1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel

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1 Kapitel 1 Mechanik 1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. Aus den Messungen der Schwingungsdauern bei verschiedenen Pendellängen wird die Erdbeschleunigung ermittelt. Vorkenntnisse/Grundlagen : Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.83 - S.89 F.Kohlrausch : Praktische Physik 1 ISBN S.6 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung) F.Kohlrausch : Praktische Physik 3 ISBN S.93 - S.95 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung) 10

2 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL Das mathematische Pendel Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen schweren Masse m S, die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist. In der Ruhelage bewirkt die Schwerkraft F g = m S g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕ max (klein bedeutet hier sinϕ max ϕ max ) bewirkt xf g ein rückstellendes Drehmoment, das das Pendel wegen seines Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet J ϕ = m S g l sin(ϕ) m S g l ϕ (1.1) wobei J = m T l das Trägheitsmoment der trägen Masse m T in der Entfernung l vom Aufhängpunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der momentane Auslenkwinkel und ϕ = d ϕ/dt die momentane Winkelbeschleunigung. Mit m T = m S (Einstein sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) wird die Bewegung unabhängig von den Massen : ϕ = g l ϕ = ω ϕ (1.) Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung eine harmonische Schwingung darstellt : ϕ(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (1.3) ω = g ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕ max und ϕ(t = 0) = 0 (Start der Pendelbewegung l vom Auslenkwinkel ϕ max ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich Die Schwingungsdauer beträgt ϕ(t) = ϕ max cos(ωt) (1.4) T = π ω = π l g (1.5) bzw. T = 4π 1 g l (1.6) Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.

3 1 KAPITEL 1. MECHANIK 1.1. Das physikalische Pendel Die Beqwegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal mit der des mathematischen Pendels identisch : bzw. Mit ω = ( π T ) wird die Schwingungsdauer T dann J ϕ = m g l s ϕ = ω ϕ (1.7) ϕ = ω ϕ (1.8) T = 1 g 4π J ml s (1.9) Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert ist. Demgemäss ist l s die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.1). Bestimmung des Schwerpunktes Die Pendelstange der Masse m st hat einen über die Gesamtlänge l st konstanten Querschnitt; ihr Schwerpunkt S liegt in der Stangenmitte. Die Entfernung von S von der Drehachse ist l st / + r w, wobei r w die Distanz von Drehachse zum Anfang der Stange ist.die Breite der Stange (senkrecht zur Drehachse) ist b st. Der Schwerpunkt des zylindrischen Pendelkörpers der Masse m p Zylinders; seine Entfernung von der Drehachse ist l p. liegt im Zentrum des Das Winkelaufnehmerprofil der Gesamtmasse m w wird als symmetrischer Hohlzylinder angenähert, wobei die Symmetrieachse die Drehachse ist. Der Schwerpunkt wird also als in der Drehachse liegend angenommen. Für die Lage des Gesamtschwerpunktes ergibt sich damit m l s = ( 1 l st + r w ) m st + l p m p (1.10) Bestimung des Gesamtträgheitsmomentes Das Trägheitsmoment J einer Massenverteilung bezüglich einer Drehachse ist gegeben durch den Ausdruck J = r dm (1.11) wobei r die Entfernung des Massenelementes dm von der Drehachse ist und über die gesamte Verteilung integriert wird.

4 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 13 Abbildung 1.1: Pendel im Versuchsaufbau Für die Pendelstange ergibt sich für das Trägheitsmoment um ihre Symmetrieachse J st, = 1 1 m st (l st + b st) (1.1) Nach dem Steinerschen Satz folgt für das Trägheitsmoment um die Drehachse Für das Trägheitsmoment des Pendelkörpers folgt J st = J st, + m st (r w + 1 l st) (1.13) J p = 1 m pr p + m p l p (1.14) Für den als Hohlzylinder angenäherten Winkelaufnehmer mit Symmetrieachse in der Drehachse folgt Damit wird das Gesamtträgheitsmoment J w = m w r w (1.15) J = J p + J st + J w = m p l p + K 1 (1.16)

