Die Theorie des Kreisels in Bildern

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1 Die Theorie des Kreisels in Bildern Meinem Lehrer Herrn Siegfried Großmann zum 60. Geburtstag gewidmet Peter H. Richter Fachbereich Physik und Institut für Dynamische Systeme Universität Bremen 2800 Bremen 33 Februar 1990

2 All unsere Erkenntnis hebt von den Sinnen an, geht von da zum Verstande, und endigt bei der Vernunft. I. Kant Physik wird im fruchtbaren Miteinander von Experiment, Analytik und Numerik betrieben. S. Grossmann Einleitung Je mehr uns in der Mechanik das Chaos fasziniert, desto drängender verspüren wir das Bedürfnis, mit den integrablen Sonderfällen vertraut zu werden. Aber so sehr wir die Analytiker des vergangenen Jahrhunderts bewundern, deren Geisteskraft sich vom Problem der Kreiseldynamik zur Entwicklung der Theorie der elliptischen Integrale und Funktionen anregen ließ, so wenig befriedigt uns der Eindruck des Komplizierten, den die Beschäftigung mit ihren Arbeiten hinterlässt. Daran mag zum guten Teil der Unterschied im Zeitgeist Schuld tragen, denn um Klarheit war es den Meistern allemal zu tun. In der Einleitung ihres großen Werks zur Theorie des Kreisels schreiben F. Klein und A. Sommmerfeld [1] im Jahre 1910: Die Entwickelung der Mechanik hat, namentlich in Deutschland, eine zu ausschließliche Richtung auf das Abstrakte und Formale genommen, welche dem unmittelbaren Verständnis vielfach hinderlich entgegenwirkt. Der Studierende, welcher wohl die allgemeinen mechanischen Prinzipien analytisch herzuleiten lernt, fasst darum ihre eigentliche mechanische Bedeutung nicht immer lebendig genug auf und zeigt sich, vor ein spezielles Problem gestellt, zu dessen Lösung ungeschickt. Diesem Übelstande wünschen wir durch die eingehende Behandlung unseres Problems entgegenzutreten. Wir möchten nicht nur eine Kenntnis der Mechanik, sondern sozusagen ein Gefühl dafür begründen. Natürlich ist hierzu volle Klarheit über die geometrischen Verhältnisse der Bewegung eine erste Vorbedingung. Wir gedenken daher durch zahlreiche Figuren die geometrische Anschauung zu beleben im Gegensatze zu Lagrange, dem größten Vertreter der abstrakten Richtung in der Mechanik, welcher mit besonderer Vorliebe betonte, dass in seiner analytischen Mechanik nicht eine Figur zu finden sei. Die Schere zwischen Abstraktion und gefühlsmäßiger Hinwendung hat sich seither noch weiter geöffnet, zumal die Geometrie selbst sehr viel abstrakter geworden ist. Es wäre aber nicht vernünftig, die eine gegen die andere dieser Strategien auszuspielen: sie haben beide ihren Sinn und sollten um Vermittlung bemüht sein. Ihr Zusammenspiel, wenn es 1

3 auch eher antagonistisch als synergistisch geprägt ist, bestimmt schließlich die Richtung des Erkenntnisfortschritts. Was Klein und Sommerfeld Über die Theorie des Kreisels schreiben, erscheint aus heutiger Sicht nicht einmal sonderlich anschaulich, denn es hat sich das Interesse verlagert für das, was man anschauen möchte. Uns geht es weniger um einzelne Trajektorien im Phasenraum als um seine globale Struktur. Was die Mechaniker des neunzehnten Jahrhunderts als Vision durchaus konzipiert hatten, war ihnen vom Arbeitsaufwand her nicht realisierbar: eine konkrete Darstellung von Energieflächen als Bündel von Tori. Es gibt in unseren Mechanikbüchern erstaunlich wenig Bilder solcher Energieflächen, wenngleich alle darauf hinweisen, dass man sie mit Hilfe kanonischer Transformationen im Prinzip herstellen könne. Als Ziel der theoretischen Behandlung eines integrablen mechanischen Problems mit f Freiheitsgraden kann gelten, die Hamiltonfunktion H als Funktion von f Wirkungsvariablen I 1,..., I f darzustellen. Abgesehen von der diskreten Mehrdeutigkeit bei der Auswahl von Fundamentalbahnen auf den f Tori des Systems [2] ist die Definition der Wirkungen eindeutig und koordinatenunabhängig. Zu jedem f Tupel erlaubter Wirkungen gehört als Träger der Bewegung genau ein f Torus, dessen Umlauffrequenzen durch den Gradienten ( H/ I 1,... H/ I f ) der Hamiltonfunktion gegeben sind. Man kann also sagen, dass die Funktion H = H(I 1,..., I f ) alles Wichtige über die Systemdynamik enthält. Entsprechend sollte die Analysis eines jeden integrablen Problems mit der Präsentation dieser Funktion enden. Das geschieht aber nicht. Bei Klein und Sommerfeld ist von diesem Ziel ebensowenig die Rede wie in neueren Darstellungen des Kreiselproblems ([4, 5]). Dabei ist die grundsätzliche Bedeutung dieses Ziels spätestens seit der Entwicklung der Quantenmechanik offensichtlich. Am klarsten kommt das vielleicht in Borns Buch aus dem Jahre 1925 zum Ausdruck [2]. Dass dennoch so wenig konkrete Kenntnis über diesen Gegenstand vorliegt, dürfte an der früher nicht vorhandenen Rechenkapazität gelegen haben. Denn selbst wenn wie im Falle der Kreiselprobleme die Wirkungen als elliptische Integrale ausgedrückt werden können, hat man zunächst nicht mehr als Formeln auf dem Papier stehen. Wie diese sich in nichttrivialen Fällen zu mehrdimensionalen Energieflächen auswerten lassen, ist ohne numerische Hilfe wohl kaum zu ermitteln. Inzwischen ist das klarerweise anders und es gibt keinen Grund mehr, die Analyse vor Erreichen des seit altersher definierten Ziels abzubrechen. Die vorliegende Arbeit ist darum nur die natürliche Ergänzung der bekannten Kreiselabhandlungen durch das immer beschworene, aber nie gesehene Bild der Energieflächen H(I 1,..., I 3 ) = E. Es hilft der Intuition, indem es jeder Bewegungsform auf übersichtliche Weise einen Platz zuweist, und möchte damit zur Klarheit in Gefühl und Denken angesichts der zweifellos etwas komplizierten Phänomenologie beitragen. Um schließlich im oben zitierten Miteinander von Experiment, Analytik und Numerik auch dem Experiment gerecht zu werden, habe ich zum einen den Kreisel der Abb. 1 bauen lassen, um den Sinnen Nahrung zu geben, zum anderen dann auch in der Analyse berücksichtigt, dass die kardanische Aufhängung einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf das Verhalten des Kreisels nimmt. Die Natur dieses Einflusses konnte für den 2

4 Fall symmetrischer Kreisel vollständig geklärt werden und gibt ein lehrreiches Beispiel zum Thema Separatrizen ab. Anlass zur Beschäftigung mit diesem Thema waren der 75. Geburtstag von Herrn Professor Ewald Wicke, Münster, und der 60. Geburtstag von Herrn Professor Siegfried Großmann, Marburg. Für beide galt es, geeignete Geburtstagsgeschenke zu finden. Den ersten Kreisel der hier beschriebenen Art konzipierte ich zusammen mit meinem Freund Klaus Funke, der ihn in der Werkstatt des Instituts für Physikalische Chemie in Münster bauen ließ und Herrn Wicke als Geschenk des Instituts überreichte. Das Exemplar der Abb. 1 wurde in zweifacher Ausfertigung von den beiden Auszubildenden Guy Zoll und Jörg Deppe in der Mechanik Werkstatt der Universität Bremen gebaut. Eines davon erhielt Herr Großmann als Geschenk seiner ehemaligen Mitarbeiter. Der vorliegende Text ist dazu gewissermaßen die Beobachtungsanleitung. Es versteht sich von selbst, dass die meisten Bewegungsformen dieses Kreisels hier nicht erfasst sind, denn die allein untersuchten integrablen Fälle stellen nur einen kleinen Teil aller Möglichkeiten dar. Insofern bietet das Spielzeug noch viele Gelegenheiten zu neuen Entdeckungen. Es soll nicht der Eindruck erweckt werden, als handle es sich bei dem Modell um irgendetwas Neues. Kreiselmodelle gibt es seit altersher zuhauf und ich besitze keine Übersicht darüber. Betonen möchte ich nur, dass die kardanische Aufhängung hier nicht als eine störende Nebensächlichkeit angesehen, sondern mit voller Gleichberechtigung in die Betrachtung einbezogen wird (außer im Fall des asymmetrischen Kreisels, in dem ich eine Integration mit Berücksichtigung der Aufhängung nicht ernstlich versucht habe). Entsprechend haben der eigentliche Kreiselkörper und die Aufhängung vergleichbare Trägheitsmomente. Bei den numerischen Rechnungen hat mich Herr Marcus Juhnke tatkräftig unterstützt. Sie wurden zum größten Teil auf der Sun Workstation durchgeführt, die meine Arbeitsgruppe aus Mitteln der Deutschen Forschungsgemeinschaft beschaffen konnte. Die als Fotos wiedergegebenen 3D Bilder entstanden auf einer Iris Workstation des Graphiklabors Dynamische Systeme in unserem gleichnamigen Institut. Bei der Anfertigung der Zeichnungen hat mir Herr Zhang Chao feng geholfen. 3

5 1 Die Lagrangefunktionen Mit x, y, z bezeichnen wir die Achsen eines raumfesten Koordinatensystems, mit x 1, x 2, x 3 die Hauptachsen unseres Kreiselkörpers. Die relative Lage der beiden Bezugssysteme werde durch die Eulerschen Winkel ϕ, ϑ, ψ beschrieben (Abb. 2). Gemeinsamer Ursprung ist der Punkt, in dem der Kreisel ruht. Die kardanische Aufhängung stellt eine direkte Realisierung der Bewegungsfreiheitsgrade ϕ, ϑ, ψ dar (Abb. 1). Der ruhende Punkt ist der Mittelpunkt der Aufhängung. Hätten die beiden Rahmen der Aufhängung verschwindend kleine Massen, so ließe sich der kardanisch aufgehängte Kreisel durch die Bewegungsgleichungen des starren Körpers beschreiben. Tatsächlich spielt aber die Endlichkeit der Trägheitsmomente der Rahmen eine wichtige Rolle. Abb. 1 Kardanische Aufhängung. Der äußere gabelförmige Rahmen R1 repräsentiert den Freiheitsgrad ϕ. Die Achse des inneren ringförmigen Rahmens R2 ist die Knotenlinie. Die Neigung dieses Rahmens zur Vertikalen zeigt den Winkel ϑ an Der Drehwinkel des Kreiselkörpers K bzgl. der x 3 Achse ist ψ. 4

