Physikalisches Pendel

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1 Physikalisches Pendel Nach einer kurzen Einführung in die Theorie des physikalisch korrekten Pendels (ausgedehnte Masse) wurden die aus der Theorie gewonnenen Formeln in praktischen Messungen überprüft. Theorie des physikalischen Pendels Die folgende Darstellung zeigt ein physikalisches Pendel mit allen wichtigen Punkten: Abbildung 1: Darstellung eines physikalischen Pendels Die resultierende Kraft lässt sich linear wie folgt berechnen: Betrachtet man die Rotation ergibt sich: F = ma = mẍ = m d2 x dt 2 M = Jα = J ϕ M = r F M = rf sin ϕ Setzt man die erhaltenen Ausdrücke gleich ergibt sich für die rücktreibende Kraft: M = sf g sin ϕ = J ϕ smg sin ϕ = J ϕ ϕ + smg J sin ϕ = 0 Für kleine ϕ ist dabei sin ϕ ϕ. Damit ergibt sich folgende Gleichung: ϕ + smg J ϕ = 0 Vergleicht man diese Formel mit der HDG ẍ + ω 0 2 x = 0 1

2 findet man: ω 0 2 = smg J = 4π2 T 2 und daraus: J smg Vergleicht man diese Periodendauer mit der des mathematischen Pendels findet man mit: J = r 2 dm = L 2 m = s 2 m durch einsetzen: ms 2 s smg = 2π g = 2π l g Vergleicht man das physikalische Pendel: mit dem mathematischen Pendel: findet man: J T P = 2π smg l T M = 2π g T P = T M, falls l = J sm = λ λ heisst reduzierte Pendellänge. Zu jedem Aufhängepunkt gibt es einen weiteren Aufhängepunkt auf der Gerade durch den Schwerpunkt, so dass das neue Pendel die gleiche Periodendauer hat. Dieses Pendel heisst Reversionspendel. Hat der ursprüngliche Punkt den Abstand s vom Schwerpunkt und der neue Aufhängepunkt den Abstand a so gilt: λ = s + a Es gilt: Aus folgt: J = J S + ms 2 λ = J ms = J S ms + ms2 ms = J S ms + s a = λ s = J S ms Schwingt man nun den Körper um A* so gilt: λ = J ma = J S ma + ma2 ma = J S m J S ms + (λ s) = s + λ s = λ Daraus lässt sich folgern, dass die beiden Periodendauern gleich sind. 2

3 Für die zu bestimmenden Grössen haben wir jetzt folgende Formeln: J = T 2 mgs 4π 2 J S = J ms 2 λ = J ms a = λ s Versuchsaufbau Für die praktische Messung einiger Periodendauern wurde eine Papierscheibe als Pendel verwendet. Ein Foto des Versuchsaufbau finden Sie auf Seite 6. Vorgehen Zunächst wurde der Mittelpunkt der Kreisscheibe mit Zirkel und Lineal bestimmt. Danach wurde ein Nagel durch das Zentrum gestossen und die Scheibe mit Hilfe von Schleifpapier ausgewuchtet, bis der Schwerpunkt im Zentrum lag. Nach dem Auswuchten wurde die Scheibe vermessen und die Resultate aufgezeichnet. Im Einzelnen waren das folgende Werte: Radius R Dicke d 8cm 0.88mm Masse m 11.8g Danach wurden für verschiedene Abstände vom Schwerpunkt jeweils zweimal 20 Periodendauern gemessen und daraus schlussendlich das Reversionspendel errechnet und ebenfalls vermessen. Folgende Werte wurden aufgezeichnet und berechnet: s (mm) 20T (s) 20T (s) T (s) J (kgm 2 ) J S (kgm 2 ) λ (mm) a (mm) 20T a (s) 20T a (s) T a (s) Wie man sieht stimmt die Periodendauer des Reversionspendel sehr gut mit der Periodendauer des originalen Pendels überein. Dies spricht für eine sehr genaue Messung. Nun wird noch das theoretische Massenträgheitsmoment hergeleitet und dann mit dem Mittelwert des aus den Daten gewonnenen Trägheitsmomentes verglichen. Das Massenträgheitsmoment eines Körpers lässt sich wie folgt berechnen: J = r 2 dm 3

4 Unsere Scheibe betrachten wir als einen sehr flachen Zylinder. Also folgt: dm = ρdv dv = hda da = 2πrdr Damit kann man das Differential über die Masse in eines über den Radius wie folgt umschreiben: J = R 0 r 2 ρh2πrdr = 2πhρ R Aus der Gesamtmasse M kann man die Dichte ρ wie folgt berechnen: Das Massenträgheitsmoment beträgt somit: J S = πh R4 2 0 ρ = M V = M πr 2 h M πr 2 h = 1 2 MR2 r 3 dr = 2πhρ R4 4 Theoretisch ergibt sich also: Praktisch gemessen wurde: J T = kgm 2 J P = kgm 2 Die Abweichung ist also sehr klein und sicher innerhalb der Fehlertoleranz. Diagramme Verschiedene Messwerte wurden in Abhängigkeit von s in einem Diagramm dargestellt. Hier finden Sie die Herleitung der Ausgleichskurven für diese Diagramme. Massenträgheitsmoment einer Kreisscheibe: J = 1 2 mr2 Periodendauer J smg J S + ms 2 smg J S smg + s g J der Kreisscheibe einsetzen: R 2 2sg + s g Das Diagramm ist zu finden auf Seite 7. 4

5 Verkürzte Pendellänge λ = J ms λ = J S ms + ms2 ms λ = J S ms + s J der Kreisscheibe einsetzen: λ = R2 2s + s Das Diagramm ist zu finden auf Seite 8. Reversionspendel a = λ s a = R2 2s Das Diagramm ist zu finden auf Seite 9. Quellen Die Formeln und theoretischen Grundlagen stammen aus folgenden Werken: orell füssli: Formeln und Tafeln, 9. Auflage (2001) 5

6 Abbildung 2: Der Versuchsaufbau 6

7 Abbildung 3: Die Periodendauer in Abhängigkeit von s 7

8 Abbildung 4: Die verkürzte Pendellänge in Abhängigkeit von s 8

9 Abbildung 5: Das Reversionspendel in Abhängigkeit von s 9