Das mathematische Pendel

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1 1 Das mathematische Pendel A. Krumbholz, S. Effendi 25. Juni 2013

2 2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Das mathematische Pendel Polarkoordinaten Ableitung der Differentialgleichung 4 3 Integration mittels Energiesatz 5 4 Lineare Näherung 6 verzeichnis 7

3 3 1 EINFÜHRUNG 1 Einführung 1.1 Das mathematische Pendel Abbildung 1: Mathematische Pendel Das mathematische Pendel ist ein einfaches Modell zur Beschreibung von Pendelschwingungen. Charakterisiert wird es durch folgende Eigenschaften: - Reibung wird vernachlässigt (z. Bsp. am Aufhängepunkt) - Die gesamte Masse ist in einem Punkt konzentriert, wobei die Masse des Fadens (bzw. der Stange) vernachlässigt wird. Die mathematische Beschreibung erfolgt vorzugsweise in Polarkoordinaten, wobei die Länge l eine Konstante ist. 1.2 Polarkoordinaten r = l e ρ (hier: r = l = const.) r = l e ρ = l ϕ e ϕ r = d dt (l ϕ e ϕ) = l ϕ e ϕ l ϕ 2 e ρ (1)

4 4 2 ABLEITUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG e ρ = cos ϕ sin ϕ e x (2) e ϕ sin ϕ cos ϕ e y }{{} e x = cos ϕ e y sin ϕ Det=1 Man erhält für die Zeitableitung der Einheitsvektoren: sin ϕ e ρ (3) cos ϕ e ϕ d dt e ρ = e ϕ ϕ ; d dt e ϕ = e ρ ϕ 2 Ableitung der Differentialgleichung Auf Grund der konstanten Pendellänge (ρ = l =const.) ist der Winkel ϕ(t) die einzige gesuchte Zeitfunktion, das Problem verfügt also nur über einen Freiheitsgrad. Folgende Differentialgleichung ist zu analysieren: m r = mg e x (4) In Polarkoordinaten ergibt sich mit r aus (1): F = mg e x = mg (cos ϕ e ρ sin ϕ e ϕ ) (5) ml( ϕ e ϕ ϕ 2 e ρ ) = mg (cos ϕ e ρ sin ϕ e ϕ ) Projektion in Richtung e ρ : ml ϕ 2 = mg cos ϕ ( Fadenspannung) Projektion in Richtung e ϕ : ml ϕ = mg sin ϕ ( Dgl. in der Bahn) (6) In Richtung der Bahn (Richtung e ϕ ) ergibt sich also die Differentialgleichung: ml ϕ = mg sin ϕ = ϕ + g l sin ϕ = 0 (7) Hinweis: Eine intuitive Ableitung führt schneller zum Ziel: Wenn ϕ der Winkel der Auslenkung aus der stabilen Gleichgewichtslage ist, so ist der Anteil der Schwerkraft in Richtung der Tangente an die Kreisbahn, die das Pendel macht, gegeben durch F = mg sin ϕ. Der Ort des Teilchens auf dem Kreisbogen ist lϕ, so dass man sofort die Bewegungsgleichung (7) erhält. Die Dgl (7) ist nichtlinear von 2. Ordnung, der Exponentialansatz kann also NICHT verwendet werden! Allerdings kann mit dem Energiesatz ein erstes Integral gewonnen werden

5 5 3 INTEGRATION MITTELS ENERGIESATZ (siehe Abschnitt 3). Eine oft verwendete Näherung für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage erschließt sich aus der Taylorreihe für den Sinus (siehe Abschnitt 4 Lineare Näherung). sin ϕ ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ml ϕ mgϕ (8) ϕ + w 2 0ϕ = 0 mit w 2 0 = g l = Gleichung der harm. Oszillators (9) 3 Integration mittels Energiesatz ml ϕ = mg sin ϕ d ( m dt 2 l2 ϕ ) 2 = d (mgl cos ϕ) dt E 0 = m 2 l2 ϕ 2 mgl cos ϕ }{{}}{{} U=E P ot T =E kin ϕl (10) U(ϕ) = mgl }{{} U 0 (1 cos ϕ) ( Normierung: U(0) = 0) m 2 l2 ϕ 2 + mgl(1 cos ϕ) = E 0 (11) (10) ist eine nichtlineare Dgl. 1. Ordnung, die durch Trennung der Variablen gelöst werden kann: dϕ g dt = = 2E o + 2g ml 2 l cos ϕ l dt = dϕ (12) 2Eo mgl + 2 cos ϕ Für Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ o und ϕ(0) = 0 liefert der Energiesatz (10) E o = mgl cos ϕ o = cos ϕ o = E o mgl Durch weitere Umformungen mit Hilfe der goniometrischen Relation cos ϕ = 1 2 sin 2 (ϕ/2) kann die Lösung für t(x) auf ein elliptisches Integral zurückgeführt werden: ϕ g o 1 l dt = 2 dϕ sin 2 ϕo 2 sin2 ϕ 2 Wir formen das Integral mit folgenden Substitutionen weiter um: 0 sin ϕ 2 = k sin ψ sin 2 ϕ o 2 ϕ sin2 2 = sin ϕ o 2 k = sin ϕ o 2 = k cos ψ 1 sin 2 ψ 1 2 cos ϕ dϕ = k cos ψdψ 2 1 k cos ψdψ dϕ = 2 1 sin 2 ϕ 2 k cos ψdψ = 1 k 2 sin 2 ψ (13) (14)