6 Abb. 2 Raumfestes x, y, z System und körperfestes x 1, x 2, x 3 System. Ihre relative Lage wird durch die Eulerschen Winkel ϕ, ϑ, ψ beschrieben. ϕ (0 ϕ 2π) beschreibt eine Rotation um die z Achse, die die x Achse in die Knotenlinie überführt. Anschließende Rotation ϑ um die Knotenlinie (0 ϑ π) führt die z Achse in die x 3 Achse über. Zuletzt bringt die ψ Rotation um die x 3 Achse (0 ψ 2π) die Knotenlinie in die Lage der x 1 Achse. Beginnen wir die Aufzählung der Energieterme deshalb mit denen der Rahmen. Zur potentiellen Energie tragen sie nicht bei. Die Beiträge zur kinetischen Energie sind für den äußeren Rahmen und T 1 = 1 2 ΘR 1 ϕ 2 (1.1) T 2 = 1 2 ΘR 2 ((1 + sin 2 ϑ) ϕ 2 + ϑ 2 ) (1.2) für den inneren Rahmen. Dabei ist Θ R 1 das Tr agheitsmoment des äußeren Rahmens bzgl. der raumfesten z Achse. Für den inneren Rahmen nehmen wir an, dass sein Tr agheitsmoment das eines idealen Rings ist. Bzgl. der Knotenlinie gilt dann Θ R 2 = 1M 2 RRR 2; bzgl. der Achse senkrecht zum Ring ist das Tr agheitsmoment doppelt so groß (M R ist die Masse, R R der Radius des inneren Rahmens). Kommen wir nun zum eigentlichen Kreiselkörper. Der Energiebeitrag eines symmetrischen Kreisels mit Schwerpunkt im Ursprung, dessen Symmetrieachse die x 3 Achse ist, beläuft sich auf T 3 = 1 2 ΘS 1 ( ϑ 2 + ϕ 2 sin 2 ϑ) ΘS 3 ( ψ + ϕ cos ϑ) 2. (1.3) Dabei ist Θ S 3 das Tr agheitsmoment des Kreisels bzgl. der x 3 Achse, Θ S 1 sein Tr agheitsmoment bzgl. einer zur x 3 Achse senkrechten Achse. Im Falle eines ringförmigen Kreisels der Masse M K mit Radius R K gilt Θ S 3 = M K RK 2 und ΘS 1 = 1 2 ΘS 3. Als nächstes berücksichtigen wir die Energie zweier auf den Halterungsstäben des Ringkreisels (der x 1 Achse) symmetrisch angebrachter Gewichte, deren Schwerpunkt wieder im Ursprung liege. Wir vernachlässigen das Tr agheitsmoment bzgl. der x 1 Achse und nennen das Tr agheitsmoment bzgl. der x 2 und der x 3 Achse Θ A. Die kinetische Energie dieser Gewichte ist T 4 = 1 ( 2 ΘA ( ψ + ϕ cos ϑ) 2 + ( ϕ sin ϑ cos ψ ϑ ) sin ψ) 2. (1.4) 5

7 T 3 und T 4 zusammen charakterisieren einen asymmetrischen Kreisel. Zuletzt lassen wir auf der x 3 Achse im Abstand R G vom Ursprung noch ein Gewicht der Masse M G zu. Es trägt außer einem weiteren kinetischen Energieterm T 5 auch zur potentiellen Energie bei: T 5 = 1 2 ΘG ( ϑ 2 + ϕ 2 sin 2 ϑ), (1.5) V = g M G R G (1 + cos ϑ). (1.6) Dabei ist Θ G = M G RG 2 und es wird vereinbart, dass ϑ = 0 die labile, ϑ = π die stabile Gleichgewichtslage der Konfiguration beschreibt. Das vollständige Gleichungssystem für den kardanisch aufgehängten Kreisel der Abb. 1 erhalten wir aus der Lagrange-Funktion L = T V = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 V. (1.7) Benutzen wir die bekannten Beziehungen zwischen den Winkelgeschwindigkeiten ϕ, ϑ, ψ und den Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit bzgl. der drei Hauptachsen, Ω 1, Ω 2, Ω 3, vgl. (A.5), so finden wir für die kinetische Energie Ω 1 = ϕ sin ϑ sin ψ + ϑ cos ψ Ω 2 = ϕ sin ϑ cos ψ ϑ sin ψ Ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ, (1.8) T = T 0 + T R = = 1 2 Θ 1 Ω Θ 2 Ω Θ 3 Ω Θ R ϕ 2 (1.9) mit den Trägheitsmomenten Θ R = Θ R 1 + Θ R 2 Θ 1 = Θ R 2 + Θ S 1 + Θ G Θ 2 = Θ R 2 + Θ S 1 + Θ A + Θ G Θ 3 = Θ S 3 + Θ A. (1.10) Der Effekt des Rahmens ist zum einen eine effektive Erhöhung der Trägheitsmomente Θ 1 und Θ 2, was aber die Dynamik nicht qualitativ verändert, zum anderen ein zusätzlicher Term T R = 1 2 Θ R ϕ 2 in der kinetischen Energie, der nicht in das Schema der üblichen Kreiseldynamik passt und qualitativ neue Typen der Bewegung verursacht. Wir werden das System nicht in voller Allgemeinheit behandeln können, zumal es nur in speziellen Fällen integrabel ist. Der Rahmen für sich allein stellt ein integrables System dar, das in Kapitel 2 behandelt werden wird: T = T 1 + T 2 und V = 0. Ohne Rahmen gibt es bekanntermaßen [7] genau drei integrable Fälle: 6

8 1. Euler: L = T 3 + T 4 kräftefreier Kreisel; 2. Lagrange: L = T 3 + T 5 V schwerer symmetrischer Kreisel; 3. Kowalewskaja: L = T 3 + T 4 + T 5 V mit Nebenbedingung Θ 2 = Θ 3 = 2 Θ 1 das gilt hier, wenn Θ A = Θ S 3 = Θ S 1 + Θ G. Die Fälle 1 und 2 überlappen im Sonderfall L = T 3 des symmetrischen kräftefreien Kreisels, den wir in Kapitel 3 ausführlich behandeln werden. Der Lagrange-Kreisel bleibt integrabel, wenn der Rahmen hinzugenommen wird, wie wir in Kapitel 3 sehen werden. Als weitere integrable Grenzfälle kann man noch die Limites niedriger und hoher Gesamtenergie hinzunehmen. Bei geringer Gesamtenergie vollführt der Kreisel gekoppelte harmonische Schwingungen und Rotationen; bei hoher Gesamtenergie kann man die potentielle Energie vernachlässigen, und es liegt wieder der Euler Fall vor. Mir ist nicht bekannt, wie die Integrabilität der Kreiselprobleme durch die kardanische Aufhängung allgemein beeinflusst wird. Das Ziel der folgenden Abschnitte ist jeweils die Konstruktion der Energieflächen im Raum der Wirkungsvariablen. Damit erhält die unmittelbare Anschauung eine Grundlage für die störungstheoretische Behandlung kleiner Abweichungen von den integrablen Fällen und die halbklassische Quantisierung der integrablen Kreiselprobleme. Diese Anwendungen werden aber hier nicht vorgenommen. Die Integrationsverfahren sind altbekannt; sie führen in der Regel auf elliptische Integrale, die ja wesentlich zum Zwecke der Lösung von Kreiselproblemen entwickelt wurden. Dennoch habe ich die hier gezeigten Energieflächen in der umfangreichen Literatur über Kreisel nicht gefunden. Ich hoffe deshalb, mit dieser Zusammenstellung der klassischen Mechanik einige interessante Bilder hinzufügen zu können. Der in Abb. 3 gezeigte Kreisel hat etwa folgende Parameter: äußerer Rahmen: Θ R 1 = 280 kg cm 2 innerer Rahmen: Θ R 2 = 50 kg cm 2 Kreiselring: Θ S 3 = 260 kg cm 2 Θ S 1 = 130 kg cm 2 Asymmetrie: Θ A 320 kg cm 2 Gewicht: Θ G 200 kg cm 2 (1.11) Der Wert von Θ A kann durch Verschieben der Messingzylinder längs der Halterungsstäbe kontinuierlich vermindert werden. Θ G lässt sich durch Verändern der Gewichte in Stufen variieren; weitere Werte sind 130, 60 und 30 kg cm 2. Die Angaben sind mit einer 7

9 Genauigkeit von etwa 5% bestimmt. Sie zeigen, dass insbesondere der äußere Kardanrahmen eine nicht zu vernachlässigende Größe ist; trotz relativ leichten Materials (Plexiglas) verursachen die Abmessungen ein beträchtliches Trägheitsmoment. In der vorliegenden Arbeit beschränke ich mich auf integrable Fälle. In Kapitel 2 wird zunächst geklärt, wie sich die kardanische Aufhängung allein verhält. Kapitel 3 beschäftigt sich mit dem kräftefreien Fall, zuerst ohne, dann mit Berücksichtigung der Kardan Rahmen. Die Hauptteile sind Kapitel 4 und 5. Zuerst wird der Lagrange Fall des schweren symmetrischen Kreisels ohne und mit Aufhängung behandelt; Kapitel 5 ist dann dem Euler Fall des kräftefreien asymmetrischen Kreisels ohne Aufhängung gewidmet. Unerledigt bleibt hier der integrable Fall des Kowalewskaja Kreisels. Er soll in einer späteren Arbeit vorgestellt werden. 2 Die kardanische Aufhängung allein Abb. 3 Die kardanische Aufhängung ohne Kreisel. Der äußere Rahmen rotiert um die vertikale Richtung (0 ϕ 2π), der innere Rahmen um seine horizontale Achse (0 ϑ π). Die vertikale Stellung ϑ = 0 (links) ist bei ϕ Rotation instabil; dagegen sind Schwingungen um die horizontale Lage ϑ = π/2 (rechts) möglich. Ehe die vor allem interessierenden Kreiselprobleme erörtert werden, soll Klarheit über die Eigenschaften der kardanischen Aufhängung selbst bestehen. Die Abb. (3) zeigt den Aufbau der Anordnung. Es zeigt sich, dass sie zwei unterschiedliche Bewegungstypen hat, welche durch eine Separatrix getrennt sind. Die beiden Typen sind a) eine schwache ϕ Rotation bzgl. der z Achse, verbunden mit einer ϑ Rotation des inneren Rahmens; b) eine stärkere ϕ Rotation, verbunden mit einer Oszillation des inneren Rahmens um die horizontale Lage ϑ = π/2. Die Existenz dieser Separatrix wird sich als wesentlich für die kardanisch aufgehängten Kreisel erweisen. Die Lagrangefunktion der kardanischen Aufhängung ist L = T 1 + T 2 = 1 2 (ΘR 1 + Θ R 2 (1 + sin 2 ϑ)) ϕ ΘR 2 ϑ 2. (2.1) 8

10 Das System hat die zwei Freiheitsgrade ϕ und ϑ, wobei ϕ eine zyklische Variable ist. Wegen der Erhaltung der Energie E und des zu ϕ konjugierten Drehimpulses L ϕ ist die Bewegung integrabel. Die beiden Drehimpulse sind L ϕ = L ϕ = (ΘR 1 + Θ R 2 (1 + sin 2 ϑ)) ϕ (2.2) und L ϑ = L ϑ = ΘR ϑ 2, (2.3) so dass die Hamiltonfunktion wie folgt aussieht: H = 1 2 L 2 ϕ Θ R 1 + Θ R 2 (1 + sin 2 ϑ) + L2 ϑ 2 Θ R 2. (2.4) Die Energieflächen H = E sind alle ähnlich, da E durch geeignete Wahl der Einheit des Drehimpulses wegskaliert werden kann. Seien l ϕ,ϑ := L ϕ,ϑ / 2 Θ R 2 E, h := H/E und θ R := Θ R 1 /Θ R 2. (2.5) Dann hat die Energiegleichung die Form h = l 2 ϕ 1 + θ R + sin 2 ϑ + l2 ϑ = 1. (2.6) Man sieht, dass das Verhältnis θ R der Trägheitsmomente der einzige relevante Parameter des Systems ist. Die dreidimensionale Energiefläche h = 1 im Phasenraum der Variablen ϕ, ϑ, l ϕ, l ϑ ist eine einparametrige Schar zweidimensionaler Tori, wobei als Parameter der Drehimpuls l ϕ (lϕ θ R ) gewählt werden kann. Als kanonische Impulse, die diese Tori besonders einfach beschreiben, benutzen wir zwei Wirkungen i 1,2 = 1 2π C 1,2 (l ϕ dϕ + l ϑ dϑ), (2.7) wobei C 1 und C 2 nichtäquivalente Fundamentalwege auf den Tori sind. Als solche bieten sich hier an C ϕ : ϑ = const, C ϑ : ϕ = const. (2.8) Mit dem ersten Weg erhalten wir i ϕ = 1 2π 2π 0 l ϕ dϕ = l ϕ (2.9) 9

