n *(1-x n )

7 Iteration und Nichtlinearität x nichtlineare Rückkopplung 2 n + 1 = r x n ( 1 x n ) = r x n r x n 0 < r 3,0 3,0 < r 4, 0 gewöhnliches Verhalten überraschendes Verhalten

8 Iteration und Feigenbaum-Diagramm Iteration x x x r = 2,8 r = 3, 2 r = 4, 0 x Feigenbaum-Diagramm r

9 3.2. Pohlsches Drehpendel Nichtlinearität Drehschwinger mit Zusatzmasse Feder Antrieb Energiezufuhr Wirbelstromdämpfung Energieabgabe Energie strömt durch ein nichtlineares System (nichtlineares dissipatives System)

10 Drehpendel ohne Zusatzmasse lineare Spiralfeder harmonische Anregung Exzenter Wirbelstrombremse harmonische Reaktion Energiezufuhr Energieabgabe J 0 ϕ = D ϕ δ ϕ + M 0 sin ω 0t Linearität durch Spiralfeder Energieabgabe durch Wirbelstrombremse Energiezufuhr durch Exzenter

11 Diagramme des linearen Drehpendels Phasendiagramm harmonische Anregung harmonische Reaktion t Zeitdiagramm

12 Drehpendel mit Zusatzmasse Nichtlinearität durch Zusatzmasse ( m) lineare Spiralfeder harmonische Anregung Exzenter nichtharmonische Reaktion Wirbelstrombremse Energiezufuhr Energieabgabe J Z ϕ = D ϕ + m g r sin ϕ δ ϕ + M 0 sin ω 0 t Nichtlinearität durch Zusatzmasse Energiezufuhr durch Exzenter Energieabgabe durch Wirbelstrombremse

13 Diagramme des nichtlinearen Drehpendels Phasendiagramm harmonische Anregung nichtharmonische Reaktion Zweite Bifurkation Zeitdiagramm t

14 3.3. Elektrischer Schwingkreis Energiezufuhr Generator Nichtlinearität Diode als nichtlineare Kapazität Ohmscher Widerstand mit Joulescher Abwärme Energieabgabe Energie strömt durch ein nichtlineares System (nichtlineares dissipatives System)

15 Linearer elektrischer Schwingkreis Energiezufuhr Energieabgabe G 30kHz lineare Kapazität R L C harmonische Anregung U A U C harmonische Reaktion L Q+ u + u + u = L Energieabgabe durch Joulesche Wärme R 1 C R Q+ C Q u A = U sin( ω t) Linearität durch konstante Kapazität (und konstante Induktivität) Energiezufuhr durch Generator

16 Diagramme des linearen elektrischen Schwingkreises Phasendiagramm U C harmonische Anregung U C U A U A harmonische Reaktion Zeitdiagramm t

17 Nichtlinearer elektrischer Schwingkreis Energiezufuhr Energieabgabe nichlineare Kapazität G 30kHz R L C D ( U) harmonische Anregung U A U D nichtharmonische Reaktion L Q+ Energieabgabe durch Joulesche Wärme u + u + u = L R Q R Q+ U 0 (exp( ) 1) = U sin( ω t) C U o o Nichtlinearität durch spannungsabhängige Kapazität D u A Energiezufuhr durch Generator

18 Diagramme des nichtlinearen elektrischen Schwingkreises Phasendiagramm U D harmonische Anregung U D U A U A nichtharmonische Reaktion t Zeitdiagramm

19 4. Wettervorhersage und Sensitivität J/ C t/d Min. Temperatur Median Max. Temperatur 90% Band