Nichtlinearität in der klassischen Physik

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1 Nichtlinearität in der klassischen Physik Dr. Peter Schlagheck Vorlesung an der Uni Regensburg im Wintersemester 25/26 Inhaltsverzeichnis Klassische Mechanik 2. Lagrange-Formalismus Hamilton-Formalismus Kanonische Transformationen Hamilton-Jacobi Theorie Integrable Systeme Nichtintegrable Systeme Nahintegrable Dynamik 3 2. Klassische Störungstheorie Störungstheorie in mehdimensionalen Systemen Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) - Theorem Kettenbruchdarstellung irrationaler Zahlen Langlebige invariante Tori Nichtlineare Resonanzen 4 3. Poincaré-Schnitte Poincaré-Cartan-Theorem Fixpunkte flächentreuer Abbildungen Poincaré-Birkhoff-Theorem Chaos in Hamilton schen Systemen 4 4. Dynamik bei instabilen Fixpunkten Gemisch regulär-chaotische Systeme Statistische Charakteristika von Chaos Lyapunov-Exponent Kolmogorov-Entropie Dissipative Dynamik in zwei Dimensionen 4 5. Allgemeines zu nichthamilton scher Dynamik Fixpunkte dissipativer Systeme Gedmpfte Oszillatoren Poincaré-Bendixon-Theorem Gedmpfte Oszillatoren mit externen Antrieb Seltsame Attraktoren 5 6. Lorentz-Modell Fraktale Dimension Zeitreihenanalyse für seltsame Attraktoren Wege ins Chaos über Bifurkations-Szenarien 5 7. Bifurkationen Das Feigenbaum-Szenario Intermittenz Weitere Wege ins Chaos

2 Klassische Mechanik. Lagrange-Formalismus d L Lagrange-Funktion L = L( q, q, t) Lagrange-Gleichung(en) dt q Hamilton sche Prinzipalfunktion R := Impuls p = L q, t2 = L q t L( q(t), q(t), t) dt δr = + O ( (δ q) 2 ) Energie H = p q L.2 Hamilton-Formalismus Hamilton-Funktion H = H( p, q, t) Hamilton-Gleichungen p = H ( p, q) liegt im 2n-dimensionalen Phasenraum. q = H p Autonome Systeme H t Wirkungsintegral S := = (H ist Konstante der Bewegung) ( p, q) hat eindeutige Zeitentwicklung t Explizit zeitabhängige Systeme p(t ) q(t ) dt = R + Et δs = ; q = p, q 2 = p 2, erweiterter Phasenraum: P := ( E, p), Q := (t, q), H( P, Q) := H( p, q, t) E(t).3 Kanonische Transformationen Transformation ( p, q) alternativ: ( p, q) F ( P, Q) mit erzeugender Funktion F ( q, Q) : p = F φ ( P, Q) mit erzeugender Funktion φ( q, P ) = F + P Q : p = φ Poisson-Klammer } f f( p, q), g( p, q) := p g q f q f p Jacobi-Identität: f, g, h }} + g, h, f }} + df dt = H, f } h, f, g }} = E = t P = F Q ( p, q) ( P, Q) ist kanonisch. P i, P j } = = Q i, Q j } und P i, Q j } = δ ij. Satz von Liouville Die Hamilton sche Zeitentwicklung ( p(), q() ) ( p(t), q(t) ) ist kanonisch mit erzeugender Funktion F ( q(), q(t) ) = S = t p(t ) q(t )dt. Q = F P Kanonischen Transformationen, also insbesondere auch Hamilton sche Zeitentwicklung, erhalten die Volumenelemente n j= dp j dq j, n j k dp j dq j dp k dq k,..., dp dq... dp n dq n (Poincaré-Integralinvarianten)..4 Hamilton-Jacobi Theorie ( p, q) φ ( P, Q) mit H( p, q) = H ( φ q ) = H( P ) P = const. und Q(t) = Q() + t H P ( P ) 2