11 wegen der Konstanz von l ϕ. Der zweite Weg ist unterschiedlicher Natur, je nachdem, ob der Winkel ϑ rotiert (0 ϑ π) oder oszilliert (0 < ϑ min ϑ ϑ max < π). Mit Hilfe von Gl. (2.6) finden wir i ϑ = 1 2π l ϑ dϑ = 1 2π 1 + θ R + sin 2 ϑ i 2 ϕ 1 + θ R + sin 2 ϑ dϑ (2.10) und erkennen, dass die beiden Tori zu i 2 ϕ = lϕ 2 = 1 + θ R als Separatrizen zwischen der rotierenden und der oszillierenden ϑ Bewegung fungieren: Für i 2 ϕ < 1 + θ R sind alle ϑ erlaubt; für 1 + θ R < i 2 ϕ < 2 + θ R dagegen wird das Intervall der erlaubten ϑ Werte mit wachsendem i ϕ immer stärker auf die Umgebung von ϑ = π/2 eingeschränkt. Bei i 2 ϕ = 2 + θ R ist ϑ = π/2 der einzig mögliche Winkel; es gilt dann i ϑ = 0. Der Fall i ϕ = 0 ist ebenfalls trivial: alle Energie steckt in der Rotation des Winkels ϑ; für eine volle Umrundung ist ϑ von 0 bis π und wieder zurück zu nehmen. Die Wirkung i ϑ ist dann i ϑ = 1. Auch für die Separatrix i 2 ϕ = 1 + θ R ist das Integral (2.10) elementar lösbar; mit sin 2 ϑ = x wird i ϑ = 1 1 2π 2 0 dx (1 + θr + x)(1 x) = π arcsin θ R 2 + θ R. (2.11) Das asymptotische Verhalten ist i ϑ 1/2 θ R /π für θ R 0 (masseloser äußerer Rahmen) und i ϑ 2/(π θ R ) für θ R (masseloser innerer Rahmen). Die allgemeine Integration der Gl. (2.10) führt auf ein vollständiges elliptisches Integral. Mit Hilfe der Substitution sin 2 ϑ = x und der Integraltafel von Gradshteyn, Ryzhik, Nr /148 (oder auch der im Anhang B dargestellten Methoden) findet man i ϑ = 2 π c i ϕ ( (2 + θ R ) Π(n, k) i 2 ϕ K(k) ), (2.12) wobei K(k) und Π(n, k) die vollständigen elliptischen Integrale der ersten und dritten Art sind und für die Parameter gilt: (i) Im Bereich i 2 ϕ < 1 + θ R ist n = n rot θ R ; k = k rot n rot /n osc ; c = k rot. (2.13) (ii) Im Bereich i 2 ϕ > 1 + θ R ist n = n osc 2 + θr i 2 ϕ i 2 ϕ ; k = k osc 1/k rot ; c = 1. (2.14) 10

12 Abb. 4 Energieflächen i ϑ = i ϑ (i ϕ ; θ R ) der kardanischen Aufhängung alleine. Für θ R wurden von innen nach außen die Werte 0, 1, 2,..., 7 gewählt. Zusätzlich zu den 8 Energieflächen h = 1 ist die Separatrix eingezeichnet: im oberen Bereich rotiert der innere Rahmen, im unteren Bereich oszilliert er um die horizontale Lage. Abszisse: 3 i ϕ 3; Ordinate: 0 i ϑ 1. Der Verlauf der Kurven i ϑ = i ϑ (i ϕ ; θ R ) ist in der Abb. 4 für mehrere Werte von θ R dargestellt (0 θ R 7). Für die in Abb. 3 gezeigte Anordnung mit den Werten der Tabelle 1.11 ist θ R 5.6. Punkte auf der Achse i ϑ = 0 entsprechen reinen ϕ Rotationen bei horizontaler Lage des inneren Rahmens. Punkte auf der Achse i ϕ = 0 repräsentieren die reine ϑ Rotation bei ruhendem äußerem Rahmen. Punkte auf der Separatrix schließlich entsprechen Bewegungen, bei denen der äußere Rahmen rotiert und der innere asymptotisch in die instabile vertikale Lage einschwenkt bzw. aus ihr herausläuft. Hinsichtlich des Phasenraumvolumens dominiert bei der reinen kardanischen Aufhängung offenbar die Rotationsbewegung des Winkels ϑ gegenüber der Oszillation. Das wird sich als schwerwiegender Eingriff in die natürliche Kreiseldynamik erweisen, denn ohne die Aufhängung würde der Kreisel wegen des Zentrifugalpotentials die ϑ Rotation vermeiden. 3 Der kräftefreie symmetrische Kreisel 3.1 Der Kreisel ohne Aufhängung Als Lagrangefunktion nehmen wir allein den Energieterm T 3 : L = 1 2 ΘS 1 ( ϑ 2 + ϕ 2 sin 2 ϑ) ΘS 3 ( ψ + ϕ cos ϑ) 2. (3.1) Wir werden in diesem Abschnitt die Besonderheit Θ S 1 = Θ S 3 /2 des Ringkreisels ignorieren und den allgemeinen Fall betrachten, der nur durch Θ S 1 Θ S 3 /2 eingeschränkt ist. Solange Θ S 1 < Θ S 3, handelt es sich um einen flachen Kreisel; für langgestreckte Kreisel gilt dagegen Θ S 1 > Θ S 3. (Klein und Sommerfeld sprechen vom abgeplatteten bzw. vom verlängerten Kreisel.) Bei Θ S 1 = Θ S 3 spricht man vom Kugelkreisel. Sowohl ϕ als auch ψ sind zyklische Variable des Systems (3.1). Die Drehimpulse L ϕ = (Θ S 1 sin 2 ϑ + Θ S 3 cos 2 ϑ) ϕ + Θ S 3 ψ cos ϑ (3.2) und L ψ = Θ S 3 ( ψ + ϕ cos ϑ) (3.3) 11

13 sind darum Konstanten der Bewegung und können als Wirkungen gewählt werden, da die Wege C ϕ : dϑ = dψ = 0 und C ψ : dϕ = dϑ = 0 unabhängige fundamentale Wege auf dem durch L ϕ, L ψ und Energie charakterisierten Torus sind. Der dritte Drehimpuls L ϑ = Θ S 1 ϑ (3.4) ist i. a. nicht konstant. Seine ϑ Abhängigkeit ergibt sich aus der Energiegleichung L 2 ϑ H = + (L ϕ L ψ cos ϑ) 2 2 Θ S 1 2 Θ S 1 sin 2 + L ψ 2. (3.5) ϑ 2 Θ S 3 Da H einen konstanten Wert E hat und homogen in den Drehimpulsen ist, lässt sich die Energieabhängigkeit wieder wegskalieren. Wir definieren l ϕ,ϑ,ψ := L ϕ,ϑ,ψ / 2 Θ S 1 E und θ := Θ S 1 /Θ S 3 (3.6) und schreiben die Hamiltonfunktion dimensionslos h = lϑ 2 + (l ϕ l ψ cos ϑ) 2 sin 2 ϑ + θ lψ 2 = 1. (3.7) Dies lässt sich ohne weiteres nach l ϑ auflösen und ergibt für die dritte Wirkung neben i ϕ = l ϕ und i ψ = l ψ i ϑ = 1 l ϑ dϑ = 1 dϑ 1 (i ϕ i ψ cos ϑ) 2 2π 2π sin 2 θ iψ 2. (3.8) ϑ Der Nenner sin 2 ϑ unter der Wurzel hat zur Folge, dass außer für i ϕ = i ψ der Wert ϑ = 0 nicht angenommen werden kann; ebenso kann außer für i ϕ = i ψ der Wert ϑ = π nicht angenommen werden. Der freie Kreisel kann also hinsichtlich der Variablen ϑ i. a. nur oszillieren und nicht rotieren. Zur Auswertung des Integrals (3.8) machen wir die Substitution cos ϑ = z und erhalten i ϑ = 1 dz (1 z 2π 1 z 2 )(1 θ i 2 2 ψ ) (i ϕ i ψ z) 2. (3.9) Die Integration erstreckt sich über den Bereich zwischen den beiden Nullstellen des Radikanden z 1 und z 2, für die falls sie existieren gilt: 1 z 1 z 2 1 (für z = ±1 ist der Radikand offenbar nicht positiv). Dem Integral (3.9) sehen wir an, dass i ϑ unter den beiden Spiegelungen i ϕ i ϕ und i ψ i ψ invariant ist, da die beiden Nullstellen jeweils nur ihr Vorzeichen wechseln. Für die Energiefläche i ϑ = i ϑ (i ϕ, i ψ ; h = 1) reicht es darum aus, nur einen der vier Quadranten der (i ϕ, i ψ ) Ebene zu betrachten. Das Integral (3.9) lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes elementar auswerten (s. Anhang B ). Das Resultat ist i ϑ = 1 + (1 θ) i 2 ψ 1 2 (i ϕ i ψ ) 2 1 (i ϕ + i ψ ) 2 2 = 1 + (1 θ) i 2 ψ 12 i ϕ falls i ϕ > i ψ, i ψ falls i ϕ < i ψ. (3.10)

14 Die Energiefläche im Raum der drei Wirkungen hat daher die Gestalt (i ϑ + i ϕ ) 2 (1 θ) iψ 2 falls i ϕ > i ψ, h = 1 = (i ϑ + i ψ ) 2 (1 θ) iψ 2 falls i ϕ < i ψ. (3.11) Der Rand dieser Fläche in der Ebene i ϑ = 0 besteht aus den folgenden zweimal zwei Linienstücken: (i) In den Bereichen i ϕ < i ψ gilt einfach i 2 ψ = 1/θ (3.12) (ii) In den Bereichen i ϕ > i ψ reduziert sich Gl. (3.11) auf die Kegelschnittgleichung i 2 ϕ (1 θ) i 2 ψ = 1, (3.13) was für θ < 1 (flacher Kreisel) zwei Hyperbelbögen, für θ > 1 (langgestreckter Kreisel) zwei Ellipsenstücke beschreibt. Die Energiefläche liegt also über einer Grundfigur mit Ecken bei (i ϕ, i ψ, i ϑ ) = (± 1/θ, ± 1/θ, 0). Abb. 5 zeigt die Beispiele θ = 0.5, 1, 2, 4, 8 und 16. Abb. 5 Der Rand der Energieflächen h = 1 in der Ebene i ϑ = 0 für sechs verschiedene Werte von θ. Von außen nach innen: θ = 1/2 (flacher Kreisel), θ = 1 (Kugelkreisel), θ = 2, 4, 8, 16 (langgestreckte Kreisel). Abszisse i ϕ : , Ordinate i ψ : Die Linien i ϕ = ±i ψ wurden gezeichnet, weil über ihnen die Energieflächen einen Knick haben. 13

15 Die vollständige Energiefläche ist eine zeltartige Struktur über dieser Grundfigur. Ihre Spitze auf der i ϑ Achse liegt immer im Punkt (i ϕ, i ψ, i ϑ ) = (0, 0, 1). Im Falle des Kugelkreisels (θ = 1) erhalten wir eine ebene quadratische Pyramide. Der flache Kreisel θ < 1 wird durch ein Zelt dargestellt, das im Bereich i ϕ > i ψ konkav ist, das Zelt des langgestreckten Kreisels θ > 1 ist dort konvex. Die Abb. 6 zeigt zwei Beispiele (θ = 1 und θ = 2). Abb. 6 Energieflächen i ϑ = i ϑ (i ϕ, i ψ ; θ) des symmetrischen kräftefreien Kreisels ohne Aufhängung. Oben: θ = 1; unten: θ = 2. Die i ϕ Achse weist nach links vorn, die i ψ Achse nach rechts und die i ϑ Achse nach oben. Ein charakteristischer Zug all dieser Energieflächen ist, dass sie keine innere Krümmung besitzen; die Energie hängt nur von zwei unabhängigen Kombinationen der Wirkungsvariablen ab: für i ϕ > i ψ von i ψ und i ϑ + i ϕ, für i ϕ < i ψ von i ψ und i ϑ + i ψ. Die Frequenzen ω ϕ,ϑ,ψ = h/ i ϕ,ϑ,ψ zeigen eine entsprechende Entartung. Im ersten Fall ist die Frequenz der ϑ Oszillationen (evtl. bis auf das Vorzeichen) identisch mit der Rotationsfrequenz von ϕ, im zweiten Fall ist die ϕ Rotationsfrequenz Null; die ϕ Oszillationen verlaufen dann synchron mit den ϑ Oszillationen. Um nun die Punkte (i ϕ, i ψ, i ϑ ) der Energiefläche h = 1 anschaulich zu interpretieren, 14