5 14 KAPITEL 1. MECHANIK Der erste Term auf der rechten Seite ist dominant, für K 1 ergibt sich K 1 = m st ( 1 3 l st + r w l st b st + r w) + m w r w + 1 m pr p (1.17) Damit ergibt sich für das Quadrat der Schwingungsdauer (s.gl.(8) und Gl.(9)) mit Nach Division von Zähler und Nenner in Gl.(17) durch m p wird Die Grössen K 1 m p und K m p Bestimung der Erdbeschleunigung g T = 4π g mpl p + K 1 m p l p + K (1.18) K = ( 1 l st + r w ) m st (1.19) T = 4π g l p + K1 m p l p + K m p (1.0) sind kleine, aber keineswegs vernachlässigbare Korrekturen. Die Messung der Erdbeschleunigung g kan auf zweierlei Wegen erfolgen. Zum einen können die Schwingungsdauern für verschiedene Werte von l p = l 0 +x+r p (s.abb. 1.1) gemessen werden. Mit Hilfe einer sogenannten Tiefenlehre wird zunächst der Abstand l 0 genau vermessen und dann der Abstand x. Zur Auswertung wird der Ausdruck T (l 0 +x+r p + K m p ) gegen (l 0 +x+r p ) aufgetragen. Aus der Steigung der Geraden wird g ermittelt. Aus dem Achsenabschnitt ergibt sich ein Wert für K 1 der mit dem berechneten verglichen werden kann. Die Massen und die geometrischen Grössen zur Bestimmung der Korrekturfaktoren K 1 und K werden zuvor gemessen. Eine weitere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, das Pendel als mathematisches Pendel zu behandeln, und den systematischen Fehler, der durch das Trägheitsmoment J St und das Rückstellmoment D St ϕ der Stange auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, daß zunächst die Schwingungsfrequenz der Stange allein bestimmt wird. Danach wird die Masse an der Stelle angebracht, an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Eigenfrequenz hat wie die Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Masse und Stange nicht, und man kann die Formeln für das mathematische Pendel verwenden. Dies ist auch leicht aus den Gleichungen zu ersehen. Für die Stange allein gilt: Für die Masse allein gilt: ω st = J st D st (1.1) ω m = J m D m (1.) Man beachte, daß J m nicht das Trägheitsmoment des mathematischen Pendels mit Masse m ist, sondern zusätzlich das Trägheitsmoment des Vollzylinders um die Zylinderachse enthält ( J m = J p, s.gl. 1.14). Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Masse hat die Eigenfrequenz: ωp = J st + J m = ωm 1 + Jst J m D st + D m 1 + Dst D m = ω st 1 + Jm J st 1 + Dm D st (1.3)

6 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 15 Hat man nun das Pendel so eingestellt, daß ω p = ω st gilt, so sieht man aus Gl.1.3, daß dann auch gelten muß: Jst J m = Dst D m. Umgeformt ergibt sich: J m D m = J st D st ω m = ω st = ω p (1.4) Versuchsaufbau und Durchführung Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb. 1.3). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst. Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert, das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt. Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen werden (Abb. 1.4). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung kann die Nulllage eingestellt werden. Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Fouriertransformierte bestimmt, aus der man die Frequenz des Pendels erhält. Um ein Maß für den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird jede Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung des Mittelwertes bestimmt. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen wird die Pendelmasse entlang der Stange verschoben und die Schwingungsdauer an den verschiedenen Positionen gemessen. Aus dem Verlauf der Schwingungsdauer als Funktion der Position der Masse kann bei geeigneter Auftragung g ermittelt werden (Gl. 1.18). Alternativ kann auch das zweite Verfahren benutzt werden. Dabei läßt man zunächst die Stange ohne Pendelmasse schwingen und bestimmt die Frequenz ω st. Danach bringt man die Pendelmasse an der Stange an und sucht iterativ die Stelle an der ω p = ω st wird. Man kann nun die Formeln für das mathematische Pendel anwenden.

7 16 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.: Versuchsaufbau

8 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 17 Abbildung 1.3: Aufhängung des Pendels Abbildung 1.4: Anschluss des Winkelaufnehmers

9 18 KAPITEL 1. MECHANIK 1. Schwingungen von gekoppelten Pendeln Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen. Vorkenntnisse/Grundlagen : Federverhalten (Hooke sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.89 - S Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb Die Kopplungsfeder ist befestigt in der Entfernung l F von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und P werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V, sondern um den Winkel ϕ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist M F, = D F x l F (1.5) wobei D F die Federkonstante und x ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand ist. In der Ruhestellung ist M F, entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten Drehmoment M S, = m g l s ϕ (1.6) wobei l s die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P um ϕ aus der Nullage ausgelenkt, so wirkt