3 Eindimensionale Systeme H(p, x) = p2 2m + V (x) S (p, x) (I, ϑ) ( ) 2 + V (x) = E(I) S(x, I) = 2m x de ϑ = = x2 q π x 2 m dx = E de = de x q dx x 2 m [ I(E) = E(I) V (x)] π Mehrdimensionale separable Systeme [ E(I) V (x ) x2 x x x 2m [ E(I) V (x ) ] dx ] = π für x = x 2 2m [ E(I) V (x) ] dx = 2π p dx H( p, q) = j H j (p j, q j ) S( q, P ) = j S j (q j, P j ).5 Integrable Systeme Ein System mit n Freiheitsgr. ist integrabel, wenn es n unabhängige Konstanten c i mit c i, c j } = gibt. Für jedes integrable System mit gebundener Bewegung gibt es eine kanonische Transformation auf Winkel- Wirkungs-Variable ( I, ϑ) mit n Erhaltungsgrößen I i und 2π-periodischen ϑ i. Die Bewegung verläuft topologisch auf n-dimensionalen Tori..6 Nichtintegrable Systeme Ein Hamilton sches System ist nichtintegrabel, wenn es weniger unabhängige und bezüglich der Poisson- Klammer kommutierende Konstanten der Bewegung aufweist, als es Freiheitsgrade gibt. 2 Nahintegrable Dynamik 2. Klassische Störungstheorie H( I, ϑ) = H ( I) + ɛ H ( I, ϑ) mit ingegrablen System H und kleiner Störung ɛ H S infinitesimale Transformation ( I, ϑ) ( J, ϕ) mit S( ϑ, J) = ϑ J + G( ϑ, J) und G = ɛg +ɛ 2 G ( ) ( H J + ɛ G ϑ ɛh J + ɛ G ϑ +..., ϑ ) = H ( J) ( + ɛ H G ϑ + H ( J, ϑ) ) + ɛ 2! (... ) = H( J) G : (2π-) periodisch ω ( J) G ( ϑ = H ( J, ϑ) H ( J, ϑ) ) mit ω ( J) = H ϑ ( J) für Systeme mit einem Freiheitsgrad: G (J, ϑ) = ω (J) ϑ H }(J, ϑ ) dϑ mit H } = H H 2.2 Störungstheorie in mehdimensionalen Systemen Fourier-Ansatz: X ( J, ϑ) = k,...,k n X ( J, k) e i k ϑ G ( J, k) = i H ( J, k) k ω ( J) (formal divergent) 2.3 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) - Theorem ( ) Unter der Voraussetzung det 2 H i j (keine entarteten Frequenzen) existiert für hinreichend kleines ɛ zu fast jedem Frequenzvektor ω = H ein invarianter Torus von H, der hinreichend nahe am entsprechenden Torus von H liegt. ( fast jeder = jeder bis auf solche mit rationalen Frequenzverhältnissen, wo sich die Störung aufgrund der geschlossenen Bahn aufschaukeln kann.) 2.4 Kettenbruchdarstellung irrationaler Zahlen x = n + n 2 + =: [n, n 2, n 3,... ], Abbruch liefert die bestmögliche rationale Approximation von x. n

4 2.5 Langlebige invariante Tori Diejenigen KAM-Tori überleben das Anwachsen der Störung am längsten, deren Frequenzverhältnisse am schlechtesten durch rationale Zahlen approximiert werden können. [,,,... ] = Nichtlineare Resonanzen 3. Poincaré-Schnitte Visualisierung der Dynamik eines Systems mit 2 Freiheitsgraden H = H(p, p 2, q, q 2 ) im 4D-Phasenraum: Beschränkung auf 3D-Untermanigfaltigkeit konstanter Energie Definition einer 2D-Schnittfläche durch q 2 = const. (mod 2π für periodische Variablen) Die Schnittpunkte mit vorgegebener Durchstoßrichtung haben eindeutige Zeitentwicklung. Poincaré-Abbildung T (p, q ) := (p, q ) (nächster Durchstoßpunkt) 3.2 Poincaré-Cartan-Theorem geschlossene Kurven im erweiterten Phasenraum: σ : [, 2π[ ( p, q, t=) }, σ 2 : [, 2π[ ( p, q, t) } p d q Hdt = σ p d q Hdt σ 2 Poincaré-Abbildungen sind flächenerhaltend. (q 2 =, H =const.) 3.3 Fixpunkte flächentreuer Abbildungen 3.4 Poincaré-Birkhoff-Theorem 4 Chaos in Hamilton schen Systemen 4. Dynamik bei instabilen Fixpunkten 4.2 Gemisch regulär-chaotische Systeme 4.3 Statistische Charakteristika von Chaos 4.4 Lyapunov-Exponent 4.5 Kolmogorov-Entropie 5 Dissipative Dynamik in zwei Dimensionen 5. Allgemeines zu nichthamilton scher Dynamik 4

5 5.2 Fixpunkte dissipativer Systeme 5.3 Gedmpfte Oszillatoren 5.4 Poincaré-Bendixon-Theorem 5.5 Gedmpfte Oszillatoren mit externen Antrieb 6 Seltsame Attraktoren 6. Lorentz-Modell 6.2 Fraktale Dimension 6.3 Zeitreihenanalyse für seltsame Attraktoren 7 Wege ins Chaos über Bifurkations-Szenarien 7. Bifurkationen 7.2 Das Feigenbaum-Szenario 7.3 Intermittenz 7.4 Weitere Wege ins Chaos 5