16 entnehmen wir dem Anhang A, dass für das Quadrat des Drehimpulses L gilt L 2 = L 2 ϑ + (L ψ L ϕ cos ϑ) 2 sin 2 ϑ so dass die Hamiltonfunktion (3.7) sich schreiben lässt + L 2 ϕ, (3.14) h = l 2 (1 θ) l 2 ψ. (3.15) (Mit l werde der dimensionslose Drehimpuls bezeichnet, mit l sein Betrag.) Für die Wirkung i ϑ gemäß Gl. (3.10) bedeutet das l i ϕ falls i ϕ > i ψ, i ϑ = (3.16) l i ψ falls i ϕ < i ψ. Betrachten wir zunächst die Ebene i ϑ = 0. Falls i ϕ > i ψ, so folgt l = i ϕ = l ϕ = l z, d. h. der Drehimpuls hat die Richtung der raumfesten z Achse. Dann ist (s. Anhang A) der Winkel ϑ zwischen z Achse und der Figurenachse des Kreisels zeitlich konstant (L ϑ = Θ S ϑ 1 = 0). Die Figurenachse beschreibt also einen Kegel um die Richtung des Drehimpulses, den sog. Nutationskegel. (Klein/Sommerfeld [1] und Landau/Lifschitz [3] sprechen hier von regulärer Präzession ; es hat sich aber wohl eingebürgert, den Begriff Präzession für die Bewegung des Drehimpulses zu benutzen und die Bewegung der Figurenachse als Nutation zu bezeichnen [6].) Der konstante Winkel ϑ hängt von i ψ ab: Im Punkt i ϕ = i ψ = + 1/θ ist er Null; mit abnehmendem i ψ wächst er allmählich an, bis er für i ψ = 1/θ den Wert π erreicht. Dieser Übergang spielt sich im Schema der Abb. 7 am rechten Rand ab. Im Bereich i ϕ < i ψ impliziert i ϑ = 0, dass l = l ψ gilt, der Drehimpuls also in Richtung der körperfesten x 3 Achse steht. Diese ändert auf der Linie iψ 2 = 1/θ mit abnehmendem i ϕ ihre Orientierung relativ zur raumfesten z Achse. In der Abb. 7 entspricht dies dem oberen Rand. Linker und unterer Rand der Abb. 7 ergeben sich aus dem Gesagten mit Hilfe der Spiegelungen i ϕ i ϕ bzw. i ψ i ψ. Betrachten wir nun den allgemeinen Fall i ϑ 0. Im Bereich i ϕ > i ψ ist die Wirkung i ϑ der ϑ Oszillationen gerade durch die Differenz von Drehimpulsbetrag l und seiner z Komponente gegeben, vgl. Gl. (3.16). Sie wächst also mit zunehmendem Öffnungswinkel des Nutationskegels (d. h. mit abnehmendem i ψ ) und mit zunehmender Entfernung der Drehimpulsrichtung von der z Achse (d. h. mit abnehmendem i ϕ ). Die Skizzen der Abb. 7 zeigen in der Übersicht, wie die möglichen Stellungen der z Achse, des Drehimpulses und der x 3 Achse mit den Werten von i ϕ und i ψ korrelieren. Besondere Situationen liegen über den folgenden Linien vor: (i) Für i ψ = 0 bewegt sich die Figurenachse in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls. Der Öffnungswinkel des Nutationskegels ist π/2. (ii) Für i ϕ = 0 steht der Drehimpuls senkrecht auf der z Achse. 15

17 (iii) Über der Hauptdiagonalen i ϕ = i ψ berührt der Nutationskegel die positive z Achse. Es findet also durch den Punkt ϑ = 0 hindurch (den Nordpol des Polarkoordinatensystems) ein Übergang von Oszillationen zu Rotationen des Winkels ϕ statt. Die Linie stellt darum eine Separatrix dar. Die Energiefläche ist hier nicht differenzierbar, sie hat eine ausgeprägte Kante. (iv) Über der Nebendiagonalen i ϕ = i ψ berührt der Nutationskegel die negative z Achse. Der Übergang von Oszillationen zu Rotationen des Winkels ϕ findet hier durch den Südpol ϑ = π hindurch statt. In der Literatur zur Physik des kräftefreien symmetrischen Kreisels wird die Freiheit der Orientierung des Drehimpulses relativ zur z Achse i. a. nicht explizit berücksichtigt. Man legt die z Achse der Einfachheit halber in die raumfeste L Richtung und diskutiert nur die Fälle, die auf der Linie i ϑ = 0, i ϕ > i ψ vorkommen, d. h. auf dem rechten Rand der Grundfigur Abb. 5. Tatsächlich beschreiben alle anderen Punkte (i ϕ, i ψ, i ϑ ) der Energiefläche Situationen, die demgegenüber lediglich gedreht und daher physikalisch äquivalent sind. Diese Äquivalenz geht aber verloren, sobald die z Achse, etwa durch Einbetten in eine kardanische Aufhängung oder durch Anlegen eines äußeren Feldes, physikalische Bedeutung erhält. Wir werden das in den folgenden Abschnitten ausführlich diskutieren. Zur Vorbereitung auf solche Fälle ist es durchaus angemessen, die Energiefläche in ihrer vollen Ausdehnung zu präsentieren. Das gilt auch für die Quantisierung der Kreisel Dynamik gemäß den Regeln von Bohr, Sommerfeld und Maslov. Das Abzählen der Zustände muss auf der ganzen Energiefläche geschehen. Es ist besonders einfach im Falle des Kugelkreisels. Vergittern wir den Raum der Wirkungsvariablen gemäß (i ϕ, i ψ, i ϑ ) = (n 1, n 2, n 3 ) (3.17) (mit in Einheiten von 2 Θ S 1 E ), so finden wir genau dann Quantenzustände auf der Energiepyramide, wenn l = n (n = 0, 1, 2,... ). Ihr Entartungsgrad lässt sich wegen der Ebenheit der Pyramidenflächen sofort angeben: (2n + 1) 2. Es sei noch darauf hingewiesen, dass gemäß Gl. (3.16) auch der Betrag l des Drehimpulses als Wirkungsvariable dienen könnte. Er ist eine ganzzahlige Linearkombination der anderen Wirkungen, kann also durch Wahl entsprechender Integrationswege als Wirkungsintegral erhalten werden. Im Raum der Wirkungen i ϕ, i ψ und l wäre die Energiefläche h = 1 nach Gl. (3.15) ein glattes Gebilde von der Form einer Rinne mit elliptischem oder hyperbolischem Querschnitt. Für eine semiklassische Quantisierung wäre dies tatsächlich der einfachste Ausgangspunkt; die Kanten der Energieflächen im Raum der i ϕ, i ψ, i ϑ haben insofern etwas Künstliches. In den folgenden Abschnitten werden wir aber sehen, dass diese Kanten sich unter dem Einfluss der kardanischen Aufhängung und der Schwerkraft auflösen. Im Hinblick darauf stellen unsere pyramidenförmigen Energieflächen den passenden Ausgangspunkt dar. Wir werden deshalb in allem Folgenden den Wirkungen i ϕ, i ψ, i ϑ den Vorzug gegenüber anderen, im Prinzip gleichberechtigten, Linearkombinationen geben. Diese Überlegung wird im Kapitel 5 noch einmal eine Rolle spielen. 16

18 Abb. 7 Schema der relativen Stellungen von z Achse, Drehimpuls L und x 3 Achse für die möglichen Werte von i ϕ (Abszisse) und i ψ (Ordinate) am Beispiel des Kugelkreisels. Für andere Kreisel gilt bis auf Deformation des rechten und linken Randes (s. Abb. 5) Analoges. Die raumfeste z Achse ist überall als senkrecht nach oben weisend angenommen, die ebenfalls raumfeste L Richtung wird jeweils durch den Pfeil angezeigt und die körperfeste x 3 Achse des Kreisels läuft wie angegeben auf dem Nutationskegel um. In den Bereichen i ϕ > i ψ umschließt dieser Kegel die z Achse; der Winkel ϑ oszilliert mit der Frequenz, mit welcher ϕ rotiert. In den Bereichen i ϕ < i ψ liegt die z Achse außerhalb des Nutationskegels; der Winkel ϕ oszilliert nun mit derselben Frequenz wie ϑ. Auf den Diagonalen i ϕ = ±i ψ berührt der Nutationskegel gerade die z Richtung. 17

19 3.2 Der Kreisel in kardanischer Aufhängung Die Energieterme T 1, T 2, T 3 von ( ) ergeben zusammen die Lagrangefunktion des im Schwerpunkt kardanisch aufgehängten symmetrischen Kreisels: L = 1 2 (ΘR 1 + Θ R 2 (1 + sin 2 ϑ) + Θ S 1 sin 2 ϑ) ϕ (ΘS 1 + Θ R 2 ) ϑ ΘS 3 ( ψ + ϕ cos ϑ) 2. (3.18) Wieder sind die Drehimpulse L ϕ und L ψ Konstanten der Bewegung, L ϕ = (Θ R 1 + Θ R 2 + (Θ S 1 + Θ R 2 ) sin 2 ϑ + Θ S 3 cos 2 ϑ) ϕ + Θ S 3 ψ cos ϑ, (3.19) L ψ = Θ S 3 ( ψ + ϕ cos ϑ), (3.20) und können als Wirkungen I ϕ, I ψ gewählt werden. Die dritte Wirkung bedarf wiederum einer Integration mit Hilfe des Energiesatzes H = L 2 ϑ 2 (Θ S 1 + Θ R 2 ) + (L ϕ L ψ cos ϑ) 2 2 (Θ R 1 + Θ R 2 + (Θ S 1 + Θ R 2 ) sin 2 ϑ + L 2 ψ 2 Θ S 3. (3.21) Die Energie E ist wegen der Homogenität in den Drehimpulsen kein relevanter Parameter, sondern bestimmt nur deren Skala. Wir definieren ähnlich wie im vorigen Abschnitt l ϕ,ϑ,ψ := L ϕ,ϑ,ψ 2 (Θ S 1 + Θ R 2 ) E, θ := ΘS 1 + Θ R 2 Θ S 3 und θ R := ΘR 1 + Θ R 2 Θ S 1 + Θ R 2 (3.22) und erhalten die dimensionslose Hamiltonfunktion h = l 2 ϑ + (l ϕ l ψ cos ϑ) 2 θ R + sin 2 ϑ + θ l 2 ψ = 1. (3.23) Gegenüber dem Fall des symmetrischen Kreisels ohne die Aufhängung, Gl. (3.7), kommt hier als neuer Parameter lediglich die Kombination θ R der Trägheitsmomente ins Spiel. Sie wächst mit dem Gesamtträgheitsmoment von innerem und äußerem Rahmen. Wir untersuchen jetzt, wie sich das auf die Gestalt der Energiefläche auswirkt. Die Wirkung i ϑ = l ϑ dϑ/2π ergibt sich nach Substitution cos ϑ = z zu i ϑ = 1 2π dz 1 z 2 Die Symmetrie der Energiefläche (1 + θ R z 2 )(1 θ i 2 ψ ) (i ϕ i ψ z) θ R z 2. (3.24) i ϑ (i ϕ, i ψ ) = i ϑ ( i ϕ, i ψ ) = i ϑ (i ϕ, i ψ ) (3.25) 18