10 1.. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 19 Abbildung 1.5: Gekoppelte Pendel insgesamt das Drehmoment M = m g l s (ϕ ϕ ) D F (x + l F ϕ ) l F (1.7) oder M = g l s ϕ D F l F ϕ (1.8) Wird ausserdem P 1 um ϕ 1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment D F l F ϕ 1 hinzu, so dass sich insgesamt ergibt Analog wird für P 1 Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit M = m g l s ϕ D F l F (ϕ ϕ 1 ) (1.9) M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l F (ϕ ϕ 1 ) (1.30) J ϕ 1 = M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l F (ϕ ϕ 1 ) (1.31) J ϕ = M = m g l s ϕ D F l F (ϕ ϕ 1 ) (1.3) bzw. mit den Abkürzungen ω s = mgl s J (1.33) Ω = D F l F J (1.34) ϕ 1 = ω s ϕ 1 + Ω (ϕ ϕ 1 ) (1.35) ϕ = ω s ϕ + Ω (ϕ ϕ 1 ) (1.36)

11 0 KAPITEL 1. MECHANIK Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe der Substitutionen α = ϕ + ϕ 1, β = ϕ ϕ 1 erreicht : Summe und Differenz der beiden Gleichungen (4 ) und (5 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen mit den Lösungen α = ω s α (1.37) β = (ω s + Ω ) β = ω sf β (1.38) α(t) = ϕ (t) + ϕ 1 (t) = A sin(ω s t) + B cos(ω sf t) (1.39) β(t) = ϕ (t) ϕ 1 (t) = C sin(ω s t) + D cos(ω sf t) (1.40) Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ (t = 0) = 0 und ϕ 1 (t = 0) = 0, so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (3) und (33) wird ϕ (t) = B cos(ω s t) + D cos(ω sf t) (1.41) ϕ 1 (t) = B cos(ω s t) D cos(ω sf t) (1.4) Werden die Pendel aus den Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und ϕ (t = 0) = ϕ max gestartet, so wird D = 0 und B = ϕ max und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss ϕ (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.43) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.44) mit der Kreisfrequenz ω s, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung. Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max, ϕ (t = 0) = +ϕ max gestartet, so wird B = 0 und D = ϕ max und die Pendel schwingen gegensinnig : mit der Kreisfrequenz ω sf : ϕ (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.45) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.46) ω sf = ω s + Ω (1.47) Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und Pendel P in Ruheposition, ϕ (t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕ max und ϕ (t) = 1 ϕ max cos(ω s t) + 1 ϕ max cos(ω sf t) (1.48) ϕ 1 (t) = 1 ϕ max cos(ω s t) 1 ϕ max cos(ω sf t) (1.49) Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen umschreiben in ϕ 1 (t) = ϕ max cos( ω sf ω s t) cos( ω sf + ω s t) (1.50)

12 1.. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 1 Mit den Abkürzungen wird daraus ϕ (t) = ϕ max sin( ω sf ω s ω k = ω sf + ω s ω sch = ω sf ω s t) sin( ω sf + ω s t) (1.51) (1.5) (1.53) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sch t) cos(ω k t) (1.54) ϕ (t) = ϕ max sin(ω sch t) sin(ω k t) (1.55) Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit den Kreisfrequenzen ω sch und ω k. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ω k angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ω sch moduliert ist. Diese Erscheinung wird Schwebung genannt. 1.. Messgrössen Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern : T s = π ω s (1.56) T sf = π ω sf (1.57) T k = π ω k = T sch = π ω sch = 4π ω sf + ω s (1.58) 4π ω sf ω s (1.59) Durch Einsetzen von ω s und ω sf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern : T s T sf T k = (1.60) T s + T sf T sch = Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis T s T sf T s T sf (1.61) κ = Ω ω s + Ω = D F l F mgl s + D F l F (1.6) definiert. Mit ω sf = ω s + Ω folgt κ = 1 (ω sf ωs) 1 (ω sf + ω s) = T s Tsf Ts + Tsf (1.63)

13 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.6: Aufbau des gekoppelten Pendels Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befestigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1 1 als Funktion von κ lf auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden kann : 1 κ = 1 + ml sg 1 D F lf (1.64) 1..3 Versuchsaufbau und Durchführung Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap ). Es werden nun zwei Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt (Abb. 1.6). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind. Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm zu

14 1.. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 3 erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben werden. Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig (in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt. Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.63). Außerdem werden die Abstände l F zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der Feder gemessen. Trägt man 1 gegen 1 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung man die κ lf Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.64).