6 6 4 LINEARE NÄHERUNG g l t = ϕ o 0 dψ F (k, ψ) (15) 1 k 2 sin 2 ψ Die Funktion F (k, ψ) wird als Legendresche Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung bezeichnet und ist in Tabellen aufgeführt. Eine Alternative bietet z.b. Mathematica. 4 Lineare Näherung Für kleine Auslenkungen gilt sin ϕ ϕ, und man erhält die linearisierte Dgl. ml ϕ = mg ϕ bzw. ϕ + ω 2 ϕ = 0 mit der Frequenz ω o = g l. Diese ist von der Masse unabhängig. Die Lösung für die Differentialgleichung des harmonischen Oszillator ist bereits bekannt; man erhält also: ϕ(t) = c 1 cos(ω o t) + c 2 sin(ω o t) oder ϕ(t) = a cos(w o t ϕ o ) Der Fehler durch die Linearisierung ist bis zu einer Auslenkungen von ca. 5 Grad vernachlässigbar klein. In Abb.2 sind die Potentiale U(ϕ) für beide Fälle gezeichnet. Hier wird der Unterschied zwischen linearer Näherung und exakter Lösung besonders deutlich. Man beachte, dass das umlaufende (rotierende) Pendel ebenfalls Lösung der nichtlinearen Dgl. ist. Dazu ist nur eine ausreichende Energie oberhalb der roten Kurve erforderlich! Abbildung 2: U(ϕ) für die lineare Näherung (blau) sowie die exakte Lösung (rot).

7 7 [1] Rompe, R. und Schmutzer, E., Theoretische Mechanik von A.Budó, 5. berichtigte Aufl., Hochschulbücher für Physik, Berlin, 1969, Leibniz-Universität Hannover. [2] Math. Pendel, Pendel, Wir ergänzen hier noch 2 interessante Übungsaufgaben. Aufgabe 1 : In welche Höhe über der Erdoberfläche muß ein mathematisches Pendel gebracht werden, damit sich seine Schwingungsdauer T um 1 % erhöht? Lösung ϕ + g l ϕ = 0 hat die Lösung ( siehe z.b. Budo Theoretische Mechanik S. 110 ) ( ) g ϕ(t) = ϕ o sin l t + c o ; T = 2π l = 2π ω o g. In einer Höhe h über der Erdoberfläche ist die Umlaufzeit T l = 2π g (h) mit der dort geltenden Erdbeschleunigung g (h) = g R 2 E (R E + h) 2 R E ist der Erdradius. Setzt man g (h) in T ein, erhält man T = T R E + h R E bzw. T T = 1 + h. R E Mit T /T = 1.01 erhält man die gesuchte Höhe h = 0.01 R E 64 km. Aufgabe 2 Gegeben sind 2 mathematische Pendel. Das erste Pendel hat eine Periode von T 1 = 3 s, das zweite eine Periode von T 2 = 4 s. Man berechne die Periode T für ein mathematisches Pendel, dessen Länge l gleich der Summe der Längen l 1 + l 2 vorgegebenen Pendel ist. der beiden

8 8 Lösung Für die Perioden der beiden vorgeg. math. Pendel gilt wegen ω 2 o = g/l : T 1 = 2π l 1 /g ; T 2 = 2π l 2 /g. Die Periode eines math. Pendel der Länge l 1 + l 2 ist T = 2π (l 1 + l 2 )/g. Mit den umgestellten Relationen l 1 = g (T 1 /2π) 2 ; l 2 = g (T 2 /2π) 2 erhält man T = T T 2 2 = T = 5 s.