20 wird durch die kardanische Aufhängung nicht gestört. Zur weiteren Behandlung des Integrals benutzen wir die Abkürzungen A ψ := 1 + (1 θ)iψ 2, (3.26) und erhalten z 1,2 := 1 ( i Aψ 2 ϕ i ψ ± (1 θ iψ 2)((1 + θ R)(1 + (1 θ) iψ 2) i ϕ) 2 i ϑ = A ψ 2π dz 1 z 2 ) (3.27) (z z 1 )(z 2 z) 1 + θ R z 2 (3.28) (z 1 z 2 ). Dieses Integral ist i. a. komplizierter als ein gewöhnliches elliptisches Integral, denn der Integrand hat sechs Verzweigungspunkte ±1, ± 1 + θ R und z 1, z 2. Es gibt allerdings Grenzfälle, die wir analysieren können. Den Rest muss dann die numerische Integration leisten. Die Grenzen der Integration sind max( 1, z 1 ) und min(1, z 2 ), vorausgesetzt, z 1,2 sind reell. Es gibt dementsprechend drei Arten, nach denen der Integrationsweg auf die Länge Null schrumpfen kann; der Rand i ϑ = 0 der Energiefläche in der (i ϕ /i ψ ) Ebene setzt sich darum aus dreierlei Stücken zusammen: 1. Die Punkte z 1 und z 2 fallen im Bereich 1 z 1,2 1 zusammen. Dazu muss der Radikand der Wurzel in Gl. (3.27) verschwinden. Das ist der Fall für oder für i 2 ψ = 1/θ ; i 2 ϕ 1/θ (3.29) i 2 ϕ 1 + θ R (1 θ) i 2 ψ = 1 ; i 2 ψ 1 θ + θ R. (3.30) Die Bedingung (3.29) ist dieselbe wie im Fall ohne Aufhängung, vgl. (3.12). Die zweite Bedingung (3.30) beschreibt ähnlich wie (3.13) für θ < 1 Hyperbeläste und für θ > 1 Ellipsenbögen (s. Abb. 8). Allerdings sind diese Kegelschnittstücke aufgrund des zusätzlichen Trägheitsmoments etwas nach außen verschoben und schließen nicht mehr an die durch (3.29) definierten Stücke an. 2. z 1 1, während z 2 > 1. Dies ist der Fall längs der Ellipsenstücke (i ϕ i ψ ) 2 + θ θ R i 2 ψ = θ R ; i 2 ϕ 1/θ, i 2 ψ 1 θ + θ R. (3.31) Diese Bögen verbinden die Randstücke (3.29) und (3.30) im 1. und 3. Quadranten, s. Abb. 8. Auf diesen Randstücken der Energiefläche rotiert der Kreisel in aufrechter Stellung ϑ = 0. Was ohne die kardanische Aufhängung nur bei den speziellen Werten iϕ 2 = iψ 2 = 1/θ möglich war, spielt sich jetzt in einem Bereich ab, dessen Ausdehnung mit θ R wächst. 19

21 3. z 2 1, während z 1 < 1. Dies ist der Fall längs der Ellipsenstücke (i ϕ + i ψ ) 2 + θ θ R i 2 ψ = θ R ; i 2 ϕ 1/θ, i 2 ψ 1 θ + θ R. (3.32) Diese Bögen verbinden die Randstücke (3.29) und (3.30) im 2. und 4. Quadranten, s. Abb. 8. Auf diesen Randstücken der Energiefläche rotiert der Kreisel in der hängenden Lage ϑ = π. Auch diese Bewegungsform war ohne die kardanische Aufhängung nur bei den Werten iϕ 2 = iψ 2 = 1/θ möglich. Die Fortsetzung der Ellipsenbögen (3.31) und (3.32) in den Bereich iϕ 2 < 1/θ oder iψ 2 < 1/(θ + θ R) hat physikalische Bedeutung als ein System von Separatrizen (s. Abb. 8). Im Innern der Energiefläche beschreibt Gl. (3.31) die Situation z 2 = 1, z 1 < 1. Hier findet der Übergang von einer in aufrechter Stellung ϑ = 0 überschlagenden ϑ Bewegung (z 2 > 1) zu einer Bewegung statt, bei der ϑ vor Erreichen des Nordpols umkehrt (z 2 < 1). Auf dieser Separatrix vereinfacht sich das Integral (3.28) zu einem unvollständigen elliptischen Integral mit Grenzen max( 1, z 1 ), das nach [8], Nr , folgende Werte hat: (i) solange z 1 > 1, gilt i ϑ = 2 A ψ π z ( 1 + θ R + 1)( 1 + θ R + z 1 ) (Π(λ +, n +, k + ) F (λ +, k + )) mit F (λ, k) als unvollständigem elliptischem Integral erster Gattung und n + = 1 + θr z θr + 1, (ii) falls z 1 < 1, gilt λ + = arcsin 1 z 1 2 n +, k 2 + = (3.33) 1 + θr θr + z 1 n + ; (3.34) i ϑ = 2 A ψ π z ( 1 + θ R 1)( 1 + θ R z 1 ) ( Π(λ, n, k ) + F (λ, k )) mit (3.35) n = 1/n +, λ = 1/λ +, k = 1/k +. (3.36) 20

22 Abb. 8 Rand der Energieflächen (dick ausgezogen) und Lage der Separatrizen (dünn) in der Ebene i ϑ = 0 für drei verschiedene Werte von θ und jeweils die drei Werte θ R = 0 (innere Figur; Ellipsen sind zu Linien entartet), 0.3 (mittlere Figur) und 1.0 (äußere Figur mit großer Ellipse). Oben: θ = 1/2 (flacher Kreisel); Mitte: θ = 1 (Kugelkreisel); unten: θ = 2 (langgestreckter Kreisel). Die inneren Figuren zu θ R = 0 sind jeweils identisch mit den entsprechenden Energierändern der Abb

23 Ganz analoge Ergebnisse gelten für die Separatrix, auf der z 1 = 1 und z 2 > 1. Man erhält sie durch Spiegelung der eben betrachteten Separatrix unter i ϕ i ϕ oder i ψ i ψ. Hier findet ein entsprechender Übergang des Charakters der ϑ Bewegung am Südpol ϑ = π statt. Die beiden Separatrizen schneiden sich in den Punkten i ϕ = 0, iψ 2 = θ R/(1 + θθ R ) und i ψ = 0, iϕ 2 = θ R. Es gilt dann z 1 = 1, z 2 = 1 und das Integral (3.28) lässt sich elementar integrieren: i ϑ = 2 A ψ 1 arcsin. (3.37) π 1 + θr Schließlich können wir das Integral (3.28) generell über den Linien i ϕ = 0 und i ψ = 0 angeben, denn dort führt wegen der Symmetrie z 1 = z 2 =: Z die Substitution z 2 = y auf das vollständige elliptische Integral i ϑ = A ψ π y max 0 Z dy 2 y y(1 y)(1 + θ R y), y max = min(1, Z 2 ). (3.38) Seine Auswertung hängt davon ab, ob Z 2 > 1 oder Z 2 < 1. Im ersten Fall rotiert der Winkel ϑ durch beide Pole hindurch ein Verhalten, das beim Kreisel ohne Aufhängung nur im Punkt i ϕ = i ψ = 0 möglich ist; im zweiten Fall vollführt ϑ symmetrische Schwingungen um den Winkel π/2 herum, mit maximalen Ausschlägen ϑ min,max = arccos Z. Wir finden (i) für Z 2 > 1 bzw. i ϕ = 0, i 2 ψ θ R 1 + θθ R oder i ψ = 0, i 2 ϕ < θ R : i ϑ = 2A ψ π ( 1 (1 + θ R )Π( 1 ), k) (1 + θ R Z 2 ) K(k) Z2 θ R θ R (3.39) mit k 2 = 1 + θ R Z 2 Z 2 θ R. (3.40) Insbesondere im Punkt i ϕ = i ψ = 0 gilt Z 2 = 1 + θ R, so dass i ϑ = A ψ = 1. (ii) für Z 2 < 1 bzw. i ϕ = 0, i 2 ψ θ R 1 + θθ R oder i ψ = 0, i 2 ϕ > θ R : i ϑ = 2A ψ π θr Z 2 ((1 + θ R )Π ( ) Z θ R Z, k 2 ) θ R K(k) (3.41) mit k 2 = Z 2 θ R 1 + θ R Z 2. (3.42) 22

24 Abb. 9 Energiefläche h = 1 für θ = 0.50 und θ R = Nur das Viertel der gesamten Fläche ist zu sehen, das im Quadranten positiver i ϕ und i ψ liegt. Den Rest erhält man durch Spiegelungen i ϕ i ϕ und i ψ i ψ. Die i ϕ Achse zeigt nach links vorn, die i ψ Achse nach rechts und die i ϑ Achse nach oben. Der Wulst über der Hauptdiagonalen repräsentiert einen Bewegungstyp, der aufgrund der Aufhängung neu hinzugekommen ist: Durchgang der Kreiselachse durch die Nordpol Lage. Der entsprechende Wulst über der Nebendiagonale beschreibt Bewegungen, die durch den Südpol hindurch schwingen. Ein Gerüst der Energiefläche ist somit analytisch bestimmt und kann zur kritischen Überprüfung der numerischen Integrationen dienen, die uns die Bilder der Abbildungsserie 9-11 liefern. Die Kanten der Pyramiden des vorigen Abschnitts haben sich auf interessante Weise in ein System von logarithmischen Singularitäten längs der Separatrizen aufgelöst. Die Energieflächen tragen mehr Struktur und besitzen nun eine innere Krümmung. Die Bedeutung der Struktur im Hinblick auf die Bewegungsformen dürfte nach dem Gesagten klar sein: Die Separatrizen über den in Abb. 8 gezeigten Ellipsen umschließen Bewegungstypen, die ohne die kardanischen Rahmen nicht vorkommen. Bei schwach angeregten Rotationen i ϕ und i ψ dominiert die Rotation des Winkels ϑ, was man durch Beobachtung des inneren Rahmens gut verfolgen kann. Bei gleichsinniger ϕ und ψ Rotation vergleichbarer Stärke oszilliert ϑ durch die Nordpol Lage ϑ = 0 hindurch. Bei gegenläufiger ϕ und ψ Rotation vergleichbarer Stärke oszilliert ϑ durch die Südpol Lage ϑ = π hindurch. Die einzigen Bereiche, die ihren Charakter unter dem Einfluss der Aufhängung behalten, sind 1. der Bereich kleiner i ϕ und großer iψ 2 : dort weicht die Figurenachse des Kreiselkörpers nicht sehr von der Drehimpulsachse ab, die in etwa horizontal liegt; der innere 23

25 Kardan Rahmen hat daher eine ungefähr waagrechte Lage. Die Rotation findet also vor allem um die Achse des Kreisels statt; 2. der Bereich kleiner i ψ und großer i 2 ϕ : dort steht der Drehimpuls im wesentlichen vertikal und es gibt kaum eine Rotation um die Körperachse; die Figurenachse des Kreisels steht also wiederum horizontal, aber sie rotiert hier kräftig um die z Richtung. Abb. 10 Energiefläche h = 1 für θ = 0.52 und θ R = 0.2. Die neuen Bewegungstypen nehmen bereits einen beträchtlichen Teil der Energiefläche ein. Im oberen Teil erkennt man den Bereich, in dem die Achse des Kreisels durch beide Pollagen hindurch rotiert. 24

26 Ein Blick auf die Abbildungen zeigt, dass die Veränderung der Energiefläche durch die kardanische Aufhängung bereits bei kleinen Trägheitsmomenten beträchtlich ist. Bei den Parametern des eingangs vorgestellten Kreiselmodells findet man die eigentlichen Kreiselbewegungen nur noch in einem kleinen Teil der Energiefläche. Daraus mag man schließen, dass sich das Modell zur Demonstration der Kreiselgesetze nicht sonderlich eignet. Andererseits lernt man doch etwas Wichtiges über die Natur der Kreiseldynamik. Es ist uns geläufig, Separatrizen als besonders empfindliche Zonen von Energieflächen zu betrachten. Unter Störung werden sie häufig zu Zentren chaotischer Bewegung. Die auffälligen Kanten der Energieflächen des Kreisels haben sich hier gewissermaßen als doppelte Separatrizen erwiesen, denn im Limes verschwindender Trägheit des Rahmens entstehen die Kanten durch das Zusammenlaufen der gewöhnlichen Separatrizen. Dieser Sachverhalt ist meines Wissens in der Literatur bislang nicht beschrieben worden. Abb. 11 Energiefläche h = 1 für θ = 0.7 und θ R = 1.7. Diese Situation kommt den Verhältnissen in dem Modell der Abb. 1 nahe. Von den reinen Kreiselbewegungen ist nicht mehr viel übrig geblieben. 25

27 4 Der schwere symmetrische Kreisel 4.1 Der Lagrange Kreisel ohne Aufhängung Wenden wir uns nun dem Fall des schweren symmetrischen Kreisels zu, den Lagrange zuerst analytisch gelöst hat. Seine Lagrangefunktion besteht aus den Energietermen (1.3), (1.5) und (1.6): L = T 3 + T 5 V = 1 2 (ΘS 1 + Θ G ) ( ϑ 2 + ϕ 2 sin 2 ϑ) ΘS 3 ( ψ + ϕ cos ϑ) 2 g M G R G (1 + cos ϑ). (4.1) Die Diskussion dieses Problems ist das Hauptthema der monumentalen Arbeit von Klein und Sommerfeld [1] Über die Theorie des Kreisels. Es mag vermessen erscheinen, dieser Abhandlung noch etwas hinzufügen zu wollen, doch darf man sich durch folgende Passage ermutigt fühlen, mit Hilfe der heute verfügbaren Rechner das Bild zu ergänzen (Heft II, S. 259 und 265): Bei einem Probleme der Anwendungen, wie es hier vorliegt, dürfen wir uns nicht damit begnügen, die Möglichkeit der Rechnung in einem allgemeinen Schema darzuthun. Wir müssen vielmehr bis zur wirklichen numerischen Durchführung vorzudringen suchen. Während die älteren Mathematiker bis Gauß und Jacobi incl. stets bemüht waren, ihre Resultate nicht nur durch konvergente, sondern auch durch gut konvergente, praktikable Prozesse darzustellen, geht die augenblickliche Entwicklung der Mathematik vielfach dahin, die numerische Exekutive über Gebühr zu vernachlässigen. Demgegenüber möchten wir in der numerischen Durchführung einer Theorie geradezu den Schlussstein des Gebäudes erblicken, dem wir keine geringere Wichtigkeit und kein geringeres Interesse beimessen, wie jedem anderen Bestandteile des Ganzen. Speziell sind wir bei Aufgaben, welche auf elliptische Funktionen führen, dank der hohen Entwicklung dieser Theorie, in der angenehmen Lage, die numerische Auswertung ohne alle Schwierigkeit bewerkstelligen zu können... Eine... Methode, welche wir ganz besonders empfehlen möchten, besteht darin, überhaupt nicht zu rechnen, sondern die Legendreschen Tafeln nachzusehen. In der Tat werden wir uns dieses schönen Hülfsmittels ebensowenig entschlagen wollen, als wir den Logarithmus einer Zahl anders wie aus den Logarithmentafeln zu finden gewohnt sind. Die Legendreschen Tafeln setzten Klein und Sommerfeld instand, erstaunlich viele Details der Kreiselbewegung zu beschreiben, doch vermochten sie nicht, ein globales Bild der Phasenraumstruktur zu zeichnen, das dem Physiker einen leichten Überblick über die verschiedenen Bewegungstypen gestattet hätte. Um einen solchen Überblick ist es uns aber hier zu tun. 26

28 Da auch der Lagrange Kreisel gegenüber Drehungen um die raumfeste z Achse und um seine eigene x 3 Achse invariant ist, bleiben die Drehimpulse L ϕ und L ψ Konstanten der Bewegung, L ϕ = ( (Θ S 1 + Θ G ) sin 2 ϑ + Θ S 3 cos 2 ϑ ) ϕ + Θ S 3 ψ cos ϑ, (4.2) L ψ = Θ S 3 ( ψ + ϕ cos ϑ), (4.3) und stellen zwei der drei Wirkungen dar: I ϕ = L ϕ, I ψ = L ψ. Die Hamilton Funktion ergibt sich mit L ϑ = (Θ S 1 + Θ G ) ϑ (4.4) zu H = L 2 ϑ 2 (Θ S 1 + Θ G ) + (L ϕ L ψ cos ϑ) 2 2 (Θ S 1 + Θ G ) sin 2 ϑ + L 2 ψ 2 Θ S 3 + g M G R G (1 + cos ϑ). (4.5) Die Energie E ist jetzt nicht mehr eine homogene Funktion in den Drehimpulsen und kann deshalb nicht wegskaliert werden. Ihr Wert relativ zu einer typischen Systemenergie gibt einen neuen relevanten Parameter ab. Wir wählen als solchen die dimensionslose Stärke der Schwerkraft G := g M G R G (4.6) E und benutzen im übrigen die Definitionen l ϕ,ϑ,ψ := L ϕ,ϑ,ψ 2 (Θ S 1 + Θ G ) E, θ := ΘS 1 + Θ G Θ S 3. (4.7) Als dimensionslose Hamiltonfunktion erhalten wir so h = l 2 ϑ + (l ϕ l ψ cos ϑ) 2 sin 2 ϑ + θ l 2 ψ + G (1 + cos ϑ) = 1. (4.8) Die Dynamik dieses Systems hängt außer von θ ganz wesentlich von dem neuen Parameter G ab. Ein kritischer Wert von G ist G = 1/2: Für G < 1/2, also bei hoher Gesamtenergie, kann der Schwerpunkt des Kreisels die Gipfellage ϑ = 0 erreichen und hat dort noch die kinetische Energie 1 2G; für G > 1/2 dagegen ist diese Lage energetisch nicht erreichbar. Wir erkennen aber am Zentrifugalpotentialterm (l ϕ l ψ cos ϑ) 2 / sin 2 ϑ, dass selbst bei hohen Energien die Situation ϑ = 0 nur dann angenommen werden kann, wenn l ϕ = l ψ. Der Lagrange Kreisel enthält eine Reihe gut bekannter Spezialfälle. Für l ϕ = l ψ = 0 vollführt er mit seinem Winkel ϑ eine normale Pendelbewegung. Fordert man nur l ψ = 0, so reduziert sich (4.8) auf die Hamiltonfunktion des sphärischen Pendels. Es bietet sich darum an, den schweren symmetrischen Kreisel vom Pendel her zu verstehen, indem man die Freiheitsgrade ϑ, ϕ und ψ nacheinander hinzufügt. 27

29 4.1.1 Das ebene Pendel: l ϕ = l ψ = 0 Betrachte die Energiefunktion h = l 2 ϑ + G (1 + cos ϑ) = 1. (4.9) Sie beschreibt für G < 1/2 eine Rotation und für G > 1/2 eine Oszillation. Die Energiefläche zu G = 1/2 ist Separatrix zwischen diesen beiden Bewegungsformen. Vereinbaren wir was im Hinblick auf die Symmetrie des Problems unter ϑ ϑ und auf die folgenden Abschnitte natürlich erscheint als Periode der ϑ Bewegung den Übergang von einer Situation ϑ = π zur nächsten (und nicht zur übernächsten, wie in der Schwingungsphysik üblich), so ist die Wirkung i ϑ = l ϑ dϑ/2π eine auch an der Separatrix stetige Funktion der Energie. Mit 1 π z max 1 1 G Gz 1 z 2 dz, z max = erhalten wir für den Bereich der Rotation und für den Bereich der Oszillation 1 : G 1/2 1 G G : G 1/2 (4.10) i ϑ = 2 π E( 2G ) (4.11) i ϑ = 2 π 2G ( E(k) (1 k 2 )K(k) ), k = 1 2G. (4.12) Die logarithmische Singularität bei G = 1/2 + ε, (ε 0) ist typisch für Separatrizen: i ϑ = 2 π ( 1 ε(ln ) 4 c 2 ε 2 ) 1 : G < 1/2, c = 3 : G > 1/2 (4.13) 28

30 Abb. 12 Abhängigkeit der skalierten Wirkung i ϑ (0 i ϑ 1) und Frequenz ω ϑ (0 ω ϑ 5) von der Energievariablen G (0 G 2). i ϑ fällt vom Wert 1 bei G = 0 (schnelle Rotation) kontinuierlich ab. An der Separatrix, bei G = 1/2, ist ihr Wert 2/π, bei großen G (kleinen Schwingungen) verhält sie sich wie 1/ 8G. Die Frequenz fällt vom Wert 2 bei G = 0 zunächst auf den Wert 0 bei G = 1/2 ab und steigt dann wieder an. Ihr asymptotisches Verhalten bei großen G ist ω ϑ 2 2G. Abb. 12 zeigt den Verlauf von i ϑ als Funktion der Energievariablen G. Sie enthält zudem die Frequenz ω ϑ = h/ i ϑ, die man am einfachsten direkt über eine Integration der Energiegleichung berechnet: Misst man Zeiten in Einheiten von 2(Θ S 1 + Θ G )/E, so ist ϑ = 2l ϑ im Einklang mit der Hamiltonfunktion (4.9), und die Periodendauer ist z max dz 4 K( 2G ) : G < 1/2 T ϑ = = (4.14) (1 z2 )(1 G Gz) 4 1 K( ) : G > 1/2 2G 2G 1 Die Frequenz ist dann ω ϑ = 2π/T ϑ. An ihrem Verlauf in Abb. 12 erkennt man viel deutlicher als an der Wirkung die Natur der logarithmischen Singularität. Wir werden diese Singularität beim sphärischen Pendel und schließlich beim vollen Lagrange Kreisel verfolgen. 29

31 4.1.2 Das sphärische Pendel: l ψ = 0 Die Energiefunktion ist jetzt h = l 2 ϑ + l 2 ϕ sin 2 ϑ + G (1 + cos ϑ) = 1. (4.15) Der Winkel ϕ ist offenbar zyklische Variable, so dass l ϕ konstant ist und eine der beiden Wirkungsvariablen abgibt, i ϕ = l ϕ. Die andere Wirkung i ϑ = l ϑ dϑ/2π ist i ϑ = 1 π z 2 f(z) z 1 dz 1 z 2, (4.16) wobei f(z) = (1 z 2 )(1 G Gz) i 2 ϕ =: G (z z 1 )(z z 2 )(z z 3 ) (4.17) und für die Nullstellen von f(z) die Anordnung z 1 z 2 z 3 gelte. Das Integral (4.16) ist natürlich nur sinnvoll, solange z 1 und z 2 im Bereich zwischen 1 und 1 liegen. Immer gilt f(±1) = i 2 ϕ 0 und daher z 3 1. Die Werte z = ±1 können von der Bewegung nur im Falle i ϕ = 0 angenommen werden; andernfalls verhindert die Zentrifugalkraft das Erreichen der Lagen ϑ = 0 bzw. ϑ = π. Entsprechend gibt es in der (i ϕ, i ϑ ) Ebene keine Separatrix; das Integral (4.16) ist immer vom selben Typ und wird im Anhang B.2 berechnet. Mit Hilfe des Moduls k der elliptischen Integrale, und der Konstanten lautet das Resultat i ϑ = 1 π k = z z 2 1, z = 2z 3 z 1 z 2 z 2 z 1, (4.18) a := 1 + k 2 b := 1 + k 2 w ± := ± 1 a b k f(a) b ak (4E(k) 2 z k 2 z 2 1 k 2 (b ak)2 b 2 k 2 z 1 z 1 K(k) 2k(z 3 + 1) 1 w2 Π( 1, k) w w 2 + 2k(z 3 1) 1 w2 + Π( 1 ), k) w + w+ 2. (4.19) (4.20) Abb. 13 zeigt den Verlauf der Linien konstanter Energie über der (i ϕ, i ϑ ) Ebene. Die Energie nimmt in Richtung der Hauptdiagonalen zu, der Wert von G nimmt entsprechend ab. 30

32 Das Bild gibt einen vollständigen Überblick über die Struktur der Energieflächen des sphärischen Pendels. Die Linie i ϕ = 0 beschreibt den Grenzfall der ebenen Pendelbewegung, die Linie i ϑ = 0 beschreibt den Grenzfall der Kegelpendelbewegung ϑ = const. Abb. 13 Linien konstanter Energie in der (i ϕ, i ϑ ) Ebene. Abszisse: 0 i ϕ 1.5, Ordinate: 0 i ϑ 1.5. Die einzelnen Energieflächen sind, in Richtung der Hauptdiagonalen fortschreitend, charakterisiert durch 1/(2G) = 0.5, 0.0, 0.5,..., 4.0. Die so gegebene Blätterung des Phasenraums hat lediglich im Punkt (i ϕ, i ϑ ) = (0, 2/π) eine Singularität, deren Natur aber erst in der Abb. 14 deutlich wird. Für die Bereiche hoher und niedriger Energie lassen sich ohne Schwierigkeiten die ersten Näherungen angeben: (i) G 0 (E ): Die Energiefunktion h = l 2 ϑ + l 2 ϕ sin 2 ϑ (4.21) 31

33 führt auf die Wirkung i ϑ = h i ϕ bzw. auf h = (i ϕ + i ϑ ) 2 = 1, (4.22) so dass die beiden Frequenzen ω ϕ = h/ i ϕ und ω ϑ = h/ i ϑ gleich sind: (ii) G (E 0): Die Energiefunktion ω ϕ = ω ϑ = 2 (i ϕ + i ϑ ) = 2. (4.23) h = l 2 ϑ + l 2 ϕ (π ϑ) 2 + G 2 (π ϑ)2 (4.24) gestattet ebenfalls eine einfache Berechnung der Wirkung und führt auf h = 2G ( i ϕ + 2i ϑ ) = 1, (4.25) so dass ω ϕ und ω ϑ sich um einen konstanten Faktor 2 unterscheiden: ω ϕ = 1 2 ω ϑ = 2G. (4.26) Das durch Abb. 13 vermittelte Bild von der Struktur des Phasenraums sieht recht glatt aus. Tatsächlich enthält es für den Wert G = 1/2 (vierte Kurve von unten) bei (i ϕ, i ϑ ) = (0, 2/π) die vom ebenen Pendel her bekannte logarithmische Singularität. Wie bereits in Abb. 12 deutlich wurde, wird diese Singularität sehr viel auffälliger, wenn man sie im Gradientenfeld ω = (ω ϕ, ω ϑ ) der Energiefunktion h = h(i ϕ, i ϑ ) beobachtet. Dazu berechnen wir wie im Falle des ebenen Pendels die Periode der ϑ Bewegung durch direkte Integration des Energiesatzes und erhalten (s. Gl. (B.23)) T ϑ = 1 2 dz f(z) = 2(b ak) f(a) K(k). (4.27) Die Frequenz der ϕ Bewegung erhalten wir am besten über das Windungsverhältnis (vgl. die Gln. (4.16) und (4.17)) W := ω ϕ = i ϑ ω ϑ i ϕ = i ϕ dz h 2π (1 z 2 ) f(z). (4.28) Im Anhang B.2 wird die Berechnung dieses Integrals vorgeführt. Das Ergebnis nach (B.41) ist W = i ( ϕ 1 (b ak) k2 2 K(k) π f(a) b 2 k 2 (1 + kw ) 2 Π( 1, k) (4.29) w w 2 + (1 + kw +) 2 Π( 1 ), k). w + w+ 2 32

34 Wir begnügen uns damit, die Windungszahlen als Funktion von i ϕ zu präsentieren. Abb. 14 zeigt also den Verlauf der (negativ genommenen) Steigungen der Kurven aus Abb. 13. Sehr viel klarer zeigt sich hier der Einfluss der Pendel Singularität: Für niedrige Energien (G > 1/2) streben die Windungszahlen mit i ϕ 0 sämtlich gegen den Wert 1/2; bei hohen Energien (G < 1/2) konvergieren sie gegen 1. Abb. 14 Windungszahlen W = ω ϕ /ω ϑ des sphärischen Pendels als Funktion der Wirkung i ϕ für verschiedene Energien. Abszisse: 0 i ϕ 1.5, Ordinate: 0.5 W 1.0. Die Energiewerte, von unten nach oben, sind durch 1/(2G) = 0.5, 0.0, 0.5, 0.6,..., 1.4, 1.5, 2.0,..., 4.0 gegeben. Die rechte Begrenzungslinie gibt die Windungszahlen für das Kegelpendel i ϑ = 0 an. 33

35 4.1.3 Der allgemeine Fall Die Energiefunktion (4.8) hat außer i ϕ = l ϕ und i ψ = l ψ als dritte Wirkung das Integral i ϑ = 1 π z 2 f(z) z 1 dz 1 z 2 (4.30) mit f(z) = (1 z 2 )(1 G θi 2 ψ Gz) (i ϕ i ψ z) 2 =: G (z z 1 )(z z 2 )(z z 3 ). (4.31) Wieder gilt, solange der Integrand überhaupt existiert, dass die Nullstellen von f(z) sich wie 1 z 1 z 2 1 z 3 anordnen lassen, denn f( 1) = (i ϕ + i ψ ) 2 0 und f(+1) = (i ϕ i ψ ) 2 0. Der Rand der Energiefläche in der (i ϕ, i ψ ) Ebene ergibt sich aus der Forderung z 1 = z 2. Er lässt sich hier nicht so leicht explizit angeben wie im kräftefreien Fall G = 0. Wir begnügen uns deshalb mit einigen Charakteristika. Zunächst bemerken wir, dass allgemein gilt i ϑ (i ϕ, i ψ ) = i ϑ ( i ϕ, i ψ ). Die Energiefläche und damit auch ihr Rand sind symmetrisch bzgl. einer Inversion an der ϑ Achse. Es gelten aber aufgrund des Terms Gz in der Kreiselfunktion f(z) nicht mehr unabhängig die Invarianzen unter i ϕ i ϕ und i ψ i ψ, vgl. Gl. (3.9). Diskutieren wir nun die Möglichkeit, die Lagen ϑ = π ( Südpol Lage der Figurenachse, z = 1) oder ϑ = 0 ( Nordpol Lage, z = 1) einzunehmen. Der Fall ϑ = π ist wegen des Zentrifugalterms (i ϕ i ψ cos ϑ) 2 / sin 2 ϑ in der Energiefunktion (4.8) nur möglich für i ϕ = i ψ, also über der Nebendiagonalen der (i ϕ, i ψ ) Ebene. Bei abnehmender Gesamtenergie bzw. zunehmendem G wird die Südpol Lage mehr und mehr bevorzugt, denn sie kostet keine potentielle Energie. Es ist damit zu rechnen, dass die Energieflächen sich mit G dieser Nebendiagonalen nähern. Falls in der ϑ Bewegung keine Energie steckt, i ϑ = 0, dann bedeutet i ϕ = i ψ eine reine Rotation in der Hängelage. Es ist dann unabhängig von G (i ϕ, i ψ, i ϑ ) = ( 1, ± 1 ), 0 θ θ. (4.32) Diese Eckpunkte sind daher allen Energieflächen zum selben θ gemeinsam. Die Nordpol Lage ϑ = 0 ist komplizierter, denn sie entspricht der aufrechten Stellung des Kreisels und kostet ein Maximum an potentieller Energie. Wegen der Schwerkraft ist sie nur für G < 1/2 erreichbar, wegen der Zentrifugalkraft außerdem nur für i ϕ = i ψ. Schließlich ist noch die Energie θ lψ 2 der Rotation um die Figurenachse zu berücksichtigen, s. Gl. (4.8). Ihr maximaler Wert bei Nordpol Lage ist 1 2G; ist aber bei maximal möglichem Wert dieser Energie die Nordpol Lage überhaupt erreichbar? Für den Bereich 1/(1 + θ) < 2G < 1 ist die Antwort negativ. Wir diskutieren das anhand der Nullstellen von f(z) für i ϕ = i ψ. Es gilt dann nämlich f(z) = (1 z) g(z) mit g(z) = G(z c 1 )(c 2 z) (4.33) 34

36 und leicht explizit angebbaren c 1, c 2 (c 1 < c 2 ). Man überzeugt sich ohne Schwierigkeiten, dass für G 1 = 2(1 + θ), i ϕ 2 = 1 2G = 1 (4.34) θ 1 + θ die Funktion g(z) bei z = c 1 = c 2 = 1 eine doppelte Nullstelle hat. Entsprechend ist i ϑ = 0 : wir haben die beiden Randpunkte der Energiefläche zu G = G auf der Hauptdiagonalen in der (i ϕ, i ψ ) Ebene gefunden. Sie beschreiben den Kreisel in aufrechter Stellung; seine einzige Bewegung ist eine Rotation um die Figurenachse (rechts oder linksdrehend). Erhöhen wir nun die Energie (bzw. erniedrigen wir G), so charakterisiert i 2 ϕ = 1 2G θ (4.35) weiterhin Randpunkte der Energieflächen auf der Hauptdiagonalen in der (i ϕ, i ψ ) Ebene. Denn man findet hierfür c 1 = 1 und c 2 > 1. Die Schar dieser Randpunkte repräsentiert die in Demonstrationen immer recht auffälligen schlafenden Kreisel. Anders der Bereich kleinerer Energien, G > G. Hier findet man auf den durch Gl. (4.35) gegebenen Linien c 1 < 1 und c 2 = 1. Das Integral i ϑ ist darum größer als Null; die beiden Punkte (±i ϕ, ±i ψ, i ϑ ) liegen also nicht mehr auf dem Rand der Energiefläche. Sie beschreiben eine Bewegung, bei der ϑ zwischen der aufrechten Lage ϑ = 0 und einem maximalen Winkel variiert. Die Tatsache, dass die Nordpol Lage eine doppelte Nullstelle von f(z) ist, deutet auf den singulären Charakter dieser Bewegung hin. Klein und Sommerfeld [1] geben eine explizite Beschreibung der zugehörigen Trajektorien und kommentieren (Heft II, S.336): Unsere Kurve windet sich um den Nordpol unaufhörlich herum, indem sie sich ihm beständig nähert, ohne ihn jemals zu erreichen. Wir haben im Wesentlichen eine logarithmische Spirale vor uns. Die ungestörte aufrechte Bewegung stellt hiernach im Falle des schwachen Kreisels, wie man im Anschlusse an Poincarés Untersuchungen zur Himmelsmechanik sagt, eine asymptotische Lösung des Kreiselproblems dar. Erhöht man bei festem G den Drehimpuls i ϕ = i ψ gegenüber dem in (4.35) gegebenen Wert, so erreicht ϑ den Nordpol nicht mehr; erniedrigt man i ϕ, so kann ϑ durch ihn hindurchlaufen. Dies macht die Verwandtschaft dieser singulären Punkte mit der weiter oben beschriebenen Singularität des ebenen Pendels deutlich, gegen die sie für G 1/2 tatsächlich streben (s. Abb. 15). Es hat also jede Energiefläche im Bereich G < G < 1/2 zwei Punkte von der Art der Pendelsingularität. Sie lösen sich bei G = G vom Rand in der (i ϕ, i ψ ) Ebene ab und wandern mit wachsendem G längs der Hauptdiagonalen in den Punkt (i ϕ, i ψ, i ϑ ) = (0, 0, 2/π) hinein. 35

37 Abb. 15 Maximale und singuläre Werte der Drehimpulse i ϕ und i ψ auf der Hauptdiagonalen i ϕ = i ψ in Abhängigkeit von der Energievariablen G 1/E. Abszisse: 0 G 3; Ordinate: 0 i ϕ 1.5. Das Bild zeigt die drei Fälle des flachen Kreisels θ = 0.5 (oben), des langgestreckten Kreisels θ = 2.0 (unten) und des Kugelkreisels θ = 1 (Mitte). Im Bereich 0 G 1/2 werden die gezeigten Kurven durch Gl. (4.35) gegeben. Für G < G < 1/2 beschreibt sie Situationen vom Typ der Pendelsingularität; rechts von diesen Linien kann der Kreisel die aufrechte Lage ϑ = 0 nicht mehr erreichen. Für G < G beschreibt Gl. (4.35) die schlafenden Kreisel. Die rechts von G jeweils mit stetiger Tangente anschließenden Kurven werden durch Gl. (4.36) beschrieben. Sie repräsentieren Randpunkte der Energieflächen auf den Hauptdiagonalen in der (i ϕ, i ψ ) Ebene. Die beiden Randpunkte der Energiefläche auf der Hauptdiagonalen werden für G > G durch die Bedingung 1 < c 1 = c 2 < 1 charakterisiert. Die Auswertung gibt G = 1 8 ( ) (1 θ)i ϕ. (4.36) i ϕ Bei niedrigen Energien, G, nähern sich diese Randpunkte dem Ursprung, denn aus Gl. (4.36) folgt dann i ϕ ±1/ 8G. Abb. 15 fasst die Diskussion der Verhältnisse über der Hauptdiagonalen i ϕ = i ψ zusammen. Ähnlich wie im Abschnitt 3.2 die kardanischen Separatrizen geht hier die Linie der singulären Punkte in den Rand der Energiefläche über, wobei sie sich mit stetiger Tangente an einen anderen Randbereich anschmiegt. Im Unterschied zu den dortigen 36

38 Verhältnissen, die sich innerhalb einzelner Energieflächen abspielten, liegt die Separatrix hier jedoch quer zu den Energieflächen und hat (bis auf die Inversions Symmetrie) in jeder nur einen Punkt. Nachdem wir uns Klarheit über die Verhältnisse auf den beiden Diagonalen der (i ϕ, i ψ ) Ebene verschafft haben, diskutieren wir den Rest des Randes der Energieflächen. Er ist, wie bereits bemerkt, gekennzeichnet durch das Zusammenfallen der beiden Nullstellen z 1 und z 2 der Kreiselfunktion f(z). Da die analytische Behandlung dieser Bedingung recht aufwendig, aber langweilig ist, sollen hier lediglich einige Illustrationen präsentiert werden. Die Bilder vermitteln einen besseren Eindruck als lange Formeln. Abb. 16 zeigt die Ränder der Energieflächen für drei verschiedene Werte von θ und jeweils 7 Werte der Energie. Mit abnehmender Energie schrumpfen diese Konturen von den aus Abb. 5 (kräftefreier Fall) bekannten Formen auf eine längs der Nebendiagonalen sich erstreckende Spindel, deren Dicke im Limes G wie 1/ 2G gegen Null geht. Solange G < G, haben diese Ränder auf der Hauptdiagonalen einen Knick; für größere G (kleinere Energien) werden sie glatt. Physikalisch ist dieser Rand dadurch gekennzeichnet, dass die Figurenachse bei festem Winkel ϑ um die z Richtung rotiert. Im Unterschied zur entsprechenden Bewegung des kräftefreien Kreisels (s. Abb. 7) präzediert hier auch die Drehimpulsachse um die z Richtung. Abb. 16 (Folgende Seite) Ränder der Energieflächen h = 1 in der Ebene i ϑ = 0 für drei verschiedene Werte von θ und jeweils 7 Werte der Energie. Die Werte von θ sind θ = 1/2 (oben; flacher Kreisel), θ = 1 (Mitte; Kugelkreisel) und θ = 2 (unten; langgestreckter Kreisel). Von außen nach innen sind jedesmal die Ränder zu G = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0 gezeichnet und außerdem noch der Rand zu G = G (G = 1/3, 1/4 bzw. 1/6). Abszisse: 2 i ϕ 2 ; Ordinate: 2 i ψ 2. 37

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40 Kommen wir nun zur Berechnung der Wirkung i ϑ. Die Form des Integrals (4.30) ist dieselbe wie im Fall des sphärischen Pendels, so dass alle Resultate von Abschnitt übernommen werden können. Der einzige Unterschied bei der konkreten Rechnung liegt darin, dass die Funktion f(z) andere Nullstellen hat. Insbesondere gelten für i ϑ genau die Formeln (4.18) (4.20). Abb. 17 zeigt die Energieflächen zu θ = 5/3 für vier verschiedene Energien. Man erkennt den Wandel der Form von einer Pyramide mit vier Kanten (bei hohen Energien) zu einem kieloben liegenden Schiffchen (bei niedrigen Energien). Im Energiebereich zwischen G = G = 3/16 und G = 1/2 zieht sich die eine Kante über der Hauptdiagonalen von der Ecke des schlafenden Kreisels auf den Punkt des singulären Pendels zurück. Abb. 17 (Folgende Seite) Energieflächen des schweren symmetrischen Kreisels für θ = 5/3. Oben links: niedrige Gesamtenergie, G = 1; die Fläche hat die Form eines kieloben liegenden Schiffchens. Oben rechts: G = 0.5; die Energie reicht gerade für die aufrechte Lage aus. Die Spitze der Fläche stellt den singulären Fall der Pendelbewegung das. Unten links: G = 0.4; es hat sich ein Teil der zweiten Kante ausgebildet. Ihr Endpunkt ist als singulärer Punkt erkennbar; er repräsentiert die Bewegung, bei der die Kreiselachse asymptotisch dem Nordpol zustrebt. Unten rechts: G = 0.2; die Fläche hat jetzt die für energiereiche Kreisel typische Pyramidenform (vgl. Abb. 6). In all diesen wie auch entsprechenden späteren Bildern, Abb. 22 ff., werden die Energieflächen über der Halbebene i ψ < 0 gezeigt. Die i ϕ Achse weist nach rechts, die negative i ψ Achse nach vorne und die i ϑ Achse nach oben. 39

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42 Den Grenzbereich niedriger Energien können wir elementar behandeln. Dazu gehen wir am besten von der Lagrangefunktion (4.1) aus und entwickeln die Winkelfunktionen nach kleinen α := π ϑ : L = 1 2 (ΘS 1 + Θ G ) ( α 2 + α 2 ϕ 2 ) ΘS 3 ( ψ ϕ α2 ϕ) g M G R G α 2. (4.37) Die entsprechende Hamiltonfunktion in skalierten Variablen ist h = l 2 α + (l ϕ + l ψ ) 2 α 2 l ψ (l ϕ + l ψ ) + θ l 2 ψ G α2 = 1. (4.38) (Dabei wurde angenommen G l 2 ψ /4 = 1/4θ.) Das Wirkungsintegral i α = l α dα/2π lässt sich leicht ausführen und gibt i α = i ϑ = 1 2 2G ( 1 + iψ (i ϕ + i ψ ) θ i 2 ψ) 1 2 i ϕ + i ψ. (4.39) Über der Nebendiagonalen i ϕ = i ψ finden wir den quadratischen Verlauf i ϑ = 1 θ i 2 ϕ 2 2G. (4.40) Dies repräsentiert für iϕ 2 = iψ 2 = 1/θ, i ϑ = 0 eine reine Rotation in senkrechter Hängelage und für i ϕ = i ψ = 0, i ϑ = 1/2 2 G eine ϑ Schwingung ohne Rotation. Wir geben noch die Hamiltonfunktion als Funktion der Wirkungsvariablen an: h = 2 G ( i ϕ + i ψ + 2 i ϑ ) i ψ (i ϕ + i ψ ) + θ iψ 2. (4.41) Abb. 18 (Folgende drei Seiten) Niveaulinien über der (i ϕ, i ψ ) Ebene für jeweils drei verschiedene Energien. Die erste Seite zeigt den Fall des schweren Kugelkreisels (θ = 1); es folgt der flache Kreisel mit θ = 0.5 und auf der dritten Seite der langgestreckte Kreisel mit θ = 2. Auf jeder Seite ist oben G = 1.0 (niedrige Energie), in der Mitte G = 0.4 und unten G = 0.1 gewählt. Links ist jedesmal die Energiefläche selbst dargestellt; die Niveaulinien folgen konstanten Werten von i ϑ. Rechts sind die Linien konstanter Werte von ω ϑ wiedergegeben. Die Niveaulinien folgen in Abständen 0.1 aufeinander; die Bänder zwischen ihnen sind alternierend schwarz und weiß ausgefüllt. Abszisse: 1.5 i 1.5; Ordinate: 1.5 i

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46 Wir sahen schon im Fall des sphärischen Pendels, dass die Energieflächen h = h(i ϕ, i ψ, i ϑ ) = 1 zwar einen guten Überblick über die Dynamik des physikalischen Systems geben, dass aber Details erst nach geeigneter Differentiation zutage treten. Wir gehen deshalb zum Schluss dieses Abschnitts noch auf die Frequenzen bzw. ihre Verhältnisse ein. Die Frequenz der ϑ Bewegung, ω ϑ = h/ i ϑ kann wieder ganz genauso wie in Abschnitt bestimmt werden; die Gl. (4.27) gilt mit dem einzigen Unterschied, dass für f(z) die Funktion (4.31) zu nehmen ist. Abb. 18 zeigt anhand einer Reihe von Niveaulinienbildern, was diese Gleichung beinhaltet. Gegenüber früheren Darstellungen der (i ϕ, i ψ ) Ebene sind hier die Bilder um 45 o gedreht. Die Abszisse liegt in Richtung der früheren Nebendiagonalen und zeigt die Variable i := (i ϕ i ψ )/2 an, die Ordinate repräsentiert entsprechend die Variable i + := (i ϕ + i ψ )/2. Die beiden anderen Frequenzen erhalten wir am besten wieder über die Windungszahlen. Hier ist die Mathematik des Lagrange Kreisels zum erstenmal etwas schwieriger als die des sphärischen Pendels. Denn es gilt zwei Windungsverhältnisse W ϑϕ und W ϑψ zu berechnen: W ϑϕ := ω ϕ = i ϑ ω ϑ i ϕ, W ϑψ := ω ψ = i ϑ h,iψ ω ϑ i ψ. (4.42) h,iϕ Die Rechnung folgt natürlich den gleichen Methoden wie im Anhang B für das sphärische Pendel beschrieben. Die Struktur der Energieflächen legt es nahe, statt der W ϑϕ und W ϑψ die Ableitungen parallel zu den Diagonalen der (i ϕ, i ψ ) Ebene zu nehmen; wir definieren darum mit i ± := (i ϕ ± i ψ )/2 W ϑ + := i ϑ i + = W ϑϕ + W ϑψ, W ϑ := i ϑ h,i i = W ϑϕ + W ϑψ (4.43) h,i+ und finden als Resultat und W ϑ + = 2 ( b ak (θ i ψ + ki ϕ bi ψ ) K(k) π f(a) k + b (b ak)(i ϕ + i ψ ) Π( 1, k) (k + b) 2 w w 2 W ϑ = 2 ( b ak ( θ i ψ + ki ϕ bi ψ ) K(k) π f(a) k b + (b ak)(i ϕ i ψ ) Π( 1, k) (k b) 2 w + w+ 2 ) ) (4.44). (4.45) Abb. 19 zeigt Niveaulinien dieser Windungszahlen. Dass sie an den jeweils querliegenden Kanten unstetig sind, ergibt sich unmittelbar aus der geometrischen Natur der Energieflächen. Man erkennt an den Bildern im Fall G = 0.4 sehr deutlich den Charakter der logarithmischen Singularität. 45

47 Abb. 19 (Folgende drei Seiten) Niveaulinien der Windungszahlen W ϑ + und W ϑ über der (i ϕ, i ψ ) Ebene. Es wurden dieselben Parameter gewählt wie in Abb. 18. Die erste Seite zeigt also den Kugelkreisel (θ = 1), die zweite den flachen Kreisel (θ = 0.5) und die dritte einen langgestreckten Kreisel (θ = 2). Oben ist jeweils G = 1.0 (niedrige Energie), in der Mitte G = 0.4 und unten G = 0.1 gewählt. Die Bilderpaare zeigen rechts W ϑ + und links W ϑ. Die Abstände zwischen Niveaulinien sind

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51 4.2 Der Lagrange Kreisel mit Aufhängung Es werde der schwere symmetrische Kreisel nun zusammen mit einer kardanischen Aufhängung diskutiert. Abb. 20 zeigt, wie man durch Anbringen eines Gewichts auf der Achse des Kreisels der Abb. 1 diese Situation herstellen kann. Klein und Sommerfeld [1] schließen dieses System mit folgenden Worten von ihrer Analysis der Kreiselbewegungen aus: Ebensowenig fällt unter unseren Kreiselbegriff genau genommen die... Vorrichtung, welche man als Bohnenbergersches Maschinchen (oder auch als Foucaultsches Gyroskop) zu bezeichnen pflegt.... Wollen wir den Apparat dennoch gelegentlich als Beispiel für unsere Kreiselbetrachtungen heranziehen, so müssen wir die ausdrückliche Annahme hinzufügen, dass die Masse des Schwungrades gegenüber den Massen des äußeren und inneren Ringes sehr beträchtlich ist, und müssen uns daraufhin gestatten, die letzteren gegen die erstere zu vernachlässigen. Alsdann haben wir es bei der mechanischen Behandlung des Apparates nurmehr mit dem Schwungrade zu thun, welches einen einheitlichen starren Rotationskörper darstellt. Sehen wir aber von dieser vereinfachenden Annahme ab, so wird die Theorie des Apparates erheblich komplizierter wie die unseres Kreisels. Abb. 20 Ein schwerer symmetrischer Kreisel in kardanischer Aufhängung. Gegenüber der Anordnung von Abb. 1 ist hier auf der Symmetrieachse des Kreiselkörpers ein Gewicht hinzugefügt. Die Trägheitsmomente bzgl. des raumfesten Punktes ändern sich dadurch entsprechend dem Steinerschen Satz